第二章 投资学
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事件，如明年是否发生地震是不确定的。因此，不确 定性是指发生结果尚未不知的所有情形，也即那些决 策的结果明显地依赖于不能由决策者控制的事件，并 且仅在做出决策后，决策者才知道其决策结果的一类 问题。 – uU (unknown and unknowable,未知不可知状态)
2016/3/2
对外经济贸易大学金融学院 《投资学》
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对外经济贸易大学金融学院 《投资学》
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– 有这样一场掷硬币的赌博：第 一次赢得 2元，第一次输第二 次赢得 4 元，前两次输第三次 赢得 8 元，……一般情形为前 n-1 次输，第 n 次赢得 2 的 n 次方元。
第二章 风险、效用和不确定性 下的投资决策理论
主讲：肖欣荣 金融学院 对外经济贸易大学
主要内容
一． 风险、不确定性与确定性的定义 二． 选择与偏好 三． 效用函数与效用最大化 四． 期望效用理论 五． 对风险的主观态度
2016/3/2
对外经济贸易大学金融学院 《投资学》
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一、风险、不确定性与确定性的定义
– 数学期望最大化原则 – 期望效用最大原则 – 后期望效用最大原则
2016/3/2 对外经济贸易大学金融学院 《投资学》 24
– 最大期望收益准则——不确定的条件下
例子：一个投资决策问题。 四个投资方案A,B,C,D. 判断哪一个最优？
投资方案A 投资方案B 投资方案C x P(x) x P(x) x P(x) 6 1 7 1 -6 0.25 0 0.5 50
我们知晓的未来事件的概率分布或者来自于经验或客观事 因此这里的风险的含义是中性的，一项经济活动的风险可 物的自身规律，或者来自于人们的主观估计。 以由其收益的不可预测的波动性来定义，而不管收益波动采取 什么样的形式。
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– 不确定性，是指那些每个结果的发生概率尚未不知的
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– 如果有一个掷硬币的游戏，出现正面奖励你 1元， 出现反面惩罚你1元。假如这个游戏是一个投资 工具，那么这个游戏应该怎样定价（即花多少前 来买这个游戏的参加权）？我们先看这个游戏的 期望收益（硬币出现正反面的概率相同，各为 1/2）：期望收益=（1/2）×1+（1/2）×（-1）=0 – 现在，如果出现正面奖励2元，出现反面奖励1元， 问该项游戏如何定价？ 期望收益=（1/2）×2+（1/2）×1=1.5
商品/函数
U1 ( x) x
U 2 ( x) x
x1 1
x2 2
U1 ( x) 100 10 x
－90
1
1
2
3
1.414
1.732
－85.86
－82.68
x3 3
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这个结论可以一般化为以下定理。 定理 1 一个效用函数通过正单调变换
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注：二元关系——设S是一个非空集合，R是 关于S的元素的一个条件。如果对S中任意一 个有序元素对（a，b），我们总能确定a与b 是否满足条件R，就称R是S的一个关系 （relation）。如果a与b满足条件R，则称a与 b有关系R，记做a R b；否则称a与b无关系R。 关系R也成为二元关系。
x
yx
y和y
x
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对外经济贸易大学金融学院 《投资学》
11
– 在经济分析中，为了保障消费者偏好表达的逻 辑一致性，通常要求消费者的这种偏好顺序满 足以下几个基本的公理（Axiom）条件。 – 这实际上意味着消费者（理性个人）有能力建 立起一套一贯的价值衡量标准，即理性假设， 去评价事物的好坏。这些一般被视为公理的假 设前提包括：
5
– 确定性，是指完全排除了随机性和不确定性的 各种可能，决策行为和决策状态是确定的，因 而每个决策结果是已知的 。
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6
风险与不确定性的联系
– 由于对有些事件的客观概率难以得到，人们在 实际中常常根据主观概率或者设定一个概率分 布来推测未来的结果发生的可能性，因此学术 界常常把具有主观概率或设定概率分布的不同 结果的事件和具有客观概率的不同结果的事件 同时视为风险。 – 也就是说，风险与不确定性有区别，但在操作 上，我们引入主观概率或设定概率分布的概念， 其二者的界线就模糊了，几乎成为一个等同概 念。
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一阶条件就是
