黑龙江省大庆铁人中学2013-2014学年高一上学期期末数学试题 Word版含答案人教A版

高一学年上学期期末教学检测
数学试题
满分：150分 考试时间:120分钟
第Ⅰ卷（选择题 满分60分）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1.非空集合{}{}
135,116X x a x a Y x x =+≤≤-=≤≤，使得()X X Y ⊆⋂成立的所有
a 的集合是（ ）
A. {}
37a a ≤≤ B. {}07a a ≤≤ C.{}37a a <≤ D.{}
7a a ≤ 2. 函数|12|log )(2-=x x f 的图象大致是（ ）
3.将函数g()
3sin 26x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭图像上所有点向左平移6
π
个单位，再将各点横坐标缩短为
原来的
1
2
倍，得到函数()f x ，则( ) A ．()f x 在0,4
π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在
3,44ππ
⎛⎫
⎪
⎝⎭单调递减
C ．()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增
D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递增
4.已知偶函数()2f x π
+,当)2
,2(ππ-∈x 时，1
3()sin f x x x =+,设(1),a f =(2),
(3)c f =，则( )
A. a b c <<
B. b c a <<
C. c b a <<
D. c a b <
< 5．下列函数中最小正周期为2
π
的是( )
A. sin4y x =
B. sin cos()6
y x x π
=+
C. sin(cos )y x =
D. 42
sin cos y x x =+
6.已知P 是边长为2的正ABC ∆的边BC 上的动点，则(AP AB + A.最大值为8 B.是定值6 C.最小值为6 D.3
7.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ,若AC a =，BD b =，则AF =( )
A .
B .
C .
D .
已a =a b ⋅=||a b +=b =5
A.11
42a b +
B.12
33
a b +
C.11
24a b + D.21
33
a b + 8.下列说法中：⑴若向量//a b ，则存在实数λ，使得a b λ=； ⑵非零向量,,,a b c d ，若满足()()d a c b a b c =-，则a d ⊥
⑶与向量(1,2)a =，(2,1)b =
夹角相等的单位向量2(
,22
c = ⑷已知ABC ∆,若对任意t R ∈,,BA tBC AC -≥则ABC ∆一定为锐角三角形。

其中正确说法的序号是( )
A ．(1)(2)
B ．(1)(3)
C ． (2)(4)
D ． (2)
9.已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对任意的,x y R ∈都满足
()()()f x y x f y y f x ⋅=⋅+⋅，则()f x 是
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．不是奇函数也不是偶函数
D ．既是奇函数又是偶函数
10.已知(),0,αβπ∈且11
tan(),tan 27
αββ-==-，则2αβ-=( ) A ．
4π B ．5
4
π C ．34π- D ．74π-
11.函数1()122
x x f x +⎧⎪
=⎨-⎪⎩(01)
(1)x x ≤<≥，设0a b >≥，若()()f a f b =，()b f a ⋅的取值范围
是( ) A ．1
(0,]4
B ．3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．()0,2
D ． 33,
42⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
12.在平面上，12AB AB ⊥,121OB OB ==,12AP AB AB =+,若1
2
OP <,则OA 的取
值范围是( )
A ．
B
．
⎝⎦ C
．⎝
D ．
⎝ 第Ⅱ卷 （非选择题 满分90分）
二、填空题（每小题5分，共20分）
13. 已知一个扇形的周长是40，则扇形面积的最大值为 . 14. 函数()sin cos()6
f x x x π
=+-,若0a <,则方程()f x a =在[0,4]π内的所有
实数根
之和为 .
15. 已知函数),()(2R b a b ax x x f ∈++=,不等式|3042||)(|2-+≤x x x f 对任意实数
x 恒
成立，则()f x 的最小值是 .
16. 定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(1)(1)f x f x +=-，且x Î(-1,0)时，
f (x )=2x +6
5
则2(log 20)f = .
三、解答题 （第17题10分，其余每题12分，共70分） 17.(10分) 集合(){}
(){}2
,1,,3,03A x y y x
mx B x y y x x =
=-+-==-≤≤.
