高考数学一轮复习 几何概型课件
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A)＝12×2 2＝12.
与面积有关的几何概型
例 2 在可行域内任取一点，规则如程序框图所示，求能输出 数对(x，y)的概率．
即在可行域－ －11≤ ≤xx＋ －yy≤ ≤11 内求出点(x，y)，求它在 x2＋y2≤12
内的概率．
解 由题意，求输出的数对(x，y)的概率，即求 x2＋y2≤12所表
探究提高
几何概型的关键是选择“测度”，如本例以角度为“测 度”．因为射线 AD 落在∠DAB 内的任意位置是等可能的， 所以选择“角度”为“测度”是解决本题的关键．
变式训练 3 如图所示，在△ABC 中，∠B＝60°，∠C ＝45°，高 AD＝ 3，在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M，求 BM<1 的概率． 解 ∵∠B＝60°，∠C＝45°， ∴∠BAC＝75°， 在 Rt△ADB 中，AD＝ 3，∠B＝60°， ∴BD＝taAn D60°＝1，∠BAD＝30°.
变式训练 2 设关于 x 的一元二次方程 x2＋2ax＋b2＝0.若 a 是从区间[0,3] 任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有 实根的概率．
解 设
当 a≥0，b≥0 时，方程 x2＋2ax＋b2＝0 有实根的充要条件为 a≥b. 试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，构 成事件 A 的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}， 所以所求的概率为 P(A)＝3×23－×122×22＝23.
探究提高
从该题可以看出，我们将每个事件理解为从某个特定的几何区 域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样．而 一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指 定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．
变式训练 1
在半径为 1 的圆内一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直 径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是
几何概型
要点梳理
忆一忆知识要点
1．几何概型
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 (面积 或 体积 )成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型， 简称为几何概型 ．
2．几何概型中，事件 A 的概率计算公式
构成事件A的区域的测度
P(A)＝试验的全部结果所组成的区域的测度 .
3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点
1
____2 ____．
记事件 A 为“弦长超过圆内接等边 三角形的边长”，如图，不妨在过等边三角形 BCD 的顶点 B 的直径 BE 上任取一点 F 作垂 直于直径的弦，当弦为 CD 时，就是等边三角 形的边长(此时 F 为 OE 中点)，弦长大于 CD 的充要条件是圆心 O 到弦的距离小于 OF，由几何概型公式得：
记事件 N 为“在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M，使 BM<1”，则可得∠BAM<∠BAD 时事件 N 发生． 由几何概型的概率公式得 P(N)＝3705°°＝25.
点评 解答本题时，要特别注意“在∠BAC 内作射线 AM 交
BC 于点 M”这句话，由此确定测度是角度．如果把这句话改
(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；
(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．
要点梳理
忆一忆知识要点
4．几何概型的试验中，事件 A 的概率 P(A)只与子区域 A 的 几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与 A 的位置和形 状无关．
5．求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整 个区域 Ω 的几何度量，然后代入公式即可求解．
与长度有关的几何概型
例 1 有一段长为 10 米的木棍，现要截成两段，每段不小于 3 米的概率有多大？
从每一个位置剪断都是一个基本事件，基本事件有无限多 个．但在每一处剪断的可能性相等，故是几何概型． 解 记“剪得两段都不小于 3 米”为事件 A，从木棍的两端各 度量出 3 米，这样中间就有 10－3－3＝4(米)．在中间的 4 米 长的木棍处剪都能满足条件， 所以 P(A)＝10－130－3＝140＝0.4.
示的平面区域与不等式组
－1≤x＋y≤1 －1≤x－y≤1
所表示的平面区域面积的比．
如图所示，所求概率
P(A)＝
π×12 2×
2＝π4.
探究提高
数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图 解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区 域，由题意将已知条件转化为事件 A 满足的不等式，在图形 中画出事件 A 发生的区域，通用公式： P(A)＝试验的构全成部事结件果A所的组区成域的的区测域度的测度.
[难点正本 疑点清源] 1．古典概型与几何概型的异同点
几何概型是与古典概型最为接近的一种概率模型，两者的 共同点是基本事件是等可能的，不同点是基本事件数一个 是有限的，一个是无限的，基本事件可以抽象为点．对于 几何概型，这些点尽管是无限的，但它们所占据的区域是 有限的，根据等可能性，这个点落在区域的概率与该区域 的几何度量成正比，而与该区域的位置和形状无关． 2．解决几何概型的关键是准确理解问题的“测度”．几何概 型问题易错的根本原因是找不准“测度”．
与角度有关的几何概型
例 3 如图，四边形 ABCD 为矩形，AB＝ 3， BC＝1，以 A 为圆心，1 为半径作四分之 一个圆弧 DE，在∠DAB 内任作射线 AP， 求射线 AP 与线段 BC 有公共点的概率．
此题中关键是知道在∠DAB 内作射线是等可能事件，确 定区域即可．
解 因为在∠DAB 内任作射线 AP，则等可能基本事件为 “∠DAB 内作射线 AP”，所以它的所有等可能事件所在的区 域 D 是∠DAB，当射线 AP 与线段 BC 有公共点时，射线 AP 落在∠CAB 内，区域 d 为∠CAB，所以射线 AP 与线段 BC 有 公共点的概率为∠ ∠DCAABB＝3900°°＝13.
为“在线段 BC 上找一点 M”，则问题的情境立刻发生改变，
相应的测度应改为线段的长度，所求概率为 P(N)＝BBDC ＝
1 1＋
＝ 3
3－1 2.
