小波变换的应用
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小波变换的主要应用领域：
信号分析 图像处理 量子力学 理论物理 军事电子对抗与武器的智能化 目标分类与识别 音乐与语音的分解与合成
兼职招聘网 www.1087.cn
小波变换的主要应用领域：
医学成像与诊断 地震勘探数据处理 机械故障诊断 数值分析 微分方程求解
DCT Huffman
小波变换的时频局部化特性与分块量化：
小波变换的时频特性，使子图像的能量 集中在图像信号变化较大的地方，而剩 下的大部分区域能量较小。这个特性使 我们可以将子图像分块，并对每个小块 采用不同的量化方案（不同的量化级别） 和不同的码率。
小波变换的时频局部化特性与分块量化：
JPEG中的DCT变换编码：
JPEG的缺点：
在低比特率的场合，压缩效果很差。 不能在同一码流中同时提供有损和无损两 种压缩效果。 不分块的情况下，不能支持大于64KX64K 的图像。 在有严重干扰的场合，解码后的图像质量 下降。 自然图像的压缩效果优于计算机合成图像。 对二值图像（如文本）的压缩效果很差。
各子图像的最佳码率分配。 各块量化电平和判断门限的确定。 小波变换后的整幅特性的码率分配。
可以改进的地方：
1.用小波包变换代替小波变换。
小波包变换 选择最佳子集 量化 熵编码
2. 量化编码中，应该考虑到各级小波系数 间的相关性。
应用中应注意的问题：
小波基的选择。
准则：三个高频分量具有高度的局部相关性，而 整体相关性被大部或完全消除。
小波在图像压缩中的应用：
图像压缩的原理： 图像数据文件中通常包含有大量的冗余 （redundancy)信息和不相干(irrelevancy)的 信息。 包括：空间冗余；时间冗余；结构冗余；视觉冗 余；知识冗余等。
传统的图像压缩方法基于Shannon信息 论。其前提是： 任何一组随机分布的数据的信息量由其 熵来表征。 现在，压缩技术的研究突破了传统信息 论的框架，注入了人的感知特性，利用 感知熵理论，使压缩效果得到了提高。
小波变换后的量化方法：
对低频分量可采用DCT变换，或“之” 字形扫描，非均匀量化等方法。 对高频分量可采用阀值量化，或时频局 部化量化方法。
小波变换后的熵编码方法： Huffman编码。 算术编码。 零树编码。
一个基于小波变换的图像压缩方案：
阀值量化
多级小波变换
Huffman
输出
最优的正交变换：
K-L变换 也称为特征向量变换或主分量变 换。以图像的统计特征为基础。 它以输入图像的特征向量为变换 核矩阵。因而变换核矩阵随输入图像而 变化。
次优的正交变换：
DCT变换 它与K-L变换的变换压缩性能核误 差分接近，计算复杂度适中，具有可分 离性，有快速算法。 在JPEG,MPEG,H.261等压缩标准 中，都用到DCT变换编码进行数据压缩。
y
小波分解数据流示意图
LL LH
2 2
h
*y
g
h
*y
2
h
*x
c(n, m)
HL
2wk.baidu.com
*y
HH
2
2
g
*x
g
*y
小波重构数据流示意图
利用小波变换的图像压缩编码过程：
利用二维离散小波变换将图像分解为多 层次的低频分量和高频分量。 对小波变换后的低频和高频分量，根据 人类视觉生理特性分别作不同策略的量 化处理。 将量化后的数据进行熵编码。
图像压缩编码方法：
变换编码 变换编码也是一种针对统计冗余的压缩编 码方法。是一种有失真编码方法。它首先将图 像时域信号变换到系数空间（变换域，频域）， 再在系数空间进行编码和其他处理。 主要的变换编码方法有：K-L变换，DCT 变换，DFT变换，Haar变换，WalshHadamard变换和小波变换。
对可用于图像压缩的变换的基本要求：
变换后能量更集中。 在变换域上，能量的分布更有规律。
例： f ( x, y) c sin( ( x 2 y 2 ))
在变换域上，我们只要 用c和就可表示。
变换的去相关特性。
变换的能量集中特性与压缩：
X Y
A
或
Y＝AX
