2020年辽宁省铁岭市中考数学试题(解析版)

2020年辽宁省铁岭市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题,每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）﹣2的倒数是（）
A．﹣2B．﹣C．D．2
2．（3分）下列运算正确的是（）
A．2a+3a＝5a2B．（a+2b）2＝a2+4b2
C．a2•a3＝a6D．（﹣ab2）3＝﹣a3b6
3．（3分）如图，几何体的左视图是（）
A．B．C．D．
4．（3分）一个不透明的盒子中装有2个白球，6个红球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的可能性是（）
A．B．C．D．
5．（3分）如图，△ABC中，AC＜BC，如果用尺规作图的方法在BC上确定点P，使P A+PC ＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（）
A．B．
C．D．
6．（3分）如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，其中A（2，2），则不等式x＞的解集为（）
A．x＞2B．x＜﹣2
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2D．﹣2＜x＜0或x＞2
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以BC为直径的半圆O交斜边AB于点D，则图中阴影部分的面积为（）
A．π﹣B．π﹣C．π﹣D．π﹣
8．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）和B （3，0），下列结论：①2a+b＝0；②当﹣1≤x≤3时，y＜0；③若（x1，y1）、（x2，y2）在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2；④3a+c＝0，正确的有（）
A．①②④B．①④C．①②③D．①③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）我国首艘国产航母排水量约为65000吨，将65000用科学记数法记为．
10．（3分）若一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．11．（3分）如图AB是⊙O的直径，弦CD⊥OB于点E，交⊙O于点D，已知OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝cm．
12．（3分）如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，且点D，E分别在边AB，AC上，则的值为．
13．（3分）某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长．
14．（3分）如图，已知▱ABCD的顶点A的坐标为（0，4），顶点B、D分别在x轴和直线y ＝﹣3上，则对角线AC的最小值是．
三、解答题(本大题共6小题，共分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．如图所示，某海盗船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处使，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，求出此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长，结果精确到0.1）（参考数据：≈1.732，≈1.414）
16．如图，某反比例函数图象的一支经过点A（2，3）和点B（点B在点A的右侧）作BC ⊥y轴于点C，连结AB，AC．若△ABC的面积为6，求点B的坐标．
17．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本，且不高于100元．
（1）求每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，D为AB边的中点，连接DC过D 作DE⊥DC交AC于点E．
（1）求∠EDA的度数；
（2）如图2，F为BC边上一点，连接DF，过D作DG⊥DF交AC于点G，请判断线段CF与EG的数量关系，并说明理由．
19．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC、CN于D、M两点．
（1）求证：MD＝MC；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝4，求MC的长．
20．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P、与BC相交于点E，与x轴交于点H，连接PB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）抛物线上存在一点G，使∠GBA+∠PBE＝45°，请求出点G的坐标；
（3）抛物线上是否存在一点Q，使△QEB与△PEB的面积相等，若存在，请直接写出点
Q的坐标；若不存在，说明理由．
2020年辽宁省铁岭市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题,每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）﹣2的倒数是（）