（1）当4m =时，求A B ⋂；
（2）若A B ⋂是只有一个元素的集合，求实数m 的取值范围．
18.(12分),a b 是两个不共线的非零向量，且||||1120a b a b ==且与夹角为.
（1）记()
1
,,,3
OA a OB tb OC a b ===
+当实数t 为何值时，ACB ∠为钝角？ （2）令[]()|sin |,0,2f x a b x x π=-∈，求()f x 的值域及单调递减区间.
19.(12分) 已知函数()25()3sin 2sin 122f x x x x x R πππ⎛
⎫
⎛⎫
=--
++-∈ ⎪
⎪⎝
⎭⎝
⎭
， (1)求函数()f x 的最小正周期及在区间0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值；
(2)若006(),,542f x x ππ⎡⎤
=∈⎢⎥⎣⎦
，求0cos 2x 的值.
20.已知A 、B 、C 是ABC ∆的三内角，向量)3,1(-=m ，)sin ,(cos A A n = ，且1=⋅n m
. （1）求角A ； （2）若3sin cos 2sin 122-=-+B
B B
，求C tan .
21.(12分)已知0>a 且1≠a ，函数)1(log )(+=x x f a ，x
x g a
-=11
log )(，记
)()(2)(x g x f x F +=
（1）求函数)(x F 的定义域及其零点；
（2）若关于x 的方程2()2350F x m m -++=在区间)1,0[内仅有一解，求实数m 的取值范围.
22.（12分）已知函数()()1
2
123
,23
x t x t f x f x --==⋅（12,,x R t t ∈为常数），函数()f x 定
义为：对每一个给定的实数x ，()
()()()
()()
112212(),f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧=⎨
>⎩
（1） 求证：当12,t t 满足条件122log 3t t -≤时，对于x R ∈,1()=()f x f x ；
（2） 设,a b 是两个实数，满足a b <，且()12,,t t a b ∈，若()()f a f b =，求函数()
f x 在区间[],a b 上的单调递增区间的长度之和.（闭区间[],m n 的长度定义为n m -）
高一学年上学期期末教学检测（数学）答案
一、选择题
二、填空题
13．100 14. 283
π
15. 16- 16. 2-
三、解答题
17.（I ）(){}
1,2（4分）（Ⅱ）m ＝3或m ≥
10
3（6分）
2111118.,(),0333312
1111//,
,,;
21222CA a b
a t
b CA CB CA
CB t t =
-=
-+-⋅
<⎛⎫⎛⎫
=∴-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
解：(1)由得t>-又时，的取值范围是
[][]min max (2)(),
0,2,sin 1,1,
1sin sin 1();27311(),,.2626f x
x x x x f x
f x πππππ==∈∴∈-=-===∈⎣⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
当时，f(x)当时,f(x)的单调递增是，
19. 解：2
()cos )(2cos 1)2cos 22sin(2)6
f x x x x x x x π
=+-=+=+
(1)最小正周期为π;最大值为2，最小值为-1（Ⅱ）解：由（1）可知00()2sin 26f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
又因为06()5f x
=
，所以03sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭由0,42x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，得0272,636
x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣
⎦ 04cos 265x π⎛⎫+==-
⎪⎝⎭
0000cos2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+-=+++=
⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 20.（1）∵1=⋅n m
∴1)sin ,(cos )3,1(=⋅-A A ，即1cos sin 3=-A A …3分
1)6
sin(2=-
π
A , 2
1
)6sin(=
-
∴π
A ∵π<<A 0,6566
ππ
π
<
-
<-
∴A ，∴6
6ππ=-A ， 即3
π
=
A . 6分
（2）由题知：
3sin cos 2sin 12
2-=-+B
B B ，即：0cos 2cos sin sin 22=--B B B B , ∵0cos ≠B ，∴02tan tan 2