其中：A是正交变换（正交矩阵 ）。 变换后的能量： E Y＝Y TY ( AX )T ( AX ) X T ( AT A) X X T X 变换后的总能量不变， 但能量的分布可变。
图像压缩编码的三个阶段：
图像分解
量化
无损压缩
图像压缩编码方法：
统计编码 其理论基础是信息论。压缩的理论极限 是信息熵。所以，也称为熵编码。熵编码是一 种无失真编码方法。 主要的熵编码方法有：霍夫曼 （Huffman)编码；算法编码；行程编码（RJC）
霍夫曼（Huffman)编码：
理论依据是变字长编码理论。 用变长度的码字来使冗余量达到最小。 出现概率大的字符（数）用较短的码字。
图像压缩的国际标准：
静止图像：JPEG,CCITT 电视电话/会议电视：H.261/H.263 活动图像：MPEG
静止图像：JPEG2000 活动图像：MPEG-4,MPEG-7
压缩效果评价：
PSNR 10 log10 (Q 2 / MSE) 其中：Q表示图像数据的量化级 数； 1 M N 2 ˆ MSE [ f ( x, y ) f ( x, y )] MN x 1 y 1
h g
x i
g i2, j g ix h jy g i3, j g ix g jy
gi g j
原 图 像
L
H
LL1 LH1
HL1 HH1
LL2 HL2
LH 2 HH 2
HL1 HH1
图像小波分解示意图
LH1
hy
2 2 2 2
LL LH HL HH
c(n, m)
hx
2
g
y
hy
gx
2
g
1 ( x, y ) 1 ( x) 2 ( y ) ( x, y ) 1 ( x) 2 ( y )
2
3 ( x, y ) 1 ( x) 2 ( y )
特别是当1＝ 2＝， 1＝ 2＝ 则：
( x, y ) ( x) ( y ) ( x, y ) ( x) ( y )
一般正交变换编码的流程框图：
原始图像 正交变换 量 化 熵编码
解码
逆量化
逆正交变换
原始图像
二维可分多尺度分析：
利用行列变换法由两个一维多尺度分析 构造二维多尺度分析。
Wj V j 1 V j 其中：W j＝W
(1) j ( 2) ( 3) Wj Wj
与空间分解相对应，我们构造尺度函数 和小波函数。 设两个一维尺度和小波 分别是1 ( x)， 2 ( y ), 1 ( x), 2 ( y ), 则： ( x, y ) 1 ( x) 2 ( y )
小波基的正则性与图像压缩效果的关系。
正则性愈好，压缩重建后的图像质量愈好。
待处理图像与小波基的相似性。 算法复杂度。
应用中应注意的问题：
分解层数与图像压缩的关系。
通常采用三级分解，也有采用四级，五级分解的。 采用多少级一般由分解后的熵值确定。
小波函数的能量集中特性。 小波变换的边界问题。
霍夫曼编码的一个例子：
概率Pj 字符aj 码字xj
0.40 0.15 0.15 0.10 0.10 0.05 0.04 0.01
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8
0 100 110 111 1010 10110 101110 101111
图像压缩编码方法：
预测编码 预测编码是一种针对统计冗余的压缩编 码方法。是一种有失真编码方法。它利用的是 图像相邻象素之间的相关性，因此，一个象素 可以由它的相邻象素来预测。 主要的预测编码方法有：差分脉冲编码 调制法（DPCM）；自适应预测编码。
当我们需要将N个分量压缩为k个时，我们将 Y的分量按其绝对值的大 小顺序排列： ，y1 ，y2 ， Y ' [ y0 y N] ，y1 ， 1， 取 Y [ y0 yk 0, 0] 则压缩后的均方误差为
N 1 2＝ ( yi2 ) N i k
所以，变换后的能量分 布愈集中，压缩的误差 愈小。
1
( x, y ) ( x) ( y )
2
( x, y ) ( x) ( y )
3
对应有： h h h
0 i, j x i y j y j
或者： hi0, j hi h j g i1, j hi g j g i2, j g i h j g
3 i, j
g
1 i, j
