简单的优化模型

每天：50桶牛奶 时间: 480小时 至多加工100千克A1
制订生产计划，使每天获利最大
• 35元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少? • 可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? • A1的获利增加到 30元/千克，是否应改变生产计划？
建立模型 决策变量 目标函数
约束条件
x1桶牛奶生产A1 x2桶牛奶生产A2
例2 选课策略
课号
课名
学分
所属类别
先修课要求
1
微积分
5
数学
2
线性代数
4
数学
3
最优化方法
4
数学；运筹学 微积分；线性代数
4
数据结构
3
数学；计算机
计算机编程
5
应用统计
4
数学；运筹学 微积分；线性代数
6
计算机模拟
3
计算机；运筹学
计算机编程
7
计算机编程
2
计算机
8
预测理论
2
运筹学
应用统计
9
数学实验
3
运筹学；计算机 微积分；线性代数
78
70
67.4
j=2
75.6
66
67.8
74.2
71
j=3
87
66.4
84.6
69.6
83.8
j=4
58.6
53
59.4
57.2
62.4
若选择队员i参加泳姿j 的比赛，记xij=1, 否则记xij=0
目标 函数
45
Min Z
cij xij
j 1 i1
约束 条件
每人最多入选泳姿之一
4
xij 1, i 1, 5
30.000000
0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
原料增1单位, 利润增48 2) 时间增1单位, 利润增2 3) 能力增减不影响利润 4)
0.000000 0.000000 40.000000
48.000000 2.000000 0.000000
• 35元可买到1桶牛奶，要买吗？ 35 <48, 应该买！ • 聘用临时工人付出的工资最多每小时几元？ 2元！
丙 1’18” 1’07”8 1’24”6 59”4
丁 1’10” 1’14”2 1’09”6 57”2
戊 1’07”4 1’11” 1’23”8 1’02”4
讨论 丁蛙泳c43 =69.675.2，戊自由泳c54=62.4
57.5, 方案是否调整？ 敏感性分析？ IP规划一般没有与LP规划相类似的理论，LINDO 输出的敏感性分析结果通常是没有意义的。
要求至少选两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课
为了选修课程门数最少，应学习哪些课程 ？
选修课程最少，且学分尽量多，应学习哪些课程 ？
0-1规划模型
决策变量
课号
课名
所属类别
1
微积分
数学
2
线性代数
数学
3 最优化方法 数学；运筹学
4
数据结构
数学；计算机
5
应用统计
数学；运筹学
6 计算机模拟 计算机；运筹学
c43, c54 的新数据重新输入模型，用LINDO求解 最优解：x21 = x32 = x43 = x51 = 1, 成绩为4’17”7
乙~ 蝶泳、丙~ 仰泳、 原 甲~ 自由泳、乙~ 蝶泳、
丁~ 蛙泳、戊~ 自由泳
方 案
丙~ 仰泳、丁~ 蛙泳.
指派(Assignment)问题：每项任务有且只有一人承担， 每人只能承担一项，效益不同，怎样分派使总效益最大.
1)
3360.000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1
20.000000
0.000000
st 2）x1+x2<50 3）12x1+8x2<480 4）3x1<100
X2
30.000000
0.000000
end
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2)
st
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
2）x1+x2<50
1)
3360.000
3）12x1+8x2<480
VARIABLE VALUE REDUCED COST
4）3x1<100
X1
20.000000
0.000000
X2
30.000000
0.000000
end
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
分派问题 若干项任务分给一些候选人来完成，每人的专长不同， 完成每项任务取得的效益或需要的资源就不同，如何分 派任务使获得的总效益最大，或付出的总资源最少。
若干种策略供选择，不同的策略得到的收益或付出的 成本不同，各个策略之间有相互制约关系，如何在满 足一定条件下作出决择，使得收益最大或成本最小。
例1 混合泳接力队的选拔
5名候选人的百米成绩
蝶泳 仰泳 蛙泳 自由泳
甲 1’06”8 1’15”6 1’27” 58”6
乙 57”2 1’06” 1’06”4 53”
丙 1’18” 1’07”8 1’24”6 59”4
丁 1’10” 1’14”2 1’09”6 57”2
戊 1’07”4 1’11” 1’23”8 1’02”4
注意：最优解不唯一！
可将x9 =1 易为x6 =1 LINDO无法告诉优化 问题的解是否唯一。
多目标规划
• 对学分数和课程数加权形成一个目标，如三七开。
Min Y 1Z 2W 0.7Z 0.3W
课号
课名
学分
9
Z xi i 1
1
微积分
2
线性代数
5 4
W 5x1 4x2 4x3 3x4 4x5
下面我们通过一个例题来说明LINDO 软件包的使用方法.
LINDO和LINGO软件能求解的优化模型
连续优化
优化模型 整数规划(IP)
线性规划 二次规划
(LP)
(QP)
LINDO
非线性规划 (NLP)
LINGO
例1 加工奶制品的生产计划
1桶 牛奶 或
12小时 8小时
3千克A1 4千克A2
获利24元/千克 获利16元/千克
j 1
每种泳姿有且只有1人
5
xij 1, j 1, 4
i 1
模型求解 输入LINDO求解
MIN 66.8x11+75.6x12+87x13+58.6x14 +… … +67.4x51+71 x52+83.8x53+62.4x54
SUBJECT TO x11+x12+x13+x14 <=1 …… x41+x42+x43+x44 <=1 x11+x21+x31+x41+x51 =1 …… x14+x24+x34+x44+x54 =1
3 最优化方法
4
4
数据结构
3
3x6 2x7 2x8 3x9
5
应用统计
4
6 计算机模拟
3
7 计算机编程
2
最优解： x1 = x2 = x3 = x4 = x5 = x6 = x7 = x9 =1，
8
预测理论
2
其它为0；总学分28。
9
数学实验
3
多目标规划
讨论与思考
Min Y 1Z 2W 1 2 1, 0 1, 2 1
结果解释
最优解不变时目标
DO RANGE(SENSITIVITY) ANALYSIS? Yes
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
系数允许变化范围
OBJ COEFFICIENT RANGES
(约束条件不变)
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
如何选拔队员组成4100米混合泳接力队?
