固定收益证券及其定价

假定甲的预期寿命是75岁，贴现率是6%，该年金的资本化价值是：
PV=10000/(1+0.06)1+10000/(1+0.06)2+…+10000/(1+0.06)15
我们可以用年金现值公式来计算该年金的资本化价值。该公式如下：
年金现值PV
1 A
1 (1 i)n
i
计算得：PV=10000*[1-1/(1.06)15]/0.06=97,122元
6% 0.5%
=RATE(B4,B5,B1)
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息票债务的YTM
息票债务是利息按年或半年、1月偿付，本金 在债务到期时偿付的债券、贷款或存款。公式：
PB
C
1
i
C
1 i2
C
1 i3
C
1 in
F
1 in
其中：PB = 债券价格，C = 每年的息票付款，F =债券面值， i = 到期收益率，n = 债券到期年限
= PV(Rate, Nper, Pmt, Fv) = PV(0.10, 3, 100, 0) = -248.69
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年金现值（年金的资本化价值）
甲60岁时获得1笔年金。只要她活着，一家机构每年年终就必须支付 给她10,000元。若甲要出售该年金，该年金的价格是多少？
这要求将该笔年金资本化。该年金的资本化价值是多少，取决于：甲 的预期寿命，贴现率，即当前的市场利率。
三年后本息=100+19.1=191.1 或：100(1+0.6)3=191.1
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有效利率
与名义利率相对。
名义利率是按照确定期限计算的利率，未考虑该期 限内的实际付息次数。如名义年利率是按整年计算 而不考虑年内复利的利率，
有效利率是按照实际付息间隔期计算的复利， 考虑了期限内的利息支付次数。
利息 = $1,000(.05) = $50 1年后价值 = 本金 + 利息
= $1,000 + $50 = $1,050
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4
未来值
单期支付
FV = PV(1 + i)n FV = $1,000(1+.05)1 = $1,050
0
1
5%
$1,000 PV
$1,050 FV
1.026706
债券的到期收益率：
1.0267.6
0.03 (1 YTM)1
0.03 (1 YTM)2
0.03 (1 YTM)3
1.03 (1 YTM)4
0.03 (1 YTM)1
0.03 (1 YTM)2
0.03 (1 YTM)3
1.03 (1 YTM)4
0.03 0.03 0.03 1.03 (1 5.843%)1 (1 5.843%)2 (1 5.843%)3 (1 5.843%)4
债券描述：剩余期限两年，息票率6%，零息利率分别是 4.15%，4.25%，4.4%，4.6%。该债券的价格：
0.03 (1 .0415/
2)1
0.03 (1 .0425/
2)2
0.03 (1 .044/
2)3
1.03 (1 .046/
2)4
0.02939 0.028765 0.028104 0.940448
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连续复利公式推导
设： P(t)=随时间变化的资金总量 dP / dt =资金总量随时间变化的速度，与 资金当前数目P(0)成正比，y=比例系数， 则有：
dP yP, or dP yP 0
dt
dt
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连续复利公式推导-续
分离变量后得：
dP yP dt
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息票债券的YTM-续
息票债券的每期付款可以看作是单笔零 息债券。
用零息债券的即期利率分别对各期付款 贴现，加总后得到该息票债券的现值， 或者说该息票债券的价格。
最后根据息票债券的未来现金流，期限， 已得出的价格，就可以计算出该息票债 券的YTM。
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单期支付 假定你1年后需要$10,000资金。如果当前
利率是7%，你今天需要到银行存多少钱？
现值 = 10,000/(1.07)1 = 9,345.79
0
1
7%
$9,345.79
$10,000
PV
FV
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现值
多期支付
下面现金流的现值是多少?
1
2
3
4
12%
PV = ? 200 400 600 800
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10
现值
多期支付
0
1
2
3
4
12%
178.57
318.88
427.07 508.41 1,432.93
200
400
600
800
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普通年金与先付年金
普通年金
Ordinary Annuity
0
1
i%
先付年金 Annuity Due
0 i%
PMT 1
PMT
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0.10
= 331
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用电子数据表计算年金未来值
使用 Excel的FV 函数：
= FV(Rate, Nper, Pmt, Pv) = FV(0.10, 3, -100, 0) = 331.00
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普通年金的现值是多少?
