第三章 布朗运动
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
br
证明B00 (t ), t 0,1是正态过程
定义从a到b的布朗桥：
Btab =a+(b-a)t +Btbr t [0,1]
a b 1
a,b R,
性质： (1)
B
a b
a b 0
=a, B
=b
(2) 从a到b的布朗桥是高斯过程, 且
m
(t )=a+(b-a)t
t [0,1]
第三章 布朗运动
主讲人：李伟 西安电子科技大学数学与统计学院 2015年秋季
本章主要内容
•Brown运动的性质 •Brown运动轨道的不可微性 •Brown有关的随机过程
•Brown的计算机仿真
Brown 运动的背景介绍 1827年英国植物学家发现花粉颗粒在静止液面中 做无规则运动 1905年由爱因斯坦基于物理定律导出这个 现象的数学描述. 1900年巴舍利耶在他的博士论文中推测到布 朗运动的一些结果
-
1 e 2 t
y2 2t
dy
定理3.1.1（样本轨道性质）
设Wt , t 0是一个标准Brown运动，对固定的时间指标t 0, 考虑时间区间[0，t ] 的一个划分
n : 0 t0 t1
tn t , n N
tk , 其中 定义 Wk Wt Wt 和 n kmax 1, ,n k k 1
则称
Bbr ={Btbr , t [0,1]} 为从0到0的布朗桥
也记作B00 (t ), t 0,1
均值函数 mB (t ) E[W (t ) - tW (1)] 0, t [0,1]
br
相关函数 RB ( s, t ) min s, t - st, s, t [0,1]
n 0 则 tk tk tk 1 如果 lim n 2 n 2 lim E ( Wk ) t 0 n k 1 n 定理说明：随机变量序列{ ( Wk )2 : n N }
k 1
均方收敛到常数t
证明 随机变量W1, W2 , , Wn 是相互独立的，且
k =Bt
则
(Bt1
, 2
k
-Btk -1 ,
, 2
k =1,
,n
k ~N ( (tk -tk -1 ), 2 (tk -tk -1 ))
, 2
,
,Btn
, 2
)=(1 ,
,n ) Mnn
过程3：布朗桥
B =W (t )-tW (1)
br t
t [0,1]
1918年Wiener在的博士论文以及后来的文章中给出 该理论简明的数学公式 1940年伊藤给出相应的随机微积分公式
1973年，Black-Scholes期权定价公式
称实过程{Wt , t 0}是参数为 2的布朗运动，若
（1） W0 0 （2） {Wt , t 0}是平稳独立增量过程
t0
2t
mBre (t )=E[ W (t ) ]=
方差函数
, t 0
DBre (t )=E[ W (t ) ]-E[ W (t ) ] =t-
2
2
2t
, t 0
mB re (t )=E[ W (t ) ]=
+
-
x
1 e dx 2 t
x2 2t +
x2 2t
2t = ( -e 2 t =
=e
(s +t )
Ee
[W (s )+(W (t )-W (s ))+W (s )] 2
(t -s )
(s +t )
2 W (s )
E
[W (t )-W (s )]
=e
(t +s ) 2 2 s
e
e2
, s,t 0
过程5：反射布朗运动
B = W (t )
均值函数
re t
是n维正态随机变量.
