定积分与微积分基本定理2

第14讲 定积分与微积分基本定理

1．求曲线y ＝x 2

与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )

A ．S ＝∫10(x 2－x)dx

B ．S ＝∫10(x －x 2

)dx

C ．S ＝∫10(y 2－y)dy

D ．S ＝∫10(y －y)dy

解析：选B .两函数图像的交点坐标是(0，0)，(1，1)，故积分上限是1，下限是0.由于在

[0，1]上，x ≥x 2，故曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝∫10(x －x 2

)d x.

2．(2016·开封诊断考试)若⎠⎛0

1(x 2

＋mx)d x ＝0，则实数m 的值为( )

A ．－13

B ．－23

C ．－1

D ．－2

解析：选B.由题意知，⎠⎛0

1

(x 2

＋mx)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3

3＋mx 2

2⎪⎪⎪1

0 ＝13＋m 2＝0，得m ＝－2

3

. 3．(2016·太原八校联考)已知(x ln x )′＝ln x ＋1，则⎠⎛1

e ln x d x ＝( )

A ．1

B ．e

C ．e －1

D ．e ＋1

解析：选A .由(x ln x )′＝ln x ＋1，联想到(x ln x －x)′＝(ln x ＋1)－1＝ln x ，于是⎠⎛1

e ln

x d x ＝(x ln x －x)⎪⎪⎪

e

1

＝(eln e －e )－(1×ln 1－1)＝1.

4．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt(g 为常数)，则电视塔高为( ) A.12g B ．g C.32

g D ．2g

解析：选C .由题意知电视塔高为∫2

1gt d t ＝12gt 2|21＝2g －12g ＝32

g.

5．(2016·金华十校联考)设f(x)＝⎩

⎪⎨⎪⎧x 2

，x ∈[0，1]，

2－x ，x ∈（1，2]，

则⎠⎛0

2f(x)d x 等于( )

A.3

4 B.45

C.56 D ．不存在

解析：选C .

如图，⎠⎛0

2f(x)d x

＝⎠⎛01x 2

d x ＋⎠⎛1

2(2－x)d x

＝13x 3⎪⎪⎪10＋⎝

⎛

⎭⎪⎫2x －12x 2⎪⎪⎪2

1

＝13＋⎝

⎛

⎭⎪⎫4－2－2＋12＝56.

6．如图，由曲线y ＝x 2

和直线y ＝t 2

(0

的最小值是( )

A.14

B.12 C ．1

D ．2

解析：选A .设图中阴影部分的面积为S(t)，则S(t)＝∫t 0(t 2－x 2)d x ＋∫1t (x 2－t 2

)d x ＝43t 3－

t 2

＋13，由S ′(t)＝2t(2t －1)＝0，得t ＝0(舍去)或t ＝12

为S(t)在区间(0，1)上的最小值

点，此时S(t)min ＝S ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14

.

7．(2016·江西省八校联考)计算⎠⎛－3

3(x 3

cos x)d x ＝________．

解析：令f(x)＝x 3cos x ，则f(x)是奇函数，所以，由定积分的几何意义知∫3－3(x 3

cos x)d x ＝0. 答案：0

8．若m>1，则f(m)＝⎠⎛1

m ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－4x 2d x 的最小值为________． 解析：f(m)＝⎠⎛1m

⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－4x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ⎪⎪⎪m

1＝m ＋4m －5≥4－5＝－1，当且仅当m ＝2时等号成立．

答案：－1

9．(2016·南昌调研测试卷)直线y ＝13x 与抛物线y ＝x －x 2

所围图形的面积等于________．

解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝13x ，y ＝x －x 2，解得x ＝0或2

3

，所以所求面积为

∫230⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 2－13x d x ＝∫230⎝ ⎛⎭

⎪⎫2

3x －x 2d x

＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13

x 2－13x 3⎪⎪⎪⎪2

30

＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫233－0＝481.

答案：4

81

10.⎠⎛－1

1(1－x 2

＋x)d x ＝________．

解析：⎠⎛－11(1－x 2

＋x)d x ＝⎠⎛

－1

1

1－x 2

d x ＋⎠⎛－11x d x ，根据定积分的几何意义可知⎠⎛－1

1

1－x 2

d x

等于半径为1的半圆的面积，即⎠⎛－1

11－x 2d x ＝π2，⎠⎛－1

1x d x ＝12x 2⎪⎪⎪1

－1

＝0，所以⎠

⎛－1

1(1－x 2

＋

x)d x ＝π2.

答案：π2

11．求下列定积分： (1)⎠⎛1

2⎝

⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x d x ； (2)⎠⎛－π

0(cos x ＋e x

)d x.

解：(1)⎠⎛1

2⎝

⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x d x ＝⎠⎛1

2x d x －⎠⎛1

2x 2

d x ＋⎠⎛1

21x

d x ＝x 22|21－x 3

3|21＋ln x|2

1＝32－73＋ln 2＝ln 2－56. (2)⎠⎛－π0(cos x ＋e x

)d x ＝⎠⎛－π

0cos x d x ＋⎠⎛－π

0e x

d x

＝sin x|0－π＋e x |0

－π＝1－

1

e π

.

12．求曲线y ＝x 2

，直线y ＝x ，y ＝3x 围成的图形的面积．