思想与方法
与面积有关的几何概型
例 2 在可行域内任取一点，规则如程序框图所示，求能输出 数对(x，y)的概率．
即在可行域－ －11≤ ≤xx＋ －yy≤ ≤11 内求出点(x，y)，求它在 x2＋y2≤12
内的概率．
解 由题意，求输出的数对(x，y)的概率，即求 x2＋y2≤12所表
探究提高
几何概型的关键是选择“测度”，如本例以角度为“测 度”．因为射线 AD 落在∠DAB 内的任意位置是等可能的， 所以选择“角度”为“测度”是解决本题的关键．
变式训练 3 如图所示，在△ABC 中，∠B＝60°，∠C ＝45°，高 AD＝ 3，在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M，求 BM<1 的概率． 解 ∵∠B＝60°，∠C＝45°， ∴∠BAC＝75°， 在 Rt△ADB 中，AD＝ 3，∠B＝60°， ∴BD＝taAn D60°＝1，∠BAD＝30°.
变式训练 2 设关于 x 的一元二次方程 x2＋2ax＋b2＝0.若 a 是从区间[0,3] 任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有 实根的概率．
解 设
当 a≥0，b≥0 时，方程 x2＋2ax＋b2＝0 有实根的充要条件为 a≥b. 试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，构 成事件 A 的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}， 所以所求的概率为 P(A)＝3×23－×122×22＝23.
探究提高
从该题可以看出，我们将每个事件理解为从某个特定的几何区 域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样．而 一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指 定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．
变式训练 1
在半径为 1 的圆内一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直 径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是
几何概型
要点梳理
忆一忆知识要点
1．几何概型
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 (面积 或 体积 )成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型， 简称为几何概型 ．
2．几何概型中，事件 A 的概率计算公式
构成事件A的区域的测度
P(A)＝试验的全部结果所组成的区域的测度 .
3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点
1
____2 ____．
记事件 A 为“弦长超过圆内接等边 三角形的边长”，如图，不妨在过等边三角形 BCD 的顶点 B 的直径 BE 上任取一点 F 作垂 直于直径的弦，当弦为 CD 时，就是等边三角 形的边长(此时 F 为 OE 中点)，弦长大于 CD 的充要条件是圆心 O 到弦的距离小于 OF，由几何概型公式得：
记事件 N 为“在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M，使 BM<1”，则可得∠BAM<∠BAD 时事件 N 发生． 由几何概型的概率公式得 P(N)＝3705°°＝25.
点评 解答本题时，要特别注意“在∠BAC 内作射线 AM 交
BC 于点 M”这句话，由此确定测度是角度．如果把这句话改
(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；
(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．
要点梳理
忆一忆知识要点
4．几何概型的试验中，事件 A 的概率 P(A)只与子区域 A 的 几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与 A 的位置和形 状无关．
5．求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整 个区域 Ω 的几何度量，然后代入公式即可求解．
与长度有关的几何概型
例 1 有一段长为 10 米的木棍，现要截成两段，每段不小于 3 米的概率有多大？
从每一个位置剪断都是一个基本事件，基本事件有无限多 个．但在每一处剪断的可能性相等，故是几何概型． 解 记“剪得两段都不小于 3 米”为事件 A，从木棍的两端各 度量出 3 米，这样中间就有 10－3－3＝4(米)．在中间的 4 米 长的木棍处剪都能满足条件， 所以 P(A)＝10－130－3＝140＝0.4.
示的平面区域与不等式组
－1≤x＋y≤1 －1≤x－y≤1
所表示的平面区域面积的比．
如图所示，所求概率
P(A)＝
π×12 2×
2＝π4.
探究提高
数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图 解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区 域，由题意将已知条件转化为事件 A 满足的不等式，在图形 中画出事件 A 发生的区域，通用公式： P(A)＝试验的构全成部事结件果A所的组区成域的的区测域度的测度.
[难点正本 疑点清源] 1．古典概型与几何概型的异同点
几何概型是与古典概型最为接近的一种概率模型，两者的 共同点是基本事件是等可能的，不同点是基本事件数一个 是有限的，一个是无限的，基本事件可以抽象为点．对于 几何概型，这些点尽管是无限的，但它们所占据的区域是 有限的，根据等可能性，这个点落在区域的概率与该区域 的几何度量成正比，而与该区域的位置和形状无关． 2．解决几何概型的关键是准确理解问题的“测度”．几何概 型问题易错的根本原因是找不准“测度”．
与角度有关的几何概型
例 3 如图，四边形 ABCD 为矩形，AB＝ 3， BC＝1，以 A 为圆心，1 为半径作四分之 一个圆弧 DE，在∠DAB 内任作射线 AP， 求射线 AP 与线段 BC 有公共点的概率．
此题中关键是知道在∠DAB 内作射线是等可能事件，确 定区域即可．
解 因为在∠DAB 内任作射线 AP，则等可能基本事件为 “∠DAB 内作射线 AP”，所以它的所有等可能事件所在的区 域 D 是∠DAB，当射线 AP 与线段 BC 有公共点时，射线 AP 落在∠CAB 内，区域 d 为∠CAB，所以射线 AP 与线段 BC 有 公共点的概率为∠ ∠DCAABB＝3900°°＝13.
为“在线段 BC 上找一点 M”，则问题的情境立刻发生改变，
相应的测度应改为线段的长度，所求概率为 P(N)＝BBDC ＝
1 1＋
＝ 3
3－1 2.
思想与方法