又由于
(W (t1 ),W (t 2 ), , W (t n ))
1 (W (t1 ),W (t 2 ) W (t1 ), , W (t n ) W (t n 1 )) 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1
t [0,1]
C ab (s,t )= min s,t -st
过程:4：几何布朗运动
B =exp(Bt
均值函数
ge t
, 2
)
t 0, R, >0
2
mB ge (t )=E[exp(Bt
相关函数
,
2
)]=exp{( +
2
2
)t}, t 0
RB ge (s,t )=e
dx =e
t
ຫໍສະໝຸດ Baidu
+
-
e
(t )2 2t
dx
=exp{( +
2
2
)t}, t 0
RB ge (s,t )=Ee =e =e
(s +t )
s + W (s ) t + W (t)
e
=Ee
(s +t )+ (W (s )+W (t ))
Ee Ee
(W (s )+W (t ))
2
)
0
2t
, t 0
DB re (t )=E[ W (t ) ]-E[ W (t ) ]2 =E[ W (t ) ] =t2t
2
2t
反射布朗运动的一维分布函数
x 0时，有
F (t; x ) P( B x )
re t
=p(| Wt | x ) p( x W x ) = t ( y )dy
D[W ( s)] (E[W ( s)]) 2 2s 2 min( s, t ) 2 CW (s, t ) RW (s, t ) mW (s)mW (t) min( s, t )
证：Wiener过程是正态过程．
证明 设 {W(t),t≥0}是参数为σ2的Wiener过程. 则对任意的n≥1,以及任意的 0 t1 t2 tn {W(t1), W(t2), …, W(tn)}是n维随机变量
由Wiener过程的定义知
W (t1 ),W (t 2 ) W (t1 ), , W (t n ) W (t n 1 ) 相互独立
W (t k ) W (t k 1 )服从N (0， 2 (t k t k 1 ))分布
所以（W (t1 ),W (t 2 ) W (t1 ), , W (t n ) W (t n 1 )）
若W1 (t ), W2 (t ), W W1 (t ), W2 (t ),
Wd (t )是d 个相互独立 Wd (t )
的标准布朗运动，则称 是d 维标准布朗运动.
2 ( , ) 布朗运动 过程2：
设 R, >0，W (t )是标准布朗运动，定义 Bt
, 2
=t + W (t ), t 0 ，t 0} 为（， ）布朗运动。 2
= lim+ P( W (t ) >xt )
t 0
= lim+
t 0
2 2t
y2 xt exp (- 2t )dy
+
= lim+
t 0
2
+
x
z2 exp (- )dz t 2
2
=
2
+
0
z exp (- )dz =1 2
三、与布朗运动有关的随机过程
过程1：d维布朗运动
x x
1 其中t ( y ) e 2 t
y2 2t
过程6：奥恩斯坦-乌伦贝克过程 （Ornstein-Uhlenbeck）
B =e
t 0
其中
ou t
- t
W ( (t )） t 0， >0
(t )= e
2 s
1 2 t ds = (e -1) 2
, 2
{Bt
, 2
均值函数 mB 相关函数 R
B
(t )=t
2 2 ( s , t )= st + min (s,t ) , 2
性质 证明
( , 2 ) -布朗运动是一个正态过程
对任意自然数 n 1, 不是一般性，取n个不同 的时间指标 0=t0 <t1 <
<tn <, 定义增量
（3） 0 s t, Wt -Ws ~ N (0, (t s))
2
1 时称为标准布朗运动
2
设{Wt , t 0}是参数为 的Wiener过程
2
(布朗运动), 则
(1)
(2)
t 0,W (t ) ~ N (0, t )
2
mW (t ) 0, DW (t ) 2t, t 0, RW ( s, t ) CW ( s, t ) 2 min( s, t ), s, t , 0
Wk ~ N (0, tk ) 于是
2 2 n n 2 2 E ( Wk ) t E [( Wk ) tk ] k 1 k 1
n 2 2 E ( Wk ) tk ( Wl ) tl n k ,l 1 n E[(Wk )2 tk ]2 E[(Wk )2 tk ]E[(Wl )2 tl ]
(2n)! n ]= n t -s , t,s 0 2 n!
P32,例2.2.8
0 E[ (Wk ) 2 t ] [3(tk ) 2 2(tk ) 2 (tk ) 2 ] 2 (tk ) 2 2t n 0
k 1 n
定义 : 当n 时， (Wk ) 的均方极限 t 称为
(t +s ) 2 2 s
2
e
e2
(t -s )
, s,t 0
mB ge (t )=E[exp(Bt =e
t
, 2
)]=
+
-
e
t + x
1 e dx 2 t 1 e 2 t
(x -t )2 2t
x2 2t
+
-
1 e 2 t
x 2 -2 t x 2t
时间可逆性： B(t ) W (T ) W (T t )
W (at )~N (0,at )
令
X =a W (t )
x -
1 2
P(W (at ) x)=
1 e 2 at
1 2
y2 2 at
dy =
-1 a 2x
-
-1 a 2x
1 e dz 2 t
z2 2t
P(X x)=P(a W (t ) x)=
2 k 1
n
Brown运动W (t )的二次变差.