信号分析 图像处理 量子力学 理论物理 军事电子对抗与武器的智能化 目标分类与识别 音乐与语音的分解与合成
兼职招聘网 www.1087.cn
小波变换的主要应用领域：
医学成像与诊断 地震勘探数据处理 机械故障诊断 数值分析 微分方程求解
DCT Huffman
小波变换的时频局部化特性与分块量化：
小波变换的时频特性，使子图像的能量 集中在图像信号变化较大的地方，而剩 下的大部分区域能量较小。这个特性使 我们可以将子图像分块，并对每个小块 采用不同的量化方案（不同的量化级别） 和不同的码率。
小波变换的时频局部化特性与分块量化：
JPEG中的DCT变换编码：
JPEG的缺点：
在低比特率的场合，压缩效果很差。 不能在同一码流中同时提供有损和无损两 种压缩效果。 不分块的情况下，不能支持大于64KX64K 的图像。 在有严重干扰的场合，解码后的图像质量 下降。 自然图像的压缩效果优于计算机合成图像。 对二值图像（如文本）的压缩效果很差。
各子图像的最佳码率分配。 各块量化电平和判断门限的确定。 小波变换后的整幅特性的码率分配。
可以改进的地方：
1.用小波包变换代替小波变换。
小波包变换 选择最佳子集 量化 熵编码
2. 量化编码中，应该考虑到各级小波系数 间的相关性。
应用中应注意的问题：
小波基的选择。
准则：三个高频分量具有高度的局部相关性，而 整体相关性被大部或完全消除。
小波在图像压缩中的应用：
图像压缩的原理： 图像数据文件中通常包含有大量的冗余 （redundancy)信息和不相干(irrelevancy)的 信息。 包括：空间冗余；时间冗余；结构冗余；视觉冗 余；知识冗余等。
传统的图像压缩方法基于Shannon信息 论。其前提是： 任何一组随机分布的数据的信息量由其 熵来表征。 现在，压缩技术的研究突破了传统信息 论的框架，注入了人的感知特性，利用 感知熵理论，使压缩效果得到了提高。
小波变换后的量化方法：
对低频分量可采用DCT变换，或“之” 字形扫描，非均匀量化等方法。 对高频分量可采用阀值量化，或时频局 部化量化方法。
小波变换后的熵编码方法： Huffman编码。 算术编码。 零树编码。
一个基于小波变换的图像压缩方案：
阀值量化
多级小波变换
Huffman
输出
最优的正交变换：
K-L变换 也称为特征向量变换或主分量变 换。以图像的统计特征为基础。 它以输入图像的特征向量为变换 核矩阵。因而变换核矩阵随输入图像而 变化。
次优的正交变换：
DCT变换 它与K-L变换的变换压缩性能核误 差分接近，计算复杂度适中，具有可分 离性，有快速算法。 在JPEG,MPEG,H.261等压缩标准 中，都用到DCT变换编码进行数据压缩。
y
小波分解数据流示意图
LL LH
2 2
h
*y
g
h
*y
2
h
*x
c(n, m)
HL
2wk.baidu.com
*y
HH
2
2
g
*x
g
*y
小波重构数据流示意图
利用小波变换的图像压缩编码过程：
利用二维离散小波变换将图像分解为多 层次的低频分量和高频分量。 对小波变换后的低频和高频分量，根据 人类视觉生理特性分别作不同策略的量 化处理。 将量化后的数据进行熵编码。
图像压缩编码方法：
变换编码 变换编码也是一种针对统计冗余的压缩编 码方法。是一种有失真编码方法。它首先将图 像时域信号变换到系数空间（变换域，频域）， 再在系数空间进行编码和其他处理。 主要的变换编码方法有：K-L变换，DCT 变换，DFT变换，Haar变换，WalshHadamard变换和小波变换。
对可用于图像压缩的变换的基本要求：
变换后能量更集中。 在变换域上，能量的分布更有规律。
例： f ( x, y) c sin( ( x 2 y 2 ))
在变换域上，我们只要 用c和就可表示。
变换的去相关特性。
变换的能量集中特性与压缩：
X Y
A
或
Y＝AX
其中：A是正交变换（正交矩阵 ）。 变换后的能量： E Y＝Y TY ( AX )T ( AX ) X T ( AT A) X X T X 变换后的总能量不变， 但能量的分布可变。
图像压缩编码的三个阶段：
图像分解
量化