A．﹣2B．﹣C．D．2
【分析】根据倒数的意义，乘积是1的两个数叫做互为倒数，据此解答．
【解答】解：∵﹣2×＝1．
∴﹣2的倒数是﹣，
故选：B．
2．（3分）下列运算正确的是（）
A．2a+3a＝5a2B．（a+2b）2＝a2+4b2
C．a2•a3＝a6D．（﹣ab2）3＝﹣a3b6
【分析】直接利用合并同类项法则以及完全平方公式、积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、2a+3a＝5a，故此选项错误；
B、（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，故此选项错误；
C、a2•a3＝a5，故此选项错误；
D、（﹣ab2）3＝﹣a3b6，正确．
故选：D．
3．（3分）如图，几何体的左视图是（）
A．B．C．D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看是一个矩形，矩形的中间是两条横着的虚线，
故选：C．
4．（3分）一个不透明的盒子中装有2个白球，6个红球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的可能性是（）
A．B．C．D．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：根据题意可得：一个不透明的盒子中装有2个白球，6个红球，共8个，摸到红球的概率为：＝．
故选：A．
5．（3分）如图，△ABC中，AC＜BC，如果用尺规作图的方法在BC上确定点P，使P A+PC ＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（）
A．B．
C．D．
【分析】由PB+PC＝BC和P A+PC＝BC易得P A＝PB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点P在AB的垂直平分线上，进而得出结论．
【解答】解：∵PB+PC＝BC，而P A+PC＝BC，
∴P A＝PB，
∴点P在AB的垂直平分线上，
即点P为AB的垂直平分线与BC的交点．
故选：C．
6．（3分）如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，其中A（2，2），则不等式x＞的解集为（）
A．x＞2B．x＜﹣2
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2D．﹣2＜x＜0或x＞2
【分析】根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集．
【解答】解：∵正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，其中A（2，2），
∴B（﹣2，﹣2），
观察函数图象，发现：当﹣2＜x＜0或x＞2时，正比例函数图象在反比例函数图象的上方，
∴不等式x＞的解集为是﹣2＜x＜0或x＞2，
故选：D．
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以BC为直径的半圆O交斜边AB于点D，则图中阴影部分的面积为（）
A．π﹣B．π﹣C．π﹣D．π﹣
【分析】根据三角形的内角和得到∠B＝60°，根据圆周角定理得到∠COD＝120°，∠CDB＝90°，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∴∠COD＝120°，
∵BC＝4，BC为半圆O的直径，
∴∠CDB＝90°，
∴OC＝OD＝2，
∴CD＝BC＝2，
图中阴影部分的面积＝S扇形COD﹣S△COD＝﹣2×1＝﹣，故选：A．
8．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）和B （3，0），下列结论：①2a+b＝0；②当﹣1≤x≤3时，y＜0；③若（x1，y1）、（x2，y2）在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2；④3a+c＝0，正确的有（）
A．①②④B．①④C．①②③D．①③④
【分析】①根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）和B （3，0），可得对称轴为：x＝1，所以b＝﹣2a，进而可以判断①；
②观察函数图象可得，当﹣1≤x≤3时，y＞0，进而可以判断②；
③根据抛物线开口向下，在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增
大而减小即可判断③；
④观察函数图象可得当x＝﹣1时，y＝0，再根据b＝﹣2a，即可判断④．
【解答】解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）和B（3，0），
∴对称轴为：x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，
所以①正确；
②观察函数图象可知：
当﹣1≤x≤3时，y＞0，
所以②错误；
③∵抛物线开口向下，
当x＞1，x1＜x2时，y随x的增大而减小，
∴y1＞y2；
当x＜1，x1＜x2时，y随x的增大而增大，
∴y1＜y2；
∴③错误；
④当x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，
∵b＝﹣2a，
∴3a+c＝0，
∴④正确．