记为
W t t , t 0
称 W { W t , t 0}为Brown运动W的 二次变差过程。
称V max Wk 为Brown运动W的
n :nN
k 1
n
一次变差（或称全变差）.
二 、Brown运动样本轨道的不可微性
定理3.2.1
设t >0,对于固定的时刻t 0, 定义增量 W (t )=W (t +t )-W (t ), 那么对于任意固定的x >0和时刻t >0, 有 W (t ) P( lim+ >x )=1 t 0 t
证明：
W (t ) W (t ) P( lim+ >x )= lim+ P( >x) t 0 t 0 t t
所以(W (t1 ),W (t 2 ), , W (t n ))是n维正态变量. 所以{W(t),t≥0}是正态过程.
一
标准Brown运动的性质
对称性:W (t ) 也是一个标准Brown运动 自相似性：
1 W (at ) W (t ) a
则B {B(t ), 0 t T }也是 一个标准Brown运动
对s≥0, t ≥0,不妨设 s≤t,则
RW (s, t ) E[W (s)W (t )]
E[(W ( s ) W (0))(W (t ) W ( s ) W ( s ))]
2 E [( W ( s ) W ( 0 ))( W ( t ) W ( s ))] E [ W ( s )] 独立性 0 E[W ( s)]2
E[(Wk ) 2 tk ]2
k 1 n
k 1 n
k l 1
[ E (Wk ) 4 2tk E (Wk ) 2 (tk ) 2 ]
k 1
E[ W (t )-W (s)
2n
E[Wk ]4 3(tk )2
于是当 n
n 2 n k 1 k 1
证明B00 (t ), t 0,1是正态过程
定义从a到b的布朗桥：
Btab =a+(b-a)t +Btbr t [0,1]
a b 1
a,b R,
性质： (1)
B
a b
a b 0
=a, B
=b
(2) 从a到b的布朗桥是高斯过程, 且
m
(t )=a+(b-a)t
t [0,1]
第三章 布朗运动
主讲人：李伟 西安电子科技大学数学与统计学院 2015年秋季
本章主要内容
•Brown运动的性质 •Brown运动轨道的不可微性 •Brown有关的随机过程
•Brown的计算机仿真
Brown 运动的背景介绍 1827年英国植物学家发现花粉颗粒在静止液面中 做无规则运动 1905年由爱因斯坦基于物理定律导出这个 现象的数学描述. 1900年巴舍利耶在他的博士论文中推测到布 朗运动的一些结果
-
1 e 2 t
y2 2t
dy
定理3.1.1（样本轨道性质）
设Wt , t 0是一个标准Brown运动，对固定的时间指标t 0, 考虑时间区间[0，t ] 的一个划分
n : 0 t0 t1
tn t , n N
tk , 其中 定义 Wk Wt Wt 和 n kmax 1, ,n k k 1
则称
Bbr ={Btbr , t [0,1]} 为从0到0的布朗桥
也记作B00 (t ), t 0,1
均值函数 mB (t ) E[W (t ) - tW (1)] 0, t [0,1]
br
相关函数 RB ( s, t ) min s, t - st, s, t [0,1]
n 0 则 tk tk tk 1 如果 lim n 2 n 2 lim E ( Wk ) t 0 n k 1 n 定理说明：随机变量序列{ ( Wk )2 : n N }
k 1
均方收敛到常数t
证明 随机变量W1, W2 , , Wn 是相互独立的，且
k =Bt
则
(Bt1
, 2
k
-Btk -1 ,
, 2
k =1,
,n
k ~N ( (tk -tk -1 ), 2 (tk -tk -1 ))
, 2
,
