高中数学人教版选修反证法课件(系列一)

命题方向二：用反证法证明“至多”、“至 少”类命题
已知x，y>0，且x＋y>2.
求证：1＋y x，1＋x y中至少有一个小于 2.
[分析] 明确“至少”的含义→对结论作出假设→得出矛盾．
[解析] 假设1＋y x，1＋x y都不小于 2， 即1＋y x≥2，1＋x y≥2， ∵x>0，y>0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x. ∴2＋x＋y≥2(x＋y)． 即 x＋y≤2，这与已知 x＋y>2 矛盾． ∴1＋y x，1＋x y中至少有一个小于 2.
人教版 选修1-2
第二章 推理与证明
2.2直接证明与间接证明
2.2.2 反证法
自主预习学案
学习目标解读
1.了解反证法是间接证明的一种基本方法；了解反证法的思考过程、 特点． 2．感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用．
重点难点展示
重点：反证法概念的理解以及反证法的解题步骤． 难点：应用反证法解决问题．
[解析] 假设点M在线段CD上，则BD<BM＝CM<CD，且AB2＝BD2 ＋AD2，AC2＝AD2＋CD2，所以AB2＝BD2＋AD2<BM2＋ AD2<CD2＋AD2＝AC2，即AB2<AC2，所以AB<AC．这与AB>AC 矛盾，故假设错误．所以点M不在线段CD上．
典例探究学案
命题方向一：用反证法证明直接证明不易入手 的问题
[方法规律总结] 1.当命题中出现“至少……”、“至多……”、“不 都……”、“都不……”、“没有……”、“唯一”等指示性词语时， 宜用反证法．
2．用反证法证题，必须准确写出命题的否定，把命题所包含的所有 可能情形找全，范围既不缩小，也不扩大．常用反设词如下：
结论词 至少有一个 至多有一个 至少有n个 至多有n个
求证：若两条平行直线a、b中的一条与平面α相交，则另一条也与平 面α相交．
[分析] 直接证明直线与平面相交比较困难，故可考虑用反证法，注 意该命题的反面情形不止一种，需一一驳倒，才能推出命题结论正 确．
[解析] 不妨设直线a与平面α相交，b与a平行，从而要证b也与平面α 相交．假设b不与平面α相交，则必有下面两种情况：(1)b在平面α内 ．由a∥b，a⊄平面α，得a∥平面α，与题设矛盾． (2)b∥平面α. 则平面α内有直线b′，使b∥b′. 而a∥b，故a∥b′，因为a⊄平面α，所以a∥平面α，这也与题设矛盾． 综上所述，b与平面α只能相交．
教材新知导学
知识点一：反证法
思维导航 我们在立体几何证题中曾经使用过反证法，那么反证法的定义，反 证法的原理，用反证法证题的注意事项是怎样的呢？
新知导学
1．反证法的定义
一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出
_矛___盾______，因此说明假设_____错__误___，从而证明了原命题 __成__立______，这样的证明方法叫做反证法．反证法是间接证明的一
种基本方法．
2．反证法证题的原理 (1)反证法的原理是“否定之否定等于肯定”． (2)用反证法解题的实质就是否定结论，导出矛盾，从而说明原结论 正确．
3．反证法常见的矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与
_已___知__条__件__矛盾，或与___假__设___矛盾，或与_定___义__、__公__理__、_定___理__、
2．设 a、b、c 都是正数，则三个数 a＋1b、b＋1c、c＋1a( )
A．都大于 2
B．至少有一个大于 2
百度文库
C．至少有一个不小于 2 D．至少有一个不大于 2
[答案] C
[解析] 假设都小于 2，则(a＋1b)＋(b＋1c)＋(c＋1a)＜6，而 a＋1b＋b＋1c＋c＋1a＝a＋1a＋b＋1b＋c＋1c≥2＋2＋2＝6.矛盾
反设词 一个也没有 至少有两个 至多有n－1个 至少有n＋1个
结论词 对所有x成立 对任意x不成立
p或q p且q
反设词
存在某个x0不成立 存在某个x0成立 ¬p且¬q ¬p或¬q
跟踪训练
设 a、b、c 都是小于 1 的正数，求证(1－a)b、(1－b)c、(1 －c)a 三个数不可能同时大于14.
• [方法规律总结] 用反证法证明数学命题的步骤 • 第一步：审题，分清命题的条件和结论；
• 第二步：反设，做出与命题结论相矛盾的假设；
• 第三步：归谬，由假设出发，应用演绎推理方法， 推出矛盾的结果；
• 第四步：下结论，断定产生矛盾结果的原因，在于 开始所做的假设不真，于是原结论成立，从而间接 地证明了命题为真．
事实矛盾等．
4．反证法的适用对象 作为一种间接证明方法，反证法尤其适合证明以下几类数学问题： (1)直接证明需分多种情况的； (2)结论本身是以否定形式出现的一类命题——否定性命题； (3)关于唯一性、存在性的命题；
(4)___结__论___以“至多”、“至少”等形式出现的命题；
(5)条件与结论联系不够明显，直接由条件推结论的线索不够清晰，
___结__论___的反面是比原结论更具体、更容易研究的命题．
牛刀小试 1．用反证法证明命题“设a、b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有 一个实根”时，要做的假设是( ) A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根 B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根 C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根 [答案] A [解析] 至少有一个实根的否定为：没有实根．
• 3．应用反证法推理过程中要把下列哪些作为条件使 用( )
• ①结论的否定，即假设；②原命题的条件；③公理 、定理、定义等；④原结论．
• A．①②
B．①②④
• C．①②③
D．②③
• [答案] C
4.如图所示，在△ABC中，AB>AC，AD为BC边上的高，AM是BC 边上的中线，求证：点M不在线段CD上．
跟踪训练
已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2. [解析] 假设p＋q>2，那么p>2－q，所以p3>(2－q)3＝8－12q＋6q2 －q3，将p3＋q3＝2代入消去p，得6q2－12q＋6<0，即6(q－1)2<0.这 与6(q－1)2≥0矛盾，故假设错误．所以p＋q≤2. [点评] 本题已知条件为p、q的三次幂，而结论中只有p、q的一次幂 ，若直接证明，应考虑到用立方根，同时用放缩法，但很难证，故 考虑采用反证法．