所以正确的有①④．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）我国首艘国产航母排水量约为65000吨，将65000用科学记数法记为 6.5×104．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：65000＝6.5×104，
故答案为6.5×104，
10．（3分）若一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＜1．【分析】直接利用根的判别式得出△＝b2﹣4ac＝4﹣4k＞0进而求出答案．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝4﹣4k＞0，
解得：k＜1，
则k的取值范围是：k＜1．
故答案为：k＜1．
11．（3分）如图AB是⊙O的直径，弦CD⊥OB于点E，交⊙O于点D，已知OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝8cm．
【分析】利用垂径定理得到CE＝DE＝CD＝4，然后利用勾股定理计算出OE，再计算AO+OE即可．
【解答】解：∵CD⊥OB，
∴CE＝DE＝CD＝4，
在Rt△OCE中，OE＝＝3，
∴AE＝AO+OE＝5+3＝8（cm）．
故答案为8．
12．（3分）如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，且点D，E分别在边AB，AC上，则的值为﹣1．
【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质可得出AD＝AB，结合BD＝AB﹣AD可得出BD＝AB，进而可得出＝﹣1．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝＝＝，
∴AD＝AB，
∴BD＝AB﹣AD＝AB，
∴＝＝﹣1．
故答案为：﹣1．
13．（3分）某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长．
【分析】过A点作AD⊥BC于点D，先根据题目中的数据求得BD，再解直角三角形求得结果．
【解答】解：过A点作AD⊥BC于点D，
∵BC＝3+0.3×2＝3.6（m），
∴BD＝＝1.8m，
∴＝（m）．
故答案为：．
14．（3分）如图，已知▱ABCD的顶点A的坐标为（0，4），顶点B、D分别在x轴和直线y ＝﹣3上，则对角线AC的最小值是11．
【分析】设点C坐标为（a，b），由平行四边形的性质和中点坐标公式可求b＝﹣7，可得点C在直线y＝﹣7上运动，由垂线段最短可求解．
【解答】解：设点C坐标为（a，b），
∵顶点B、D分别在x轴和直线y＝﹣3上，
∴点B，点D的纵坐标分别为0，﹣3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC与BD互相平分，
∴，
∴b＝﹣7，
∴点C在直线y＝﹣7上运动，
∴当AC⊥直线y＝﹣7时，AC的长度有最小值，
∴对角线AC的最小值＝4﹣（﹣7）＝11，
故答案为：11．
三、解答题(本大题共6小题，共分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．如图所示，某海盗船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处使，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，求出此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长，结果精确到0.1）（参考数据：≈1.732，≈1.414）
【分析】首先证明PB＝BC，推出∠C＝30°，可得PC＝2P A，求出P A即可解决问题．【解答】解：在Rt△P AB中，∵∠APB＝30°，
∴PB＝2AB，
由题意BC＝2AB，
∴PB＝BC，
∴∠C＝∠CPB，
∵∠ABP＝∠C+∠CPB＝60°，
∴∠C＝30°，
∴PC＝2P A，
∵P A＝AB•tan60°，
∴PC＝2×20×≈69.3（海里）．
16．如图，某反比例函数图象的一支经过点A（2，3）和点B（点B在点A的右侧）作BC ⊥y轴于点C，连结AB，AC．若△ABC的面积为6，求点B的坐标．
【分析】首先根据点A的坐标求得函数的解析式，然后作AD⊥BC于D，则D（2，b），即可利用a表示出AD的长，然后利用三角形的面积公式即可得到一个关于b的方程求得b的值，进而求得a的值．
【解答】解：由题意得，k＝xy＝2×3＝6
∴反比例函数的解析式为：y＝．
设B点坐标为（a，b），如图，
作AD⊥BC于D，则D（2，b），
∵反比例函数y＝的图象经过点B（a，b）
∴b＝，
∴AD＝3﹣．
∴S△ABC＝BC•AD＝a（3﹣）＝6，
解得a＝6，
∴b＝＝1
∴B（6，1）．
17．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本，且不高于100元．
（1）求每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据“利润＝（售价﹣成本）×销售量”列出方程；
（2）把（1）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答．
【解答】解：（1）y＝（x﹣50）[50+5（100﹣x）]
＝（x﹣50）（﹣5x+550）
＝﹣5x2+800x﹣27500
所以y＝﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；
