三次样条插值要点前面讲过的插值多项式包

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平面上相邻的四个点 (xi-1 , yi-1 ) , (xi , yi ) , (xi+1 , yi+1 ) , (xi+2 , yi+2 ) 确定区间 [ xi , xi+1 ]上的 一个三次多项式 Pi (x ) ，使得（等距节点情况， 步长为1）：
Pi ( x i )
yi1 4 yi 6
i =Pn (xi ) - yi , i=1,2,….,m 在某种意义下最小。
误差i 实际上是多项式函数的待定系数（n+1个） 的多元函数。
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（3）例如，可以考察误差函数向量的二范数， 确定待定多项式的各个系数，使其最小。

||
||22

m
| i
|2
i 1
求这一极小值问题，得到拟合多项式，这就是最
的一个线性组合：
( x) a00 ( x) a11 ( x) an n ( x)
则误差函数为
mn
(a0 , a0 ,, an ) | ak ( xi ) yi |2
i1 k0
关于ai (i=0,1,…,n)的极小值问题，要求：

ak
(i 1,2,, n 1)
i

hi1 hi hi1
,
i

hi
hi hi1
1 i
di

3 hi hi1 (hi1
yi
yi1 hi
hi
yi1 yi ) hi1
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（6）利用节点上的二阶导数值Mi 来表示插值多项式， 需要解关于Mi 的方程组。因为，Mi 在力学上解 释为细梁在节点截面处的弯矩，且与相邻节点的 两个弯矩有关，故称为三弯矩方程。
( x) F (a0 , a1 ,, an , x)
但求误差向量在2-范数意义下（又称均方误差） 的最小值是最小二乘法的本质。
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（7）加权技术： 可以根据数据点的重要程度、可靠程度等情
况，在误差函数公式中采用加权求和的方法，
获得更好的拟合曲线。
m
|| ||22 i | i |2
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（2）例如，对给定的 m 个测试点上的测试函数值 f(xi ) = yi , i=1,2,,…,m
确定 n 次多项式（n<<m）Pn (x). 这时，我们不可能做到 Pn (xi ) = yi ( i=1,2,…,m) ， 因为条件多于未知数，一般情况下无解的。但我 们可以要求在所有测试点上的函数值的误差
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（4）样条插值多项式的数学表示有很多种形式， 其中用半截函数表示在理论分析和推导上是最 方便的，但在实际计算中则有更直观的简便方 法。不管是用何种形式，只要条件一样，得到 的分段三次样条多项式都是完全一致的（例如， 解三转角方程和解三弯矩方程得到的样条插值 多项式完全等价）。因为，它仍通过给定的函 数值，这类样条函数称为c样条。
第3并步计：算重偏复差第2步i(2，) (2) ( xi ) yi , (i 1,2,, m)
max 直到
|

( i
k
)
(k1) i
|

为止。
1 i m
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i 1
则得到求系数ai 的线性方程组：
(0 ,0 ) (0 ,1 ) (0 , n )a0 (0 , f )

(
1
,

0
)
(1 ,1 )

(
1
,

n
)


a1



(
1
,
f
)


( n ,0 )
2
（3）对于三次样条插值多项式，设有n+1个节点， 则共有n段区间，每段上面要构造一个三次多项式， 共需要确定 4n 个参数（每个三次多项式有4个系 数，每个区间上有1个多项式）。另一方面，在 n+1个节点上的函数值已知，有n+1个条件；在n-1 个内部节点上要求直到二阶导数连续，得到 3(n-1) 个条件（在内部节点上，点左右两边的函数值、 一阶导数值、二阶导数值相等）；这样共有 4n-2 个已知条件，要确定4n个参数，还缺2 个条件， 需要另外增加两个边界条件。
i1
其中i 0, 称为权重。
（8）误差分析：
m
|| ||2 | ( xi ) yi |2
i 1
： 均方误差；
||
||
max
1im
|

(
xi
)

yi
|
：
最大偏差；
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（9）迭代权因子最小二乘法：
利用最小二乘法和加权技术，通过迭代可以
求最大偏差最小的拟合曲线。算法如下：
半截幂函数
xm