La U q 0 C C La W qC 0
MRSi , j
C为消费，q为其价格 因此最优化的（充要）条件就是边际替代率等于 相对价格比率，即预算线的斜率。
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x y被称为消费者在商品（束） x 、y 中 （1） “弱偏好于” x ，即消费者认为x 至少与y 一 样好。 x y 被称为消费者“严格偏好于”x， （2） 也就是说在任何情况下，消费者都认为x比y 好，即 x y x y, 但y x不成立 （3）x y 被称为消费者“无差异于”商品x、 y，也就是说消费者认为两样东西同样好，即
（positive monotonic transform）而获得的 另一效用函数与原来的函数表达同样的偏 好顺序。 也就是说如果 U ( x) f [U ( x)] ，且 f ( )是单调 递增函数，则有：
U ( x ) U ( y ) U ( x) U ( y )
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相对于看电影来说，现在，我更愿意吃一块牛排。 这时，我们在显示自己的主观偏好
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8
– 偏好关系（preference relation）可以用一种二 元的关系（binary relation）表述出来 – 令C 为商品（或者消费）集合， C 中有M 种可 供选择的商品。它是M 维实数空间RM 中的一 个非负的子集，它总是被假定为闭集和凸集。 x、y、z ⋯⋯是它的子集，或者称之为商品束 （commodity bundle）或者消费束（consume bundle）。我们可以在消费束的集合上建立以 下偏好关系（preference relation）或者顺序 （preference ordering）：
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上述定义只是说效用函数可以为每个商品束指定一个
实数，使得数值上较大的数值表示它更为消费者所偏 好，反之亦然。
这样获得的效用函数只是用来排列偏好的次序的，因
而它只有一个简单的特点：序数性。我们通常称之为 序数效用（函数）（ordinary utility function）。
U / Ci qi U / C j q j
三、期望效用理论
（The Expected Utility Theorem）
一些常用的投资决策准则
– 收益最大准则
收益最大准则广泛应用于完全没有风险的情况下。 按照这一法则，只需选取收益率最高的投资机会即 可。经济学中的生产者理论和价值理论广泛使用这 一准则。 例子：一个公司的最优生产决策问题
2016/3/2 对外经济贸易大学金融学院 《投资学》 26
1738 年发表《对机遇性赌博的分 析》提出解决“圣彼德堡悖论” 的“风险度量新理论”。指出用 “钱的数学期望”来作为决策函 数不妥。应该用“钱的函数的数 学 期 望 ” 。 Daniel Bernoulli （1700-1782)
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令商品空间 ，通过在无差异曲线上的移动所构成
的消费束 C (C1 , C2 )，对于这个特定消费者来说 是没有差异的。
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三、效用函数和效用最大化
在经济分析中，通常用效用函数（utility
function）来进一步描绘偏好关系。一个效 用函数U ( x)可以为一个数值，数值的大小同 消费者的偏好顺序一致。 定义 1 如果对于任何 x, y C，有 x y U ( x) U ( y)和x y U ( x) U ( y) 成立，则函数关系 U : C R是一个代表了 偏好关系 的效用函数。
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7 对外经济贸易大学金融学院 《投资学》
二、确定性环境：选择与偏好
偏好关系 – 效用
我们时常要比较消费不同商品（commodity）或者 服务给我们生理、心理上带来的感受或者说效用 （utility）
– 偏好（preference）是建立在消费者可以观察 到的选择（choice）行为之上的
投资方案D x P(x) -11 0.2 11 0.2 0.4
0.25 25
35
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0.2
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是否期望收益最大准则就是一个最优的决策
法则呢？ 彼得堡大街悖论——
– 对期望收益最大准则的质疑由瑞士数学家尼古拉 斯.贝努利（Nicolaus Bernoulli）与1713年提出的。 这个问题由尼古拉斯.贝努利的堂弟、当时的圣彼 得堡科学院院士丹尼尔.贝努利解决。而这个问题 后来也以“圣彼得堡悖论”而著称。