（2）y＝﹣5x2+800x﹣27500
＝﹣5（x﹣80）2+4500
∵a＝﹣5＜0，
∴抛物线开口向下．
∵50≤x≤100，对称轴是直线x＝80，
∴当x＝80时，y最大值＝4500；
即销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，D为AB边的中点，连接DC过D 作DE⊥DC交AC于点E．
（1）求∠EDA的度数；
（2）如图2，F为BC边上一点，连接DF，过D作DG⊥DF交AC于点G，请判断线段CF与EG的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质得出CD＝BD＝AD，即可得出∠ACD＝∠A＝30°，进而根据三角形外角的性质得到∠EDA＝30°；
（2）解直角三角形求得＝，然后通过证得△FCD∽GED，求得FC＝GE．【解答】（1）解：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∵D为AB边的中点，
∴CD＝BD＝AD，
∴△BCD是等边三角形，∠ACD＝∠A＝30°，
∵∠CDE＝90°，
∴∠CED＝60°，
∴∠EDA＝30°；
（2）解：如图2，在Rt△CDE中，∠ACD＝30°，
∴tan30°＝，
∴＝，
∵∠FDG＝∠CDE＝90°，
∴∠FDC＝∠GDE，
∴∠FCD＝∠GED＝60°，
∴△FCD∽GED，
∴＝，
∴FC＝GE．
19．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC、CN于D、M两点．
（1）求证：MD＝MC；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝4，求MC的长．
【分析】（1）连接OC，利用切线的性质证明即可；
（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．
【解答】解：（1）连接OC，
∵CN为⊙O的切线，
∴OC⊥CM，∠OCA+∠ACM＝90°，
∵OM⊥AB，
∴∠OAC+∠ODA＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠ACM＝∠ODA＝∠CDM，
∴MD＝MC；
（2）由题意可知AB＝5×2＝10，AC＝4，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝，
∵∠AOD＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△AOD∽△ACB，
∴，即，
可得：OD＝2.5，
设MC＝MD＝x，在Rt△OCM中，由勾股定理得：（x+2.5）2＝x2+52，
解得：x＝，
即MC＝．
20．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P、与BC相交于点E，与x轴交于点H，连接PB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）抛物线上存在一点G，使∠GBA+∠PBE＝45°，请求出点G的坐标；
（3）抛物线上是否存在一点Q，使△QEB与△PEB的面积相等，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）把三点坐标代入函数式，列式求得a，b，c的值，即求出解析式；
（2）分两种情况讨论，由锐角三角函数可求OF的长，可求点F坐标，可得BF解析式，联立方程组可求点G坐标；
（3）由等底等高的两个三角形的面积相等，可求点Q的坐标．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点代入抛物线解析式，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
则顶点P（1，4），对称轴为直线x＝1，
∴H（1，0），
∴PH＝4，BH＝2，
∵B（3，0），C（0，3），
∴直线BC解析式为y＝﹣x+3，
∴点E（1，2），
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，
若点G在直线AB的上方时，
∵PH⊥AB，∠CBO＝45°，
∴∠HEB＝45°，
∴∠PBE+∠BPE＝45°，
∵∠GBA+∠PBE＝45°，
∴∠BPE＝∠GBA，
∴tan∠BPH＝tan∠GBA＝，∴，
∴OF＝，
∴点F（0，），
∴直线BF解析式为：y＝﹣x+，联立方程组可得：，解得：或，
∴点G的坐标为（﹣，）；
若点G在直线AB的下方时，
由对称性可得：点F'（0，﹣），
∴直线BF解析式为：y＝x﹣，
联立方程组可得：，
解得：或，
∴点G'的坐标为（﹣，﹣），
综上所述：点G的坐标为（﹣，）或（﹣，﹣）；
（3）存在，
∵点E（1，2），顶点P（1，4），
∴PE＝2，PH＝4，
∴EH＝2＝PE，
如图2，过点P作PQ∥BC，交抛物线于Q，此时△QEB与△PEB的面积相等，
∵PN∥BC，点P坐标（1，4），直线BC解析式为y＝﹣x+3，
∴PQ解析式为y＝﹣x+5，
联立方程组得：，
解得：或，
∴点Q（2，3），
过点H作HQ'∥BC，交抛物线于Q'、Q''，
∴PQ∥BC∥HQ'，
∵PE＝EH，
∴PQ与BC之间的距离＝BC与HQ'之间的距离，
∴△QEB与△PEB的面积相等，
∵PQ∥BC，点H（1，0），直线BC解析式为y＝﹣x+3，
∴直线Q'H的解析式为：y＝﹣x+1，
联立方程组得：，
解得：或，
∴点Q的坐标为（，）或（，），
综上所述：点Q的坐标为（2，3）或（，）或（，）．。