常数项级数的概念与性质
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了解：级数的收敛与发散、收敛级数的和的概念, 任意项级数绝对收 敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系, 幂级数在 其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项微分和逐项积分) 。
重点:比较判别法和比值判别法, 交错级数的莱布尼茨判别法，绝对收 敛与条件收敛，幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域。
难点：绝对收敛与条件收敛，简单函数间接展开成幂级数。
第十二章 无穷级数
R
级数简介
无穷级数与极限有着十分密切的关系,它是函数表示、函 数逼近及数值计算的一种重要数学工具.
正项级数
常数项级数交错项级数
无穷级数函数项级数L任a幂 u意re级 项nt数 级 级数 数
F ourier级 数
级数论研究什么问题？
例如：1 x x 2 ... x n ...当x (1,1) 时表示
一个函数，但是当 x (1,1)不是一个函数。
问题2:
无限个函数的和的结果什么时候是函数？什么
时候不是函数？
问题3:
有限个连续函数的和仍然是连续函数，那么如果 无限个连续函数的和仍然是函数，是不是仍然连 续？
问题：如何计算一个函数的函数值？ 比如：(1) y=x2
称此式为（常数项）无穷级数，简称为级数。
一般项
记 un u1 u2 u3 un
n1
说明：定义里只是说无穷个数用加号连接，而
不是说无穷个数的和，说明定义只是一
个形式上的定义。
特点：由于 un 是无穷多项相加，则需要考
n1
虑相加的结果是否为确定的值。
例如：边长为1的正方形的面积=1
：
11 1
1
Sn 2 22 23 2n
显然总的棒长小于1，并且n的值愈大，其数值愈
接近于1；当 n 时，Sn的极限为1。
此时上式中的加项无穷增多，成为无穷多个数相 加的式子，这就是级数。
二、常数项级数的概念
1. 级数的定义:
设给定一个数列 u1, u2 , , un ,
把其用“+”号连接起来 u1 u2 un
问题1:
a1 a2 ... an ... 什么时候表示数？什么时候
不表示数？进一步，当表示一个数时，是不是仍然 象有限个数的加法一样满足结合律，交换律？
问题1：有限个数相加一定有结果，而无限个数相加 会不会没有结果呢？有限个求和的法则能否 用到无限求和中去？
1°1 1 1 1 ? 3°1 2 n ?
第六章 第七章 第八章 第九章 第十章 第十一章
定积分及其应用 向量代数与空间解析几何 多元函数微分学 二重积分 微分方程与差分方程 无穷级数
第十一章 无穷级数
• 常数项级数的概念与性质 • 正项级数及其审敛法 • 任意项级数的绝对收敛与条件 收敛 • 泰勒级数与幂级数 • 函数的幂级数展开式的应用
★ 1+2+3+4=10
一般的，a a ... a 的结果是一个数，但是
1
2
n
当 n 趋近于无穷大时，即a1 a2 ... an ... 其
结果是不是仍然是一个数呢？
例如：1） 1 1 ... 1 ...的结果为 1。
24
2n
2） 2 22 ... 2n ...不是一个数。
一、问题的提出 二、常数项级数的概念 三、等比级数及其在经济学上的应用 四、无穷级数的基本性质 五、小结
一、问题的提出
人们认识事物在数量方面的特性，往往有一个 由近似到精确的过程，在这种过程中，会遇到由 有限到无穷多个数量相加的问题。
例 计算圆面积
方法：以圆内接正多边形的面积
近似表示圆面积。
内接正六边形面积为 a1 内接正十二边形面积为 a1 a2 (a2为6个等腰三角形面积)
教学基本要求
基本要求：
掌握：几何级数及ｐ级数的收敛与发散的条件,正项级数收敛性的比 较判别法和比值判别法, 交错级数的莱布尼茨判别法, 的麦克劳林 展开式，会用它们将简单函数间接展开成幂级数。
熟悉：求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域, 求简单幂级数在其 收敛区间内的和函数。
理解：级数的基本性质和级数收敛的必要条件。
n1
数列sn有极限s,
即lim n
sn
Leabharlann Baidu
s.则称无穷级数
un收敛, 这时极限s叫做级数 un的和.