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如果偏好关系满足上述三种性质，就称之为理性的（rational）
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描述消费者的偏好关系—— 无差异曲线（indifferent curve）
序数性意味着：任意两个消费束之间的效用数值上的
绝对差额是无关紧要的，那么就可能存在许多用来描 述同一偏好顺序的函数。如同在下表中，尽管在效用 的绝对数上有很大差异，三种效用函数反映了同样的 偏好顺序。
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效用函数单调变换不会改变偏好的评级顺序
《风险、不确定性与利润》(1921)
Frank H. Knight (1885-1972)
Knight 不承认“风险=不确定性”，
提出“风险(risk)”是有概率分布的 随机性（randomness with knowable probabilities） ，
而“不确定性(uncertainty)”是不可能有概 率分布的随机性(randomness with unknowable
max(U ) s.t. W qC
其中W 是由收入或者财富构成的预算约束 C为消费，wenku.baidu.com为其价格
2016/3/2 对外经济贸易大学金融学院 《投资学》 21
把个人偏好（效用函数）同约束集合集中在同一个
坐标系中，最优化问题的解就是无差异曲线和预算 约束线的最高切点。下图（a）显示了一个内部最 优解（interior optimal solution）；（b）则是一个 边界最优解（boundary optimal solution）。
定理 2 如果消费者在消费集C 上的偏好关系
具有完备性、自返性、传递性和连续性， 则存在着一个能够代表偏好顺序的连续效 用函数 U : C R 。
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效用函数最大化
消费者选择问题就可以简单地表述为：在既
定收入约束或者财富约束下，最大化消费者 效用函数，即：
probabilities )。
Knight 的观点被普遍接受。但是这一观点成
为研究方法上的区别。
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Knight(1938)对风险与不确定性进行了明
确的区分。
– 风险，是指那些涉及以已知概率或可能性形式出 现的随机问题，但排除了未数量化的不确定性问题。
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– 对于一个风险厌恶型的投资者，而且又是理性 投资者，投资的价格不能高于游戏的期望收益， 即不能高于1.5元。如果低于1.5元，可能会赚 钱；如果高于1.5元，就不太可能赚钱。如果价 格定在1.5元，买卖双方来说就是一个公平游戏， 按照公平游戏规则定价。
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– 有这样一场掷硬币的赌博：第 一次赢得 2元，第一次输第二 次赢得 4 元，前两次输第三次 赢得 8 元，……一般情形为前 n-1 次输，第 n 次赢得 2 的 n 次方元。
第二章 风险、效用和不确定性 下的投资决策理论
主讲：肖欣荣 金融学院 对外经济贸易大学
主要内容
一． 风险、不确定性与确定性的定义 二． 选择与偏好 三． 效用函数与效用最大化 四． 期望效用理论 五． 对风险的主观态度
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一、风险、不确定性与确定性的定义
– 数学期望最大化原则 – 期望效用最大原则 – 后期望效用最大原则
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– 最大期望收益准则——不确定的条件下
例子：一个投资决策问题。 四个投资方案A,B,C,D. 判断哪一个最优？
投资方案A 投资方案B 投资方案C x P(x) x P(x) x P(x) 6 1 7 1 -6 0.25 0 0.5 50
我们知晓的未来事件的概率分布或者来自于经验或客观事 因此这里的风险的含义是中性的，一项经济活动的风险可 物的自身规律，或者来自于人们的主观估计。 以由其收益的不可预测的波动性来定义，而不管收益波动采取 什么样的形式。
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– 如果有一个掷硬币的游戏，出现正面奖励你 1元， 出现反面惩罚你1元。假如这个游戏是一个投资 工具，那么这个游戏应该怎样定价（即花多少前 来买这个游戏的参加权）？我们先看这个游戏的 期望收益（硬币出现正反面的概率相同，各为 1/2）：期望收益=（1/2）×1+（1/2）×（-1）=0 – 现在，如果出现正面奖励2元，出现反面奖励1元， 问该项游戏如何定价？ 期望收益=（1/2）×2+（1/2）×1=1.5