=--B B ，∴2tan =B 或1tan -=B ； 10分
而1tan -=B 使0sin cos 2
2=-B B ，故1tan -=B 应舍去，∴2tan =B ，
∴)tan()](tan[
tan B A B A C +-=+-=π
=tan tan 1tan tan A B A B +-
==
-分 21.（1）解：（1）)()(2)(x g x f x F +=x
x a
a -++=11
log )1(log 2（0>a 且1≠a ） ⎩
⎨⎧>->+0101x x ，解得11<<-x ，
所以函数)(x F 的定义域为)1,1(- … ……2分
令)(x F 0=，则011
log )1(log 2=-++x
x a
a ……（*）方程变为 )1(log )1(log 2x x a a -=+，x x -=+1)1(2，即032=+x x
解得01=x ，32-=x …………………3分 经检验3-=x 是（*）的增根，所以方程（*）的解为0=x ，
所以函数)(x F 的零点为0， …………………4分
（2）∵函数1
1,1y x y x
=+=
-在定义域D 上是增函数 ∴①当1a >时， )()(2)(x g x f x F +=在定义域D 上是增函数
②当01a <<时，函数)()(2)(x g x f x F +=在定义域D 上是减函数 6分 问题等价于关于x 的方程2235()m m F x --=在区间)1,0[内仅有一解， ∴①当1a >时，由（2）知，函数F （x ）在)1,0[上是增函数
∴[)()0,F x ∈+∞∴只需2
2350m m --≥ 解得：1,m ≤-或52
m ≥
∴②当01a <<时，由（2）知，函数F （x ）在)1,0[上是减函数
∴(](),0F x ∈-∞ ∴只需2
2350m m --≤ 解得：512
m -≤≤ 10分
综上所述，当01a <<时：512m -≤≤；当1a >时，1,m ≤-或5
2
m ≥（12分）
22. 解：（1）由()f x 的定义可知，1()()f x f x =（对所有实数x ）等价于
()()12f x f x ≤（对所有实数x ）这又等价于1
2
3
23
x t x t --≤，即
12
3log 23
32x t x t ---≤=对所有实数x 均成立. （*）
由于121212()()()x t x t x t x t t t x R ---≤---=-∈的最大值为12p p -， 故（*）等价于12
3
2t t -≤，即123log 2t t -≤，所以当123log 2t t -≤时，
1()()f x f x =
（2）分两种情形讨论
（i ）当1232t t log -≤时，由（1）知1()()f x f x =（对所有实数[,]x a b ∈）
则由()()f a f b =及1a t b <<易知12
a b
t +=
， 再由11
1
11
3,()3,t x x t x t f x x t --⎧<⎪=⎨≥⎪⎩的单调性可知，
函数()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度
为22
a b b a
b +--=（参见示意图1） （ii ）1232t t log ->时，不妨设12,t t <，则213log 2t t ->，于是 当1x t ≤时，有1
212()33()t x
t x f x f x --=<<，从而1()()f x f x =； 当2x t ≥时，有31
2122122log 212()333333()x t t t x t t t x t x t f x f x --+----===>=
从而 2()()f x f x = ； 当12t x t <<时，11()3
x t f x -=，及22()23t x
f x -=⋅，由方程1
23
23x t t x --=⋅
解得12()()f x f x 与图象交点的横坐标为 12031
log 222t t x +=+ ⑴
显然10221321[()log 2]2
t x t t t t <=---<， 这表明0x 在1t 与2t 之间。

由⑴易知
10
102
2(),()(),t x x f x f x x x t f x ≤≤⎧=⎨<≤⎩
综上可知，在区间[,]a b 上，0
102(),()(),a x x f x f x x x b f x ≤≤⎧=⎨<≤⎩ （参见示意图2）
故由函数1()f x 及2()f x 的单调性可知，()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度之和为
012()()x t b t -+-，由于()()f a f b =，即12323t a b t --=⋅，得
123log 2t t a b +=++ ⑵
故由⑴、⑵得 012123
1()()[l o g 2]22
b a
x t b t b t t --+-=-+-= 综合（i ）（ii ）可知，()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度和为2
a
b -。