0
1
2
3
10%
100
100
100
100元本金， 期限3年 利息收入18元 单利=18元/（100元*3）=6%
100元本金 期限0.25年 利息总收入2.5元 单利=2.5元/（100元*0.25）=10%
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复利
各期应得利息被自动追加为本金的利率。
100元本金，期限3年，复利6%，3年内全部利 息收入为： 第一年： 100*6%=6 第二年： (100+6)*6%=6.36 第三年： (100+6+6.36)*6%=6.74 三年总和=6+6.36+6.74=19.1
第五讲 固定收益证券定价
什么是利率 如何给固定收益债券定价？ 固定收益债券与利率有何关系？ 如何测度固定收益证券价格对利率的敏感性？ 如何用利率树定价企业债券？
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目录
现金流的未来值和现值 固定收益证券的收益率或利率 货币和资本市场的主要固定收益证券 影响债券价格运动的因素 固定收益证券的利率敏感性尺度：久期和凸性 固定收益证券定价 零息债券即期利率的期限结构 用利率树定价企业债券
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2
参考书
本讲义的Excel 注解 Sundaresan：固定收入证券市场及其衍
生产品，第2版，第4章。北京大学出版 社。 Brigham 等: 财务管理，第11版，第9章。
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未来值FV（Future Value）
单期支付
假定你投资 $1,000，期限1年，年利率 5%。 1年后该投资的价值有多少？
有效利率
1
名义利率 年内复周期数
年内复周期数
1
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例：
本金 1000
付息次数 每次金额 1 60 2 30 4 15
12 5
名义利率 60*1/1000= 30*2/1000= 15*4/1000= 5*12/1000=
有效年利率 6% 1+[6%/1]1-1= 6.000% 6% 1+[6%/2]2-1= 6.090% 6% 1+[6%/4]4-1= 6.136% 6% 1+[6%/12]12-1= 6.168%
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发达市场主要货币市场证券
货币市场证券:
到期时间在一年以内 用于企业和政府的短期融资 一般被企业、金融机构和政府机构用短期资
金购买 为投资者提供流动性
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发达市场主要货币市场证券
国库券Treasury bills 商业票据Commercial paper 可转让存单Negotiable certificates of
C a 1 x
(1 i)
(1 i)
上式变为： PV a ar ar 2 ar 3 ar n1
(1)
两边乘 r 得 : rPV ar ar 2 ar3 ar n
(2)
用(1) (2)得： 替代a和x后：
PV (1 r) a(1 r n ) or
PV
C (1
i)
1
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用Yield函数计算付息债券的到 期收益率
settelment maturity rate pr redemption frequency basis yield
2005-11-20 2035-11-20
0.05 98.5 100
2 0 5.098%
=YIELD(B1,B2,B3,B4,B5,B6,B7)
ydt 1 dP P
两端积分：
ydt
dP P
得：
yt ln P c, ln P yt c
两边取指数： eln P e ytc 注意到： eln P P 有： P( t ) e ytc , P( t ) P( 0 )e yt
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到期收益率
到期收益率是按照复利计算的债务工具 的利率。
deposit (NCDs) 回购协议Repurchase agreements 银行承兑Banker’s acceptances
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发达市场的主要资本市场债券
国债
中央政府发行的债券，有主权风险，即国家拒付债务的风险。
抵押债券mortgage bonds
以公司的一定资产做偿债担保的债券。公司破产，债券持有人可以通过 强行出售这些资产来实现自己对公司的要求权（债权）。
从数学上说，到期收益率是使债务未来 付款的现值与债务当前市场价格相等的 贴现率。
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等额分期付款债务的YTM
即每年按月偿还固定金额的债务，不动产抵押贷款和消 费贷款一般采取这种形式。每月付款中包含本金和利息 两个部分。随着时间的推移，付款中的利息部分越来越 少（因为计息本金越来越少），本金部分越来越多。公 式：
1 (1 i)n
1 1
(1 i)
a rn PV
1 r
对上式右端的分子分母同乘(1
C i)：(1
i)
1
1 (1 i)n
(1
i)
,
1
(1
1
i)
(1
i)
得
C1
1 (1 i)n
(1 i) 1
即：
PV
C
1
1 (1 i)n
i
简单利率（单利）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在借贷总期限内的利息总收入与各期资本 之和的比率，即单利。
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未来值
单期支付
假定你的投资期限是2年，1次还本付息。到 期后你投资的价值将是多少?
FV = $1000(1.05)(1.05)
FV = $1000(1.05)2 = $1,102.50
0
1
2
5%
$1,000 PV
$1,102.50 FV
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未来值
多期支付
PMT
2 PMT
2 PMT
3 PMT
3
12
3年期$100年金，在利率为 10%时，其未来值是多少?
0
1
10%
100
2
3
100
100
110
121
FV = 331
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年金未来值公式
n期年金，在利率为i时，其未来值可 用下面的公式得出：
= PMT (1+i)n-1 i
(1+0.10)3-1 = 100
Loan FP FP FP FP
1 i 1 i2 1 i3
1 in
FP=每期付款，i=到期收益率
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例. 用Excel的RATE函数计算住宅抵押 贷款的YTM
贷款金额 贷款年数 年付款次数 付款期数 每期付款 贷款利率 月利率
200000 10 12
120 -2220.41
90.91
82.64
75.13
248.69 = PV
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年金现值公式
n期年金，在利率为i时，其现值可用下面的 公式得出：
1
1-
= PMT
(1+i)n
i
1- 1 (1+0.10)3
= 100
= 248.69
0.10
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用电子数据表计算年金现值
使用 PV 函数公式：
信用债券debentures
无担保债券，债券持有人没有针对公司特定财产的留置权（扣押然后自 行处置的权利）。债权人的要求权仅仅受公司未充当担保品的财产保护。 信用强的公司通常发行这种债券。信用弱的公司在担保品用完时也高利 发行这种债券。
若甲为一人瑞，最终将活到100岁，则该年金的资本化价值将是： PV=10000*[1-1/(1.06)40]/0.06=150,463元
购买该年金的人的净利润是：150463-97122=53341
年金现值推导
PV C C C C
1 i (1 i)2 (1 i)3
(1 i)n
设
该现金流在第三年后的未来值是多少?
0
1
2
3
8%
7,000 4,000 4,000 4,000
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7
未来值
多期支付
0
1
2
3
8%
7,000
4,000
4,000 4,000 4,320.00 4,665.60 8,817.98
FV = 21,803.58
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8
现值Present Value