,Btn
, 2
)=(1 ,
,n ) Mnn
过程3：布朗桥
B =W (t )-tW (1)
br t
t [0,1]
1918年Wiener在的博士论文以及后来的文章中给出 该理论简明的数学公式 1940年伊藤给出相应的随机微积分公式
1973年，Black-Scholes期权定价公式
称实过程{Wt , t 0}是参数为 2的布朗运动，若
（1） W0 0 （2） {Wt , t 0}是平稳独立增量过程
t0
2t
mBre (t )=E[ W (t ) ]=
方差函数
, t 0
DBre (t )=E[ W (t ) ]-E[ W (t ) ] =t-
2
2
2t
, t 0
mB re (t )=E[ W (t ) ]=
+
-
x
1 e dx 2 t
x2 2t +
x2 2t
2t = ( -e 2 t =
=e
(s +t )
Ee
[W (s )+(W (t )-W (s ))+W (s )] 2
(t -s )
(s +t )
2 W (s )
E
[W (t )-W (s )]
=e
(t +s ) 2 2 s
e
e2
, s,t 0
过程5：反射布朗运动
B = W (t )
均值函数
re t
是n维正态随机变量.
又由于
(W (t1 ),W (t 2 ), , W (t n ))
1 (W (t1 ),W (t 2 ) W (t1 ), , W (t n ) W (t n 1 )) 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1
t [0,1]
C ab (s,t )= min s,t -st
过程:4：几何布朗运动
B =exp(Bt
均值函数
ge t
, 2
)
t 0, R, >0
2
mB ge (t )=E[exp(Bt
相关函数
,
2
)]=exp{( +
2
2
)t}, t 0
RB ge (s,t )=e
dx =e
t
ຫໍສະໝຸດ Baidu
+
-
e
(t )2 2t
dx
=exp{( +
2
2
)t}, t 0
RB ge (s,t )=Ee =e =e
(s +t )
s + W (s ) t + W (t)
e
=Ee
(s +t )+ (W (s )+W (t ))
Ee Ee
(W (s )+W (t ))
2
)
0
2t
, t 0
DB re (t )=E[ W (t ) ]-E[ W (t ) ]2 =E[ W (t ) ] =t2t
2
2t
反射布朗运动的一维分布函数
x 0时，有
F (t; x ) P( B x )
re t
=p(| Wt | x ) p( x W x ) = t ( y )dy
D[W ( s)] (E[W ( s)]) 2 2s 2 min( s, t ) 2 CW (s, t ) RW (s, t ) mW (s)mW (t) min( s, t )
证：Wiener过程是正态过程．
证明 设 {W(t),t≥0}是参数为σ2的Wiener过程. 则对任意的n≥1,以及任意的 0 t1 t2 tn {W(t1), W(t2), …, W(tn)}是n维随机变量
由Wiener过程的定义知
W (t1 ),W (t 2 ) W (t1 ), , W (t n ) W (t n 1 ) 相互独立
W (t k ) W (t k 1 )服从N (0， 2 (t k t k 1 ))分布
所以（W (t1 ),W (t 2 ) W (t1 ), , W (t n ) W (t n 1 )）
若W1 (t ), W2 (t ), W W1 (t ), W2 (t ),
Wd (t )是d 个相互独立 Wd (t )
的标准布朗运动，则称 是d 维标准布朗运动.