商品/函数
U1 ( x) x
U 2 ( x) x
x1 1
x2 2
U1 ( x) 100 10 x
－90
1
1
2
3
1.414
1.732
－85.86
－82.68
x3 3
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这个结论可以一般化为以下定理。 定理 1 一个效用函数通过正单调变换
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注：二元关系——设S是一个非空集合，R是 关于S的元素的一个条件。如果对S中任意一 个有序元素对（a，b），我们总能确定a与b 是否满足条件R，就称R是S的一个关系 （relation）。如果a与b满足条件R，则称a与 b有关系R，记做a R b；否则称a与b无关系R。 关系R也成为二元关系。
x
yx
y和y
x
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– 在经济分析中，为了保障消费者偏好表达的逻 辑一致性，通常要求消费者的这种偏好顺序满 足以下几个基本的公理（Axiom）条件。 – 这实际上意味着消费者（理性个人）有能力建 立起一套一贯的价值衡量标准，即理性假设， 去评价事物的好坏。这些一般被视为公理的假 设前提包括：
5
– 确定性，是指完全排除了随机性和不确定性的 各种可能，决策行为和决策状态是确定的，因 而每个决策结果是已知的 。
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风险与不确定性的联系
– 由于对有些事件的客观概率难以得到，人们在 实际中常常根据主观概率或者设定一个概率分 布来推测未来的结果发生的可能性，因此学术 界常常把具有主观概率或设定概率分布的不同 结果的事件和具有客观概率的不同结果的事件 同时视为风险。 – 也就是说，风险与不确定性有区别，但在操作 上，我们引入主观概率或设定概率分布的概念， 其二者的界线就模糊了，几乎成为一个等同概 念。
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一阶条件就是
La U q 0 C C La W qC 0
MRSi , j
C为消费，q为其价格 因此最优化的（充要）条件就是边际替代率等于 相对价格比率，即预算线的斜率。
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x y被称为消费者在商品（束） x 、y 中 （1） “弱偏好于” x ，即消费者认为x 至少与y 一 样好。 x y 被称为消费者“严格偏好于”x， （2） 也就是说在任何情况下，消费者都认为x比y 好，即 x y x y, 但y x不成立 （3）x y 被称为消费者“无差异于”商品x、 y，也就是说消费者认为两样东西同样好，即
（positive monotonic transform）而获得的 另一效用函数与原来的函数表达同样的偏 好顺序。 也就是说如果 U ( x) f [U ( x)] ，且 f ( )是单调 递增函数，则有：
U ( x ) U ( y ) U ( x) U ( y )
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相对于看电影来说，现在，我更愿意吃一块牛排。 这时，我们在显示自己的主观偏好
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– 偏好关系（preference relation）可以用一种二 元的关系（binary relation）表述出来 – 令C 为商品（或者消费）集合， C 中有M 种可 供选择的商品。它是M 维实数空间RM 中的一 个非负的子集，它总是被假定为闭集和凸集。 x、y、z ⋯⋯是它的子集，或者称之为商品束 （commodity bundle）或者消费束（consume bundle）。我们可以在消费束的集合上建立以 下偏好关系（preference relation）或者顺序 （preference ordering）：
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上述定义只是说效用函数可以为每个商品束指定一个
实数，使得数值上较大的数值表示它更为消费者所偏 好，反之亦然。
这样获得的效用函数只是用来排列偏好的次序的，因
而它只有一个简单的特点：序数性。我们通常称之为 序数效用（函数）（ordinary utility function）。
U / Ci qi U / C j q j
三、期望效用理论
（The Expected Utility Theorem）
一些常用的投资决策准则
– 收益最大准则
收益最大准则广泛应用于完全没有风险的情况下。 按照这一法则，只需选取收益率最高的投资机会即 可。经济学中的生产者理论和价值理论广泛使用这 一准则。 例子：一个公司的最优生产决策问题
2016/3/2 对外经济贸易大学金融学院 《投资学》 26
