初等数学研究(补充版)

初等数学研究

1.（P383例4）在△ABC 中,∠C=90°，∠A=30°，在△ABC 的外侧分别以AB 、AC 为一边作正△ABE ，正△

ACD,如图，连接DE 交AB 于F 。求证：EF=FD 。

证明：作EH ⊥AB 交AB 于H 点。

∵∠CAD=60°，∠BAC=30°

∴∠EHF=∠DAF=90°

设BC=a ，则又∵∠EFH=∠DFA(对顶角)

∴△EFH ≌△DFA(AAS)

∴EF=FD

2.(P395例6)已知设H 是△ABC 的垂心，O 是外心。OD ⊥BC 于D 。如图，求证：AH=2OD 。

证明：取AB 、H 的中点M 、N ，连接OM,MN,DN

则MN ∥AH ∥OD ND ∥CH ∥OM

∴四边形MNDO 是平行四边形。

∴OD=MN=12

AH 即AH=2OD

3.（P423例21）在△ABC 的三边AB 、BC 、和CA 上分别取点M 、K 和L ，使MK ∥AC ，ML ∥BC ；设BL 、MK 交于P,AK 、ML 交于Q 。如图，求证：PQ ∥AB 。

证明：∵ML ∥BC MK ∥AC

∴KP BP PM PL = BM KQ MA QA

= BP BM PL MA = ∴KP BP BM KQ PM PL MA QA

=== 因此PQ ∥AM 即PQ ∥AB

4.（P430例26）设A、B为平面上的二定点，C为平面位于直线AB同侧的一动点，各以AC、AB为边，在△ABC之外作正方形CADI、CBEJ，如图。

求证：无论C点取在直线AB同侧的任何位置，DE的中点M的位置不变。

证明：自D、E、C和M分别作AB的垂线，设其垂足依次

为G、H、K和N。

∵AD=AC ∠1=∠2 ∠CKA=∠AGD=90°

∴△ADG≌△CAK（AAS）

∴AG=CK DG=AK

同理：CK=BH EH=BK

∴AG=BH

∵N平方HG（MN是梯形中位线）

∴N平分AB

∵EH+DG=BK+AK=AB

∴MN=1

2

(EH+DG)=

1

2

AB

又∵MN⊥AB ∴DE的中点M是定点。

5.（P437例28）在任一三角形中，外心、垂心和重心共线。

证明：∵G为三角形重心

∴AG=2DG

又由P395例6知AH=2DO

又∵OD∥AH

∴∠1=∠2

∴△DOG ∽△AHG

∴∠OGD=∠HGA

∴H 、G 、O 三点共线

6.（P437例29）三角形外接圆上任一点向三边作垂线，则三垂点共线。

证明：假定：任意点P 位于弧BC 上，如图，设X 、Y

和Z 分别是自P 向BC ，CA 和AB 所引垂线之垂足，

再连结B 、PC ，则有

P 、X 、Z 、B 共圆 ∴ α+∠ABP=180°

ABPC 内接于圆 ∴∠ABP='

β

P 、X 、C 、Y 共圆 ∴'β=β

∴α+β=180° 即X 、Y 、Z 共线

7.（P443例30）在直角梯形ABCD 中，以垂直的一腰AB 为直径之半圆切另一腰于E ，自E 作EF ⊥AB 于F ，连结AC 交EF 于M 。求证：AC 平分EF 。

证明：∵AD ∥EF ∥BC

∴AF FM DE AB BC DC == ∵DE=AD ∴DE AD DC DC =

又∵△ACD ∽△MCE

∴AD ME CD CE

=

∴DE AD ME DC DC CE == ∴FM DE ME BC DC CE ==

又∵CE=BC

∴FM

ME BC BC

∴FM=EM

即AC 平分EF 。

8.（P457例42）在等腰Rt △ABC 中，AB=AC ，D 是AC 的中点，连结BD ，过A 作BD 的垂线交BC 于E ，连结DE ，如图，求证：∠ADB=∠CDE 。

证明：作FC ⊥AC 交AC 于C 点，交AE 延长线于F 点，则

Rt △ACF ≌Rt △BAD （ASA ） ∴∠1=∠2 CF=AD=DC

∵∠ECF=∠DCE=45° ∴△CFE ≌△CDE ∴∠3=∠2

∴∠1=∠3

即∠ADB=∠CDE

9.（P475例1.48蝴蝶定理）设AB 是圆O 的弦，M 是AB 的中点，现过M 任作二弦CD 、EF ，记P 、Q 为AB 依次与CF 、ED 的交点。如图，求证：PM=MQ 。

证明：将MF 沿直线OM 翻转至MF ’，则有

MF=MF ’ , ∠1=∠1’

∵D 、E 、F 、F ’四点共圆

∴∠5=∠4

又∵AB ∥FF ’

∴∠5=∠1=∠1’

∴∠1’=∠4

∴M 、F ’、D 、Q 四点共圆

∴∠2’=∠3=∠2

∴△MFP ≌△MF ’Q(ASA)

∴MP=MQ

10.（P481例1.49）在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 上的一点，E 是AD 上的一点，且∠BED=2∠CED=∠A,

求证：BD=2CD 。

证明：在BE 上取BF=AE

∵∠BED=∠BAC

α+∠BAE=∠A

β+∠BAD=∠BED

∴α=β

∴△ABF ≌△CAE(SAS)

∴∠1=∠2 ∠AFB=∠CEA

∴∠3=∠4=12

∠A ∠5=∠BAC-(∠2+β)=∠BAC-∠4=

12∠A ∴∠3=∠5 ∴AE=FE

∴BE=2AE ∴2BED ABE DEC ACE

BD AB BE BE S S DC AC AE AE S S ∙=====∙ 11.（P492题13）在矩形ABCDA 中，M 是AD 的中点，N 是BC 的中点，在CD 的延长线上取PD 点，记Q 为PM 与AC 的交点，求证：∠QNM=∠MNP 。

证明：设O 为矩形中心，则O 为MN 中点，延长QN 交DC 的延长线于R 点

则C 又是PR 的中点