1
1 2
14212184213
11 186
1316221n
1 3624
1 64
111 1 ?
2. 级数的收敛与发散概念
含义是
un u1 u2 u3 un
什么?
明n显1 ：按通常的加法运算一项一项的加下去, 永远
级也数算是不不完是, 表那示么一级个数数的，结等果价是于什部么分呢和? 数列{sn}是不是 存在极称限无！穷级数的 前n项和
(2) y=ex
0.52 0.5 0.5 0.25
1
e2 ?
本章的级数理论，主要是考虑如上的一些在有限和 的情况下成立的结论，在无限和的情况下是否仍然 成立，即无穷级数的收敛性问题。
在积分运算和微分方程求解时,也经常使用到无 穷级数。 在自然科学和工程技术中,也常用无穷级数来分 析问题。
第一节 常数项级数的概念
内接正二十四边形面积为 a1 a2 a3
n
内接正 3 2n边形面积为 A a1 a2 L an ai
i 1
n
圆面积
A
lim
n
i 1
ai
a1
a2
... an
...
当n 时，即为无穷项相加，即是级数问题.
2. 计算棒长
“一尺之棰，日取其半，万世不竭” ，如果把
每天截取的棒长相加，到第n天所得之棒长之和为
n
sn u1 u2 un ui 为级数的 部分和.
i 1
这样, 级数对应一个部分和数列{sn}:
s1 u1 , s2 u1 u2 , s3 u1 u2 u3 , ,
sn u1 u2 un ,
给定级数就可以决定{sn}，反之一样.
定义 当n无限增大时,如果级数 un的部分和
2°1 2
1 22
1 2n
?
？ 4°1 1 1 1 (1 1) (1 1)
？ 5°1 1 1 1 1 (1 1) (1 1)
★ f ( x), g( x)是[a, b]上的函数，则 f ( x) g( x)也是[a, b]上的函数
一般的，有限个函数的和仍然是函数，但是无限 个函数的和呢？
重点:比较判别法和比值判别法, 交错级数的莱布尼茨判别法，绝对收 敛与条件收敛，幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域。
难点：绝对收敛与条件收敛，简单函数间接展开成幂级数。
第十二章 无穷级数
R
级数简介
无穷级数与极限有着十分密切的关系,它是函数表示、函 数逼近及数值计算的一种重要数学工具.
正项级数
常数项级数交错项级数
无穷级数函数项级数L任a幂 u意re级 项nt数 级 级数 数
F ourier级 数
级数论研究什么问题？
例如：1 x x 2 ... x n ...当x (1,1) 时表示
一个函数，但是当 x (1,1)不是一个函数。
问题2:
无限个函数的和的结果什么时候是函数？什么
时候不是函数？
问题3:
有限个连续函数的和仍然是连续函数，那么如果 无限个连续函数的和仍然是函数，是不是仍然连 续？
问题：如何计算一个函数的函数值？ 比如：(1) y=x2
称此式为（常数项）无穷级数，简称为级数。
一般项
记 un u1 u2 u3 un
n1
说明：定义里只是说无穷个数用加号连接，而
不是说无穷个数的和，说明定义只是一
个形式上的定义。
特点：由于 un 是无穷多项相加，则需要考
n1
虑相加的结果是否为确定的值。
例如：边长为1的正方形的面积=1
：
11 1
1
Sn 2 22 23 2n
显然总的棒长小于1，并且n的值愈大，其数值愈
接近于1；当 n 时，Sn的极限为1。
此时上式中的加项无穷增多，成为无穷多个数相 加的式子，这就是级数。
二、常数项级数的概念
1. 级数的定义:
设给定一个数列 u1, u2 , , un ,
把其用“+”号连接起来 u1 u2 un
问题1:
a1 a2 ... an ... 什么时候表示数？什么时候
不表示数？进一步，当表示一个数时，是不是仍然 象有限个数的加法一样满足结合律，交换律？
问题1：有限个数相加一定有结果，而无限个数相加 会不会没有结果呢？有限个求和的法则能否 用到无限求和中去？
1°1 1 1 1 ? 3°1 2 n ?
