多目标规划2

解：构造单目标最优化问题
Min f ( x) ( x ) ( x ) Min f ( x) ( x ) ( x ) S . t . f ( x ) x x c S .t. c - x x 即 f ( x) x x c c - x x 0 x , x x , x ( x ) f g1 g 2 g 3 g 4 ( x )
S.t . x X 设最优解为x # , 其中，i f ( pi ) f ( pi ), i f ( pi ) f ( pi )
3、P()的最优解x#是否唯一？若是，转步骤4；否则转5； 4、是否存在一个Pj (j=1,2,…,K)，使得Pj =[f1(x#),f2(x#)]，若 是，令i1=i1+1，i2=K，转步骤2；否则转步骤6； 5、是否i2=2且i1=1 ?若是，则已找到K个非劣点，算法终止 ；否则，令i2=i2-1,i1=i1-1，转步骤2；
设其最优解为x0，记F0=[f10，f20，…，fP0] 则类似于双目标规划问题，可求得其加权系数为
k
f k f k*
* ( f f i i ) i P
0
k ,,..., P
且满足 k 0, k 1,2,..., P , k 1
k 1
P
10.2 分量最优化方法 这一方法是把多目标问题转化成求其分量的单目标最优化问 题，对于各个分量处理方法不同，就形成了不同方法。 一、主要目标法 从多目标函数 F(x)的p个分量中选出一个最重要的目标作为 主要目标，设 fs(x) 为主要目标，同时对于其余 p-1 个分量 fj (x)，(1jP，js)，估计出其上、下限
第十章 多目标规划的解法 10.1 分量加权方法 考虑多目标规划
( P) Min Z F(x) [ f ( x), f ( x), . . . , f p ( x)] s.t. x X
其中， X x x R n , hi ( x) , i m

（ 1 ）
设x*为单目标优化问题（1）的最优解，则有
f ( pi ) f ( x # ) f ( pi ) f ( pi ) 、 判断 是否成立？若是转步骤 ； # f ( x ) f ( pi ) f ( pi ) f ( pi ) 否则转步骤；
7、令K=K+1，对K+1个非劣点按顺序重新编号，并令 i1=i1+1，i2=K，转步骤2。 其中，K为非劣点的个数，为计算精度。i1和i2分别为当前 参与计算的两个非劣点的下标，算法利用这两个非劣点试图 寻找在这两个非劣点之间的另一个非劣点。
性质4是NISE算法的基础。
NISE算法的步骤 1 、 求 f1* 和 f2* ， 最 优 解 分 别 为 x1,x2 ， i1=1,i2=2,K=2 ； 记 Pi1=[f1(x1)，f2(x1)]，Pi2=[f1(x2)，f2(x2)]； 2、求解P(): Min[i f ( x) i f ( x)] P ( ) :
2）求解单目标最优化问题
Min d x X [ f ( x) f* ] [ f ( x) f * ]
设其最优解为x0，记F0=[f1(x0)，f2(x0)] 3）求F0点的加权系数 F0点的几何意义如下图 0恰是以 从图中可见， F f 理想点z*为圆点所作圆 与目标集F相切的切点。 连接z*和F0两点，直线 F0 z*的斜率为 A
解：1）f1*=Minf1（x）=-30，x1=（6，0）， i1=1,i2=2,K=2, Pi1=[f1(x1)，f2(x1)]=[-30,6], f2*=Minf2（x）=-15 x2=（1，4） Pi2=[f1(x2)，f2(x2)]=[3，-15] 2）i1=f2(Pi1)-f2(Pi2)=f2(x1)-f2(x2)=6-(-15)=21, i2=f1(Pi2)-f1(Pi1)=f1(x2)-f1(x1)=3-(-30)=33 求解线性规划 Min Z=21f1(x)+33f2(x), xX, 得x#=(4,4),f 1#=-12, f2#=-12 3)x#为唯一解；
* * * * * * * （ ， ， ... ，m ）和 * （ ， ， ... ， l ）使下式成立 m l * * * * f ( x ) i hi ( x ) j g j ( x* ) i j * g ( x* ) j ,,...,l j j * j ,,...,l j g
f
j
f j ( x) f
j
j P, j s
并将其作为约束条件，这样就把 MOP转化为单目标优化问 题 Min z f s ( x ) S .t. x X f f j ( x) f j j P, j s j
二、恰当等式约束法
例：用恰当不等式法求解MOP
Min F( x ) [ f ( x ), f ( x ), f ( x )] S .t. x X 其中， f ( x ) ( x ) ( x ) f ( x ) x x f ( x ) x x X {x R | x , x }
1，2就是所 求的双目标 f1,f2的权系数
3、多目标规划问题情形 1）分别对P个目标求最优解，即求fj*，(j-1,2,…,P) 记理想点Z*=（f1*，f2*,…, fP*） 2）求解单目标最优化问题
Min d x X
* [ f ( x ) f j j ] j P
Min F ( x) [ f ( x), f ( x)] S .t. x X
假定X是凸集，f1(x)，f2(x)是X上的凸函数，X*为非劣解集 F是目标集， F* 是非劣解集，则对于双目标规划问题，有 如下性质： 性质1 因为X和f1(x)，f2(x)的凸性，目标集F一定是凸集； 性质2 在目标空间中，F的非劣解集F*一定是F的边界； 性质3 非劣解集F*一定完全被集合F0包含，其中
四、确定加权系数的方法
法 1、基本思路：以理想点F*为标准来确定各个目标的权系数 2、双目标规划问题的情形 1）求f1*，得最优解为x1，求f2*，得最优解为x2， F(x1)=[f1*，f21]=[f1(x1)，f2(x1)],F(x2)=[f12，f2*]=[f1(x2)，f2(x2)] 记理想点F*=（f1*，f2*）
例 考虑问题（n=2，m=6，p=2）如下，已知 f1（x）= - 5x1 + 2x2 f2（x）= x1 - 4x2 X={（x1，x2）∣-x1+x2≤3，x1+x2≤8，0≤x1≤6，0≤x2≤4} 试用NISE求所如下，已知 f1（x）= - 5x1 + 2x2 f2（x）= x1 - 4x2 X={（x1，x2）∣-x1+x2≤3，x1+x2≤8，0≤x1≤6，0≤x2≤4} 试用NISE求所有非劣点。
f
f