丁的蛙泳成绩退步到1’15”2；戊的自由泳成绩进 步到57”5, 组成接力队的方案是否应该调整？
穷举法：组成接力队的方案共有5!=120种。
0-1规划模型 cij(秒)~队员i 第j 种泳姿的百米成绩
cij
i=1
i=2
i=3
i=4
i=5
j=1
66.8
57.2
学分最多
9
Min Z xi i 1
Max W 5x1 4x2 4x3 3x4 4x5 3x6 2x7 2x8 3x9
两目标(多目标)规划 Min{Z, W}
多目标优化的处理方法：化成单目标优化。
• 以课程最少为目标， 不管学分多少。
最优解如上，6门课 程，总学分21 。
• 以学分最多为目标， 不管课程多少。
9
Z xi i 1
W 5x1 4x2 4x3 3x4 4x5 3x6 2x7 2x8 3x9
1 2 / 3
最优解与1=0，2=1的结果相同——学分最多
1 3 / 4
最优解与1=1，2=0的结果相同——课程最少
用LINDO、LINGO优化工具箱解线性规划
一、LINDO软件包
约束条件 先修课程要求 x3=1必有x1 = x2 =1
x3 x1 , x3 x2
2x3 x1 x2 0 x4 x7 x4 x7 0
2x5 x1 x2 0 x6 x7 0
x8 x5 0
2x9 x1 x2 0
讨论：选修课程最少，学分尽量多，应学习哪些课程？
课程最少
最优解显然是选修所 有9门课程 。
多目标规划
• 在课程最少的前提下 以学分最多为目标。
课号
课名
学分
1
微积分
5
2
线性代数
4
3 最优化方法
4
4
数据结构
3
5
应用统计
4
6
计算机模拟
3
7 计算机编程
2
8
预测理论
2
9
数学实验
3
9
增加约束 xi 6， i 1
以学分最多为目标求解。
最优解： x1 = x2 = x3 = x5 = x7 = x9 =1, 其它为0；总 学分由21增至22。
0-1规划模型
课号
课名
先修课要求
1
微积分
2
线性代数
3
最优化方法 微积分；线性代数
4
数据结构
计算机编程
5
应用统计 微积分；线性代数
6
计算机模拟
计算机编程
7
计算机编程
8
预测理论
应用统计
9
数学实验 微积分；线性代数
模型求解（LINDO） 最优解： x1 = x2 = x3 = x6 = x7 = x9 =1, 其它为0；6门课程，总学分21
三
原料无剩余 2)
0.000000
48.000000
种
时间无剩余 3)
0.000000
2.000000
资 源
加工能力剩余40
4)
40.000000
0.000000
“资源” 剩余为零的约束为紧约束（有效约束）
模型求解
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
3360.000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
获利 24×3x1
获利 16×4 x2
每天获利 max z 72x1 64x2
原料供应
x1 x2 50
线性 规划
劳动时间
12 x1 8x2 480
模型
加工能力 非负约束
3x1 100
x1, x2 0
(LP)
模型求解
max 72x1+64x2
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
也可理解为：
为了使该非基变 量变成基变量， 目标函数中对应 系数应增加的量
结果解释
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 3360.000
最优解下“资源”增加1 VARIABLE VALUE
单位时“效益”的增量
X1
20.000000
REDUCED COST 0.000000
影子价格
X2
第五章 简单的优化模型
5.1 线性规划模型 5.2 用Matlab求解线性规划问题 5.3 建模案例：投资的收益与风险 5.4 整数规划建模案例：接力队选 拔和选课策略 5.5 用Lindo求解整数规划问题
y
优 化 问 题
5.4 接力队选拔和选课策略
0.000000
48.000000
3)
0.000000
2.000000
DO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS? No
4) 40.000000
0.000000
NO. ITERATIONS= 2
20桶牛奶生产A1, 30桶生产A2，利润3360元.
结果解释
max 72x1+64x2
7 计算机编程
计算机
8
预测理论
运筹学
9
数学实验 运筹学；计算机
约束条件
最少2门数学课， 3门运筹学课， 2门计算机课。
xi=1 ~选修课号i 的 课程（xi=0 ~不选）
目标函数 选修课程总数最少
9
Min Z xi i 1
x1 x2 x3 x4 x5 2
x3 x5 x6 x8 x9 3 x4 x6 x7 x9 2
END INT 20
最优解：x14 = x21 = x32 = x43 = 1, 其它变量为0;
成绩为253.2(秒)=4’13”2
甲~ 自由泳、乙~ 蝶泳、 丙~ 仰泳、丁~ 蛙泳.
蝶泳 仰泳 蛙泳 自由泳
甲 1’06”8 1’15”6 1’27” 58”6
乙 57”2 1’06” 1’06”4 53”
X1
20.000000
0.000000
X2
30.000000
0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2)
0.000000
48.000000
3)
0.000000
2.000000
4) 40.000000
0.000000
NO. ITERATIONS= 2
reduced cost值表 示当该非基变量 增加一个单位时 （其他非基变量 保持不变）,目标 函数减少的量(对 max型问题) .