(完整版)导数大题精析1——放缩思想在高考函数中的应用

放缩思想在高考数学中的应用

高中阶段，在数列那一章节的学习中，我们曾接触过放缩思想。其实在高考函数中，尤其是导数大题中，放缩思想起着举足轻重的作用。

例如，让我们证明x^2-2x+1≥0，这个题目对大家来说根本算不上问题。但是如果让我们证明x^2-3x+e^x ≥0。这个式子我们看起来非常陌生，我们对e^x 并不熟悉，我们不喜欢e^x 或者lnx,因此，我们可以把他们转化为x 的形式。

这道题目，我们可以先证明e^x ≥x+1，这里构造辅助函数f(x)=e^x-x-1即可证明，

证明后，我们可以得到x^2-3x+e^x ≥x^2-2x+1≥0当x=1时两等号成立。

在此，我给出以下4个常考的辅助函数供大家参考。

① e^x ≥x+1当x=0时等号成立

② lnx ≤x-1当x=1时等号成立

③ sinx ≤x 当x=0时等号成立

④ cosx ≤x+1当x=0时等号成立

接下来我们不妨来试一道高考题，2012年山东高考压轴题。

22(本小题满分13分)

已知函数f(x) = x e

k x +ln （k 为常数，e=2.71828……是自然对数的底数），曲线y= f(x)在点（1，f(1)）处的切线与x 轴平行。

（Ⅰ）求k 的值；

（Ⅱ）求f(x)的单调区间；

（Ⅲ）设g(x)=(x 2+x) '()f x ,其中'()f x 为f(x)的导函数，证明：对任意x ＞0，2

1)(-+

上面本题的标准答案，前两问在此不做解释。

在第三问中，我们可以看出关键步骤就是把g(x)分成1+x/e^x和1-x-xlnx两部分，但是我们如何想到这一步呢？为什么他要把函数分成这两部分呢？看完上面的文章，我想各位读者已经有了初步的思考，下面，让我们再重新看一遍第三问。

g(x)= (1-x-xlnx)(x+1)/e^x

看到这个函数，我们的第一反应应该是：这个函数不好做，e^x和lnx 太烦了，我们把它放缩一下。把lnx换成x-1,把e^x换成x+1。

原式g(x)＜1-x-xlnx ①

①式≤1-x^2 ②

看到②式，很多人就会认为，呀！这么简单就做出来了？细心的朋友可能会发现，其实①式的推导存在着一定的问题。

已知lnx≤x-1 ③

那么-lnx应当≥1-x所以①式≥1-x^2 ④

如果我把x放缩成lnx-1行不行？利用-(x)≤-(lnx+1)

把①式化为1-x(lnx+1)≤1-（lnx+1）^2

但我们来仔细推敲一下，我们已知的是-x≤-(lnx+1)③

那么我们能不能通过③式得到-x(lnx+1)≤-(lnx+1)(lnx+1)呢？

显然这是不行的，因为lnx+1的符号未知。

当lnx+1≥0时是成立的

而当lnx+1≤0时

-x(lnx+1)≥-(lnx+1)(lnx+1)

接下来我们回归这道题目。

第一步把e^x放缩为x+1之后

g(x)＜1-x-xlnx

构造辅助函数h(x)=1-x-lnx即可，并不需要上述那些复杂的讨论，那些讨论，是为了方便大家了解在放缩应用的过程中容易出现的问题。其实，我所列出的辅助函数，只不过是高考中最常见的4种函数的放缩方式，能解决大部分的问题，例如2014年新课标1卷，最后一问让我们证明f(x)=e^xlnx+2e x−1/x＞1 ①

标准答案所给的思路是将①式移项，得到

xlnx＞x e−x-2/e ②

证明②式左端函数最小值＞右端函数最大值。

这显然不是我们正常的思路，按照我们先前的思路，把e^x换成x+1 可以得到

f(x)=2/e+xlnx+lnx+2/ex ③

把函数分成三个部分，2/e,xlnx,lnx+2/ex分别求导，可以轻松得到

f(x)＞1/e+ln2 ④

我们知道2.7

所以1/e＞1/3 ⑤

接下来我们只需要证明ln2＞2/3，即2^3=8＞e^2 ⑥

又因为e^2＜2.8^2=7.76＜8 ⑦

所以原式得证。

此外，除了上述4种函数，还有很多其他类型的辅助函数等着大家去发现，在这里我只举一个简单的例子

e^x≤x^2+1是成立的

但e^x≤x^n+1呢

请大家自行思索。

解决这类f(x)＜某定值a的问题的关键就是构造合适的辅助函数进行放缩，我们平常做的那些参考资料所给出的答案，往往只是一种过度格式化的答案，答案给出的解题过程并非我们思考的正常顺序。例如，我们看到它构造一个辅助函数e^x≤x+1，但他为什么要构造这个函数呢？构造其他的辅助函数可以吗？这是我们应当思考的问题，这也是高中数学乃至高中教学过程中应当注意的问题。