显示偏好理论

第三章 显示偏好理论
3.1 概念 3.2 显示偏好的弱公理和选择函数的性质 3.3 显示偏好的强公理和显示偏好的一般公理 3.4 显示偏好和生活水平的比较
高级微观经济学 邹燕
3.1 概念
直接显示偏好：设x1是p1时被选择的商品束，x2是p2 时被选择的商品束，且p1x1≥p1x2，则称x1直接显示 优于x2，记为x1RDx2。 直接显示严格偏好：设x1是p1时被选择的商品束， x2 是p2时被选择的商品束，且p1x1>p1x2，则称x1直接 显示严格优于x2，记为x1PDx2。 间接显示偏好：假定存在一个显示偏好的比较序列： x1RDx2 、x2RDx3 、…、xn-1RDxn ，则称x1间接显示 优于xn，记为x1Rxn 。
A
Better set
以SARP为基础的需求理பைடு நூலகம்在本质上与基于效用最大化 的需求理论是等价的。建立在两种理论上的需求都是 零次齐次的，斯勒茨基矩阵都是对称的半负定矩阵。
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Worse set
X1 高级微观经济学 邹燕
从观测到的选择推断偏好
X2 X2
从观测到的选择推断偏好
C A B A
i j
= ∑∑ zi [
i j
∂xi ( p 0 , m 0 ) ∂xi ( p 0 , m 0 ) + x j ]z j ≤ 0 ∂p j ∂m
这表明选择函数的斯勒茨基矩阵是半负定的。
2
3.3 显示偏好的强公理和显示偏好的一般公理
X2
从观测到的选择推断偏好
SARP排除了不可传递的显示偏好，这时，存在一个使 得可观察行为理性化的效用函数。
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4
x1
这表示p1x2=p1x1（1）和p2x2=p2x1 （2）同时成立。
x2 p1 p2 X1 高级微观经济学 邹燕
x2 p2 O
x1 p1 X1 O
若x1和x2不同，（1）和WARP意味着p2x2<p2x1 ，与（2）矛 盾。因此x1和x2相同。
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斯勒茨基矩阵的半负定性
X2

斯勒茨基矩阵的半负定性
般公理
如果一个关于价格和收入的函数满足预算平衡性、斯 勒茨基矩阵的半负定性和对称性，则它必定是某个效 用最大化的消费者的需求函数。满足WARP的选择函 数满足前两个条件，但不一定存在某个使其理性化 （rationalise）的效用函数，因为在多种商品的情形 下，偏好关系可能出现非传递性的循环。 显示偏好的强公理（Strong Axiom of Revealed Preference，SARP）：若x1Rxn ，且x1≠xn ，则xnRx1 不成立。
x
1
斯勒茨基矩阵的半负定性
1
显示偏好的弱公理
显示偏好的弱公理（Weak Axiom of Revealed Preference，WARP）：若x1RDx2 ，且x1≠x2 ，则 x2RDx1不成立，即p2x2<p2x1。
X2 X2
选择函数的零次齐次性
如果选择函数x(p, m)满足WARP和预算平衡性，则该函数是零 次齐次的。 令x1是p1和m时的选择，x2是p2=tp1和tm时的选择，零次齐次性 即要证明x1和x2相同。 预算平衡性意味着p2x2=tp1x2= tm=tp1x1=p2x1
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3.1 概念
x2 希克斯补偿：一种商品价格变化时，在新价格下，为 维持原有效用水平所需补偿的货币量，△m满足 x (p+△p, m+△m)= x (p+△p, e(p+△p, u))。 斯勒茨基补偿：一种商品价格变化时，在新价格下， 为维持原有消费水平所需补偿的货币量，△m满足 m+△m= (p+△p) · x (p, m)。
扩展better set
D
E
扩展worse set
X1 高级微观经济学 邹燕 X1 高级微观经济学 邹燕
3.3 显示偏好的强公理和显示偏好的一般公理
显示偏好的一般公理（Generalized Axiom of Revealed Preference，GARP）：若x1Rx2 ，则x2PDx1不成立， 即p2x2≤p2x1。 一个可观察的价格和数量的数据的有限集合满足 GARP，则存在一个使数据理性化的连续的、单调的 和凹的效用函数。反之亦然。 由于消费者的偏好在非样本点上并非完全确定，因 此，能使有限数据理性化的效用函数可能不止一个。
xS(p0+△p, (p0+△p)·x0) 优于x0 (p0, p0·x0) ，这意味着 p0·x0 (p0,p0·x0) ≤p0·xS(p0+△p, (p0+△p)·x0) <1> 根据斯勒茨基补偿的定义 (p0+△p)·x0 ＝ (p0+△p)·xS <2>
x0是p0下的最优选择。当价格从p0变为 p1，并对消费者进行斯勒茨基补偿后， 消费者选择xS，则斯勒茨基补偿需求xs
O 高级微观经济学 邹燕
希克斯补偿
与希克斯补偿 相联系的预算线 的变动
x0
p1
p0
xH
x1
u0
x1
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斯勒茨基补偿
X2
3.2 显示偏好的弱公理和选择函数的性质
与斯勒茨基补偿 相联系的预算线 的变动
p1 x0
显示偏好的弱公理
选择函数的零次齐次性 p0 xS
O X1 高级微观经济学 邹燕 高级微观经济学 邹燕
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t ]， t 是一个足够小的正数，使得p0+tz >>0，
0 ∂xi ( p 0 , m 0 ) ∂xi ( p 0 , m 0 ) ∂m ∂ ( p j + tz j ) + ] ∂p j ∂m ∂p j ∂t
显然，f(t)在t=0时取最大值，因此
f ' (0) = ∑∑ zi [
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3.4 显示偏好和生活水平的比较
若Pp>MI，则消费者的生活水平下降，因为
Pp= x1p1/x1p0 > x1p1/x0p0 ，则x1p0<x0p0 ，说明x1劣于x0
若Lp<MI，则消费者的生活水平提高，因为
Lp= x0p1/x0p0< x1p1/x0p0，则x0p1<x1p1，说明x1优于x0
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3.4 显示偏好和生活水平的比较
用p0和x0表示基期的价格和数量，p1和x1表示报告 期的价格和数量。 帕氏数量指数和拉式数量指数的定义分别是 Pq= p1x1/p1x0 ，Lq= p0x1/p0x0。 帕氏价格指数、拉式价格指数及收入指数分别定义为 Pp= x1p1/x1p0 ，Lp=x0p1/x0p0 ，MI＝x1p1/x0p0
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3
3.4 显示偏好和生活水平的比较
若Pq>1，则消费者的生活水平提高，因为 Pq= p1x1/p1x0>1，则p1x1>p1x0 ，说明x1优于x0 若Lq<1，则消费者的生活水平下降，因为 Lq= p0x1/p0x0<1，则p0x1<p0x0 ，说明x1劣于x0 若Pq<1或Lq>1，用显示偏好理论来分析，不提供关 于生活质量比较方面的信息。
x0 xS (p0 ,m0)
必在x0的右方。
(p1 ,m0)
<1>－<2>有 △p·(xS－x0) ≤0，即△p·△x ≤0
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O
B
X1 高级微观经济学 邹燕
3.3 显示偏好的强公理和显示偏好的一
斯勒茨基矩阵的半负定性
令△p=tz，其中t>0，z∈Rn，则△p·(xS－x0) ≤0变为 t(z·x0) ≥ t(z·xs) ，或 z·x0 ≥z·xs (p0+tz, (p0+tz)·x0) 定义：f(t) ≡z·xs(p0+tz, (p0+tz)·x0) 其中t∈[0,