导数的概念及运算限时练习-北师大版高考理科数学一轮复习训练

限时训练14

导数的概念及运算 建议用时：45分钟

一、选择题

1．函数y ＝ln(2x 2

＋1)的导数是( ) A.1

2x 2

＋1

B.4x

2x 2

＋1

C.

4x

2x 2

＋1ln 10

D.

4

2x 2

＋1log 2e

B [y ′＝12x 2＋1·4x ＝4x

2x 2＋1

，故选B.]

2．(2019·成都模拟)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln

x (其中e 为自然对数的底数)，则f ′(e)＝( )

A ．1

B ．－1

C ．－e

D ．－e －1

D [由已知得f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，令x ＝e ，可得f ′(e)＝2f ′(e)＋1

e ，则

f ′(e)

＝－1

e

.

故选D.]

3．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－3t 2

＋8t ，那么速度

为零的时刻是( )

A ．1秒末

B ．1秒末和2秒末

C ．4秒末

D ．2秒末和4秒末

D [∵s ′(t )＝t 2

－6t ＋8，由导数的定义可知v ＝s ′(t )，令s ′(t )＝0，得t ＝2或4，即2秒末和4秒末的速度为零，故选D.]

4．(2019·贵阳模拟)曲线y ＝x ln x 在点(e ，e)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x －e B ．y ＝－2x －e C ．y ＝2x ＋e

D ．y ＝－x －1

A [对y ＝x ln x 求导可得y ′＝ln x ＋1，则曲线在点(e ，e)处的切线斜率为ln e ＋1＝2，因此切线方程为y －e ＝2(x －e)，即y ＝2x －e.故选A.]

5．已知直线y ＝ax 是曲线y ＝ln x 的切线，则实数a ＝( )

A.1

2 B.

12e

C.1

e

D.1e

2 C [设切点坐标为(x 0，ln x 0)，由y ＝ln x 的导函数为y ′＝1

x

知切线方程为y －ln x 0

＝1x 0(x －x 0)，即y ＝x x 0

＋ln x 0－1.由题意可知⎩⎪⎨

⎪⎧

a ＝1x 0，ln x 0－1＝0，

解得a ＝1

e

.故选C.]

二、填空题

6.已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是________．

x －y －2＝0 [根据导数的几何意义及图像可知，曲线y ＝f (x )

在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2,0)，所以切线方程为x －y －2＝0.]

7．若曲线f (x )＝ax 3

＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． (－∞，0) [由题意，可知f ′(x )＝3ax 2＋1x ，又存在垂直于y 轴的切线，所以3ax 2＋

1x

＝0，即a ＝－1

3x

3(x ＞0)，故a ∈(－∞，0)．]

8．设函数f (x )＝x 3

＋ax 2

，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为______．

(1，－1)或(－1,1) [由题意知，f ′(x )＝3x 2

＋2ax ，所以曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线斜率为f ′(x 0)＝3x 2

0＋2ax 0，又切线方程为x ＋y ＝0，所以x 0≠0，且

⎩⎪⎨⎪⎧

3x 2

0＋2ax 0＝－1，x 0＋x 30＋ax 20＝0，

解得⎩⎪⎨

⎪⎧

x 0＝－1，a ＝2

或⎩⎪⎨⎪⎧

x 0＝1，

a ＝－2，

所以当⎩⎪⎨

⎪⎧ x 0＝1，

a ＝－2时，点P 的坐标为(1，－1)；

当⎩

⎪⎨

⎪⎧

x 0＝－1，a ＝2时，点P 的坐标为(－1,1)．]

三、解答题

9．已知函数f (x )＝x 3

－4x 2

＋5x －4.

(1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程． [解] (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，

又f (2)＝－2，∴曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2， 即x －y －4＝0.

(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 3

0－4x 2

0＋5x 0－4)， ∵f ′(x 0)＝3x 2

0－8x 0＋5，

∴切线方程为y －(－2)＝(3x 2

0－8x 0＋5)(x －2)， 又切线过点P (x 0，x 3

0－4x 2

0＋5x 0－4)，

∴x 3

0－4x 2

0＋5x 0－2＝(3x 2

0－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2

(x 0－1)＝0， 解得x 0＝2或1，

∴经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0. 10．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2

＋3x (x ∈R )的图像为曲线C .

(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；

(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．

[解] (1)由题意得f ′(x )＝x 2

－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2

－1≥－1，

即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．

(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由已知(2)中条件并结合(1)中结论可知，

⎩⎪⎨⎪⎧

k ≥－1，－1

k

≥－1，

解得－1≤k ＜0或k ≥1，

故由－1≤x 2

－4x ＋3＜0或x 2

－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．

1．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝x 3

＋(a －1)x 2

＋ax .若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )

A ．y ＝－2x

B ．y ＝－x

C ．y ＝2x

D ．y ＝x

D [因为函数f (x )＝x 3

＋(a －1)x 2

＋ax 为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，

所以(－x )3

＋(a －1)(－x )2

＋a (－x )＝－[x 3

＋(a －1)x 2

＋ax ]，所以2(a －1)x 2

＝0，因为x ∈R ，所以a ＝1，所以f (x )＝x 3

＋x ，所以f ′(x )＝3x 2

＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线