1738 年发表《对机遇性赌博的分 析》提出解决“圣彼德堡悖论” 的“风险度量新理论”。指出用 “钱的数学期望”来作为决策函 数不妥。应该用“钱的函数的数 学 期 望 ” 。 Daniel Bernoulli （1700-1782)
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令商品空间 ，通过在无差异曲线上的移动所构成
的消费束 C (C1 , C2 )，对于这个特定消费者来说 是没有差异的。
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三、效用函数和效用最大化
在经济分析中，通常用效用函数（utility
function）来进一步描绘偏好关系。一个效 用函数U ( x)可以为一个数值，数值的大小同 消费者的偏好顺序一致。 定义 1 如果对于任何 x, y C，有 x y U ( x) U ( y)和x y U ( x) U ( y) 成立，则函数关系 U : C R是一个代表了 偏好关系 的效用函数。
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二、确定性环境：选择与偏好
偏好关系 – 效用
我们时常要比较消费不同商品（commodity）或者 服务给我们生理、心理上带来的感受或者说效用 （utility）
– 偏好（preference）是建立在消费者可以观察 到的选择（choice）行为之上的
投资方案D x P(x) -11 0.2 11 0.2 0.4
0.25 25
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是否期望收益最大准则就是一个最优的决策
法则呢？ 彼得堡大街悖论——
– 对期望收益最大准则的质疑由瑞士数学家尼古拉 斯.贝努利（Nicolaus Bernoulli）与1713年提出的。 这个问题由尼古拉斯.贝努利的堂弟、当时的圣彼 得堡科学院院士丹尼尔.贝努利解决。而这个问题 后来也以“圣彼得堡悖论”而著称。
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如果偏好关系满足上述三种性质，就称之为理性的（rational）
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描述消费者的偏好关系—— 无差异曲线（indifferent curve）
序数性意味着：任意两个消费束之间的效用数值上的
绝对差额是无关紧要的，那么就可能存在许多用来描 述同一偏好顺序的函数。如同在下表中，尽管在效用 的绝对数上有很大差异，三种效用函数反映了同样的 偏好顺序。
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效用函数单调变换不会改变偏好的评级顺序
《风险、不确定性与利润》(1921)
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Knight 不承认“风险=不确定性”，
提出“风险(risk)”是有概率分布的 随机性（randomness with knowable probabilities） ，
而“不确定性(uncertainty)”是不可能有概 率分布的随机性(randomness with unknowable
max(U ) s.t. W qC
其中W 是由收入或者财富构成的预算约束 C为消费，wenku.baidu.com为其价格
2016/3/2 对外经济贸易大学金融学院 《投资学》 21
把个人偏好（效用函数）同约束集合集中在同一个
坐标系中，最优化问题的解就是无差异曲线和预算 约束线的最高切点。下图（a）显示了一个内部最 优解（interior optimal solution）；（b）则是一个 边界最优解（boundary optimal solution）。
定理 2 如果消费者在消费集C 上的偏好关系
具有完备性、自返性、传递性和连续性， 则存在着一个能够代表偏好顺序的连续效 用函数 U : C R 。
2016/3/2
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20
效用函数最大化
消费者选择问题就可以简单地表述为：在既
定收入约束或者财富约束下，最大化消费者 效用函数，即：
probabilities )。
Knight 的观点被普遍接受。但是这一观点成
为研究方法上的区别。
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Knight(1938)对风险与不确定性进行了明
确的区分。
– 风险，是指那些涉及以已知概率或可能性形式出 现的随机问题，但排除了未数量化的不确定性问题。
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– 对于一个风险厌恶型的投资者，而且又是理性 投资者，投资的价格不能高于游戏的期望收益， 即不能高于1.5元。如果低于1.5元，可能会赚 钱；如果高于1.5元，就不太可能赚钱。如果价 格定在1.5元，买卖双方来说就是一个公平游戏， 按照公平游戏规则定价。