A
F
*
F
f
*
o
B
f
*
f

f
x1为与目标集中A点相对应的可行解；x2为与目标集中B 点相对应的可行解。集合F0就是上图中的ABO，F*曲 线（AB）完全被包含在F0中。
f

A
f

P
T F
*
R Q
H
B
f

f
性质4 对于非劣曲线 F*上的任意两点P和Q，总存在一 个支撑曲线，它与直线PQ有相同的斜率，这个支撑曲 线与非劣曲线 F* 相切于点 R ，点 R 一定位于 P 和 Q 之间 ，如上图所示。 这个切点R可通过求解如下的参数规划P()得到
f f* K f f *
联立求解（2）、（3）即可得 f f* 0 * * ( f f ) ( f f )
(3)

( f
f f * 0 * * f ) ( f f )
Min z f s ( x) S .t. x X f j ( x) c j
j P, j s
只有当cj (js)取得“恰当”时，所求的单目标最优化解才是 原MOP的非劣解。 三、恰当不等式约束法 Min z f s ( x) S .t. x X f j ( x) c j j P, j s 只有常数cj (js)取得恰当时，求得的最优解才是原 MOP的非劣解。

f

F
*
F
f
*
z
*
B
f f k f f
f

* *

f
*
f

设与直线F0 z*垂直的直线方程为 1f1+2f2= (1) 其中，0<1, 2<1，1+ 2=1 (2) 由（1）式得
1 f2 f1 2 2
由两垂线的斜率关系有（负倒数关系）
附：非线性规划的K-T条件为
Min f ( x ) hi ( x ) g ( x) j i , ,...,m j 1 ,2 ,..., l
设x*为极小点，且
hi ( x* )(i ,,...,m)和g j ( x* )( j ,,...,l )线性无关，则存在向量
一、线性加权和法
( P) Min U (x) s.t.
w
j
p
j
f j ( x)
x X
二、平方加权和法
p U (x) w j ( f j ( x) f * ) j S.t . x X
( P )
三、NISE法 只适用于双目标凸规划,考虑双目标凸规划问题
F {( f , f ) | f f* , f f * , f ( f , f ) A ( ) B , } f* f ( x ) Min f ( x), x X , f * f ( x ) Min f ( x), x X , A [ f ( x ), f ( x )] ( f* , f ), B [ f ( x ), f ( x )] ( f , f * )
P ( ) :
Min[1 f ( x) f ( x)] S.t . x X
这里， ，是直线PQ的斜率，由于曲线 PQ的非劣性，所以
f ( P ) f (Q) f ( P ) f (Q )
根据性质4，如果沿A点和B点之间的非劣曲线 F* ,通过调 整对1和2的选择，并求解P()，就能生成F*的全部非劣 解。特别令1=1, 2=0，就得到端点A；令2=1, 1=0，就 得到端点B。