无损压缩
图像压缩编码方法：
统计编码 其理论基础是信息论。压缩的理论极限 是信息熵。所以，也称为熵编码。熵编码是一 种无失真编码方法。 主要的熵编码方法有：霍夫曼 （Huffman)编码；算法编码；行程编码（RJC）
霍夫曼（Huffman)编码：
理论依据是变字长编码理论。 用变长度的码字来使冗余量达到最小。 出现概率大的字符（数）用较短的码字。
图像压缩的国际标准：
静止图像：JPEG,CCITT 电视电话/会议电视：H.261/H.263 活动图像：MPEG
静止图像：JPEG2000 活动图像：MPEG-4,MPEG-7
压缩效果评价：
PSNR 10 log10 (Q 2 / MSE) 其中：Q表示图像数据的量化级 数； 1 M N 2 ˆ MSE [ f ( x, y ) f ( x, y )] MN x 1 y 1
h g
x i
g i2, j g ix h jy g i3, j g ix g jy
gi g j
原 图 像
L
H
LL1 LH1
HL1 HH1
LL2 HL2
LH 2 HH 2
HL1 HH1
图像小波分解示意图
LH1
hy
2 2 2 2
LL LH HL HH
c(n, m)
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2
g
y
hy
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2
g
1 ( x, y ) 1 ( x) 2 ( y ) ( x, y ) 1 ( x) 2 ( y )
2
3 ( x, y ) 1 ( x) 2 ( y )
特别是当1＝ 2＝， 1＝ 2＝ 则：
( x, y ) ( x) ( y ) ( x, y ) ( x) ( y )
一般正交变换编码的流程框图：
原始图像 正交变换 量 化 熵编码
解码
逆量化
逆正交变换
原始图像
二维可分多尺度分析：
利用行列变换法由两个一维多尺度分析 构造二维多尺度分析。
Wj V j 1 V j 其中：W j＝W
(1) j ( 2) ( 3) Wj Wj
与空间分解相对应，我们构造尺度函数 和小波函数。 设两个一维尺度和小波 分别是1 ( x)， 2 ( y ), 1 ( x), 2 ( y ), 则： ( x, y ) 1 ( x) 2 ( y )
小波基的正则性与图像压缩效果的关系。
正则性愈好，压缩重建后的图像质量愈好。
待处理图像与小波基的相似性。 算法复杂度。
应用中应注意的问题：
分解层数与图像压缩的关系。
通常采用三级分解，也有采用四级，五级分解的。 采用多少级一般由分解后的熵值确定。
小波函数的能量集中特性。 小波变换的边界问题。
霍夫曼编码的一个例子：
概率Pj 字符aj 码字xj
0.40 0.15 0.15 0.10 0.10 0.05 0.04 0.01
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8
0 100 110 111 1010 10110 101110 101111
图像压缩编码方法：
预测编码 预测编码是一种针对统计冗余的压缩编 码方法。是一种有失真编码方法。它利用的是 图像相邻象素之间的相关性，因此，一个象素 可以由它的相邻象素来预测。 主要的预测编码方法有：差分脉冲编码 调制法（DPCM）；自适应预测编码。
当我们需要将N个分量压缩为k个时，我们将 Y的分量按其绝对值的大 小顺序排列： ，y1 ，y2 ， Y ' [ y0 y N] ，y1 ， 1， 取 Y [ y0 yk 0, 0] 则压缩后的均方误差为
N 1 2＝ ( yi2 ) N i k
所以，变换后的能量分 布愈集中，压缩的误差 愈小。
1
( x, y ) ( x) ( y )
2
( x, y ) ( x) ( y )
3
对应有： h h h
0 i, j x i y j y j
或者： hi0, j hi h j g i1, j hi g j g i2, j g i h j g
3 i, j
g
1 i, j