xm 0
,x0 ,x0
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（5）利用节点上的一阶导数值mi 来表示插值多项式， 需要解关于mi 的方程组。因为，mi 在力学上解释 为细梁在节点截面处的转角，且与相邻节点的两
个转角有关，故称为三转角方程。
i mi1 2mi i mi1 di ,
其中：
§3、三次样条插值 要点： （1）前面讲过的插值多项式，包括Hermite型，
都是根据若干样值节点上给定的函数值和导数 （甚至是高阶导数）值，求满足这些条件的多 项式函数（该多项式在样值节点上的函数值， 符合这样要求的称为插值）。设一共给了N+1 个条件，则定出一个N次多项式。在分段的情 况下，若是分段的k次多项式，则每一段内应 给出k+1个条件，段与段之间的连接通过边界 点上给出的条件来满足。
• 给定两个端点处的二阶导数值：
S"( x0 ) y0" , S"( xn ) yn"
• 周期边界条件：y0 yn , S'( x0 0) S'( xn 0) ,
S"( x0 0) S"( xn 0)
• 非结点边界条件： S"' ( x)在结点x1和xn1处连续
小二乘法。这是在实际应用中非常重要的一种
典型的数学方法和概念。
用2-范数，不用1-范数或无穷范数，主要是
因为用2-范数使得 是多项式系数 ai (i=0,1,…,n)的多元二次多项式，从而可以方便
地求导数，便于理论分析和给出算法。
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（4）一般地，如果拟合函数写成已知函数族
{ 0 ( x), 1 ( x), , n ( x)}
( n ,1 )

(
n
,

n
)
an

(n , f )
其中f ( y0 , y1 ,, ym )是m 1维的向量。
当{k，k=0,1,…,n}正交时，系数矩阵是对角阵。
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（6）可以将多项式拟合（或逼近）推广为其它 形式函数类的拟合，例如：三角函数，有理多 项式，对数函数，或它们的组合，等等。只要 所用的函数在数据点上构成的m+1维向量是线 性无关的，就可以求解。甚至，拟合函数不是 它们的线性组合，也可以，例如：
第1步：取初始权重
(1) i

1, (i

1,2,, m)
求相应的最小二乘解 (1) (x),
并计算偏差
(1) i

(1) ( xi )

yi , (i

1,2,, m)
第2步：取权重
(2) i
|

(1) i
|

(1) i
,
(
i
1,2,, m)
求相应的最小二乘解 (2) (x),
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#、三次B样条插值 B-样条函数是应用最广泛的生成光滑曲线 曲面的技术之一。最常用的是三次B-样条 函数。与c-样条函数不同的地方是：B-样 条函数甚至不要求通过给定的函数值，而 是用给定的点来控制曲线（曲面）的形状 和光滑度。 对于三次B-样条函数，每一区间上的多项 式由该区间的 2个端点以及其左右 各1个相 邻区间的端点，共四个点的位置来确定。

m
n
k ( xi )( ak ( xi )
i 1
k0
yi ) 0
k 0,1,, n
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（5）记 j ( j ( x0 ), j ( x1 ), , j ( xm ))
是一个m+1维的向量。用内积记号：
m
( k , j ) k ( xi ) j ( xi )
i Mi1 2Mi i Mi1 gi ,
其中：
(i 1,2,, n 1)
i

hi
hi1 hi1
,
i

hi
hi hi1
1 i
gi

hi
6 hi1
( yi1 hi1
yi

yi
yi1 ) hi
6
（7）边界条件
• 给定两个端点处的一阶导数值： S'( x0 ) y0 ' , S'( xn ) yn'
上述条件保证了分段多项式在整个区域上满足
直到二阶导数的连续性。另外，还有很好的局
部性质。
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§4、曲线拟合的最小二乘法
要点： （1）插值（包括样条）多项式，是给定N+1 个条
件，构造出一个N次多项式（或分段多项式）。 条件个数与待定参数的个数正好相等。在实际 工作中，可能测试得到的值很多，而且本身也 有误差，所以构造近似的光滑函数（一般就是 多项式，也可以是其它类型的函数，例如三角 函数）次数不能太高（从而条件多于待定系 数），又不必要求近似函数必须通过函数值 （类似于B-样条的概念）。这样就引出了曲线 拟合和函数逼近的概念。

yi1
,
Pi ( x i1)
yi
4 yi1 6
yi2
,
Pi' ( xi )
yi1 2
yi1
,
Pi' ( xi1 )
yi2 2
yi
,
Pi" ( x i )
yi1 2 yi 2

yi1 ,
Pi" ( x i1)
yi
2 yi1 2
yi2
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（2）样条插值多项式，是一种分段的插值多项式， 但又考虑到所有节点的综合影响。样值节点上 的函数值仍给定（即保持插值条件），但导数 值不再明确给定，代之以要求在所有内部节点 上保持导数（一般要求1阶和2阶导数）连续， 符合这样的条件称为C样条。得到一个分段的 多项式函数（一般是在每个小区间内的三次多 项式），通过给定的函数值，且在整体上保持 直到二阶导数的连续性（一般地，在节点上三 阶导数是间断的）。这时，通常需要解一个与 所有节点有关联的线性代数方程组。