2 ( , ) 布朗运动 过程2：
设 R, >0，W (t )是标准布朗运动，定义 Bt
, 2
=t + W (t ), t 0 ，t 0} 为（， ）布朗运动。 2
= lim+ P( W (t ) >xt )
t 0
= lim+
t 0
2 2t
y2 xt exp (- 2t )dy
+
= lim+
t 0
2
+
x
z2 exp (- )dz t 2
2
=
2
+
0
z exp (- )dz =1 2
三、与布朗运动有关的随机过程
过程1：d维布朗运动
x x
1 其中t ( y ) e 2 t
y2 2t
过程6：奥恩斯坦-乌伦贝克过程 （Ornstein-Uhlenbeck）
B =e
t 0
其中
ou t
- t
W ( (t )） t 0， >0
(t )= e
2 s
1 2 t ds = (e -1) 2
, 2
{Bt
, 2
均值函数 mB 相关函数 R
B
(t )=t
2 2 ( s , t )= st + min (s,t ) , 2
性质 证明
( , 2 ) -布朗运动是一个正态过程
对任意自然数 n 1, 不是一般性，取n个不同 的时间指标 0=t0 <t1 <
<tn <, 定义增量
（3） 0 s t, Wt -Ws ~ N (0, (t s))
2
1 时称为标准布朗运动
2
设{Wt , t 0}是参数为 的Wiener过程
2
(布朗运动), 则
(1)
(2)
t 0,W (t ) ~ N (0, t )
2
mW (t ) 0, DW (t ) 2t, t 0, RW ( s, t ) CW ( s, t ) 2 min( s, t ), s, t , 0
Wk ~ N (0, tk ) 于是
2 2 n n 2 2 E ( Wk ) t E [( Wk ) tk ] k 1 k 1
n 2 2 E ( Wk ) tk ( Wl ) tl n k ,l 1 n E[(Wk )2 tk ]2 E[(Wk )2 tk ]E[(Wl )2 tl ]
(2n)! n ]= n t -s , t,s 0 2 n!
P32,例2.2.8
0 E[ (Wk ) 2 t ] [3(tk ) 2 2(tk ) 2 (tk ) 2 ] 2 (tk ) 2 2t n 0
k 1 n
定义 : 当n 时， (Wk ) 的均方极限 t 称为
(t +s ) 2 2 s
2
e
e2
(t -s )
, s,t 0
mB ge (t )=E[exp(Bt =e
t
, 2
)]=
+
-
e
t + x
1 e dx 2 t 1 e 2 t
(x -t )2 2t
x2 2t
+
-
1 e 2 t
x 2 -2 t x 2t
时间可逆性： B(t ) W (T ) W (T t )
W (at )~N (0,at )
令
X =a W (t )
x -
1 2
P(W (at ) x)=
1 e 2 at
1 2
y2 2 at
dy =
-1 a 2x
-
-1 a 2x
1 e dz 2 t
z2 2t
P(X x)=P(a W (t ) x)=
2 k 1
n
Brown运动W (t )的二次变差.
记为
W t t , t 0
称 W { W t , t 0}为Brown运动W的 二次变差过程。
称V max Wk 为Brown运动W的
n :nN
k 1
n
一次变差（或称全变差）.
二 、Brown运动样本轨道的不可微性
定理3.2.1
设t >0,对于固定的时刻t 0, 定义增量 W (t )=W (t +t )-W (t ), 那么对于任意固定的x >0和时刻t >0, 有 W (t ) P( lim+ >x )=1 t 0 t
证明：
W (t ) W (t ) P( lim+ >x )= lim+ P( >x) t 0 t 0 t t
所以(W (t1 ),W (t 2 ), , W (t n ))是n维正态变量. 所以{W(t),t≥0}是正态过程.
一
标准Brown运动的性质
对称性:W (t ) 也是一个标准Brown运动 自相似性：
1 W (at ) W (t ) a
则B {B(t ), 0 t T }也是 一个标准Brown运动
对s≥0, t ≥0,不妨设 s≤t,则
RW (s, t ) E[W (s)W (t )]
E[(W ( s ) W (0))(W (t ) W ( s ) W ( s ))]
2 E [( W ( s ) W ( 0 ))( W ( t ) W ( s ))] E [ W ( s )] 独立性 0 E[W ( s)]2
E[(Wk ) 2 tk ]2
k 1 n
k 1 n
k l 1
[ E (Wk ) 4 2tk E (Wk ) 2 (tk ) 2 ]
k 1
E[ W (t )-W (s)
2n
E[Wk ]4 3(tk )2
于是当 n
n 2 n k 1 k 1