第六章 第七章 第八章 第九章 第十章 第十一章
定积分及其应用 向量代数与空间解析几何 多元函数微分学 二重积分 微分方程与差分方程 无穷级数
第十一章 无穷级数
• 常数项级数的概念与性质 • 正项级数及其审敛法 • 任意项级数的绝对收敛与条件 收敛 • 泰勒级数与幂级数 • 函数的幂级数展开式的应用
★ 1+2+3+4=10
一般的，a a ... a 的结果是一个数，但是
1
2
n
当 n 趋近于无穷大时，即a1 a2 ... an ... 其
结果是不是仍然是一个数呢？
例如：1） 1 1 ... 1 ...的结果为 1。
24
2n
2） 2 22 ... 2n ...不是一个数。
一、问题的提出 二、常数项级数的概念 三、等比级数及其在经济学上的应用 四、无穷级数的基本性质 五、小结
一、问题的提出
人们认识事物在数量方面的特性，往往有一个 由近似到精确的过程，在这种过程中，会遇到由 有限到无穷多个数量相加的问题。
例 计算圆面积
方法：以圆内接正多边形的面积
近似表示圆面积。
内接正六边形面积为 a1 内接正十二边形面积为 a1 a2 (a2为6个等腰三角形面积)
教学基本要求
基本要求：
掌握：几何级数及ｐ级数的收敛与发散的条件,正项级数收敛性的比 较判别法和比值判别法, 交错级数的莱布尼茨判别法, 的麦克劳林 展开式，会用它们将简单函数间接展开成幂级数。
熟悉：求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域, 求简单幂级数在其 收敛区间内的和函数。
理解：级数的基本性质和级数收敛的必要条件。
n1
数列sn有极限s,
即lim n
sn
Leabharlann Baidu
s.则称无穷级数
un收敛, 这时极限s叫做级数 un的和.
1
1 2
14212184213
11 186
1316221n
1 3624
1 64
111 1 ?
2. 级数的收敛与发散概念
含义是
un u1 u2 u3 un
什么?
明n显1 ：按通常的加法运算一项一项的加下去, 永远
级也数算是不不完是, 表那示么一级个数数的，结等果价是于什部么分呢和? 数列{sn}是不是 存在极称限无！穷级数的 前n项和
(2) y=ex
0.52 0.5 0.5 0.25
1
e2 ?
本章的级数理论，主要是考虑如上的一些在有限和 的情况下成立的结论，在无限和的情况下是否仍然 成立，即无穷级数的收敛性问题。
在积分运算和微分方程求解时,也经常使用到无 穷级数。 在自然科学和工程技术中,也常用无穷级数来分 析问题。
第一节 常数项级数的概念
内接正二十四边形面积为 a1 a2 a3
n
内接正 3 2n边形面积为 A a1 a2 L an ai
i 1
n
圆面积
A
lim
n
i 1
ai
a1
a2
... an
...
当n 时，即为无穷项相加，即是级数问题.
2. 计算棒长
“一尺之棰，日取其半，万世不竭” ，如果把
每天截取的棒长相加，到第n天所得之棒长之和为
n
sn u1 u2 un ui 为级数的 部分和.
i 1
这样, 级数对应一个部分和数列{sn}:
s1 u1 , s2 u1 u2 , s3 u1 u2 u3 , ,
sn u1 u2 un ,
给定级数就可以决定{sn}，反之一样.
定义 当n无限增大时,如果级数 un的部分和
2°1 2
1 22
1 2n
?
？ 4°1 1 1 1 (1 1) (1 1)
？ 5°1 1 1 1 1 (1 1) (1 1)
★ f ( x), g( x)是[a, b]上的函数，则 f ( x) g( x)也是[a, b]上的函数
一般的，有限个函数的和仍然是函数，但是无限 个函数的和呢？