第4讲 误差合成与分配

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方案2：用公式 P=V2/R
由绝对误差传递公式，有 P V+ P R=2V V/R + V2 R/R2 P= V R 则功率的相对误差为
P= P/P= ••• = 2V – R 方案3：用公式 P=I2R 由绝对误差传递公式，有 P I+ P R=2IR I + I2 R P= I R 则功率的相对误差为
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同理，当总合y由m个分项合成时，可得
m y = f xj j=1 xj
（绝对误差传递公式）
由此易得，相对误差传递公式为：
m lnf y = xj xj j=1
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2.7.2 常用函数的合成误差
(1)积函数的合成误差
设y=A•B, A与B的误差为A与B, 则
y = B • A+ A • B
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2. 系统不确定度的合成
对于只知道误差限, 而不掌握其大小和符号的系 统误差称为系统不确定度, 用ym 表示。 (1) 绝对值合成法 n 系统不确定度 ym=± f jm j=1 xj 相对系统不确定度为
n lnf ym = ± jm j=1 xj
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[例]已知DYC-5超高频电子管电压表在测量交 流电压时的技术指标如下： 1）测量电压范围：0.1－100V，分五档，各档 满度电压为1，3，10，30，100V； 频率范围20Hz－300MHz； 在环境温度（205）C及频率50Hz时各档满度 测量基本误差为2.5%； 2）在0－15 C及25－40 C附加误差为2.5%； 3）频率附加误差为 20Hz－100MHz 3% 100－200MHz 5% 200－300MHz 10% 现在欲测量5V、150MHz的高频电压，环境温 度为32 C，求测量误差的不确定度。
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[例] 用间接测量法测电阻消耗的功率，若电阻、 电压和电流的测量相对误差分别为R/R、 V/V和 I/I，问所求功率的相对误差为多少？
[解]
方案1：用公式 P = IV 由绝对误差传递公式，有 P= P I+ P V=V I +I V I V 则功率的相对误差为 P= P/P=（V I+I V）/（VI）= I+ V
V=V（ ）= 17.6V
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可以认为测量误差主要是电压表造成的，而且 由于两项测量的电压值基本相同，可采用等准确度 分配原则分配误差，则
Vi= V1= V2= V/2= 17.6/2= 8.8V
用引用相对误差为n的电压表测量电压时，若 电压表的满度值为Vm，则可能产生的最大绝对误差 应小于或等于Vi，即 |Vmax|= | n Vm | | Vi |
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[解] 用方和根合成法：
n f 2 ym=± jm j=1 xj = 0.052+0.052+0.0252 = 7.5%
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2.7.4 按系统误差相同的原则分配误差(等准确度分配) 给定总误差后，如何将这个总误差分配给各分项， 即对各分项误差应提出什么要求，这是一个制定误差 分配方案的问题。 当各分项性质相同，大小相近时，可把总误差平 均分配给各分项，即
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[解] 已知满度相对误差为n=，在测量5V 电压时的满度电压为10V，故测量的基本相对误差的 最大值为： V0 /V= n Vm /V= 10/5=
又知频率附加误差Vf /V= ，温度附加误差 为Vt /V= ，从最不利的情况出发，认为各误 差是同方向相加的，则总合的不确定度为
中第K项误差K为微小误差。根据有效数字的规则， K可忽略不计的判断准则如下：
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当总误差取一位有效数字时，若 K <(0.1~0.05) , 则K可忽略； 当总误差取二位有效数字时，若 K <(0.01~0.005) , 则K可忽略。 2. 随机误差的微小准则 n , 设其中第K项误 2 = j j=1 差K为微小误差, 根据有效数字的规则， K可忽略不 计的判断准则如下： 当总误差取一位有效数字时，若 K <(0.4~0.3) , 则 K可忽略； 当总误差取二位有效数字时，若 K <(0.14~0.1) , 24 则K可忽略。 取随机误差的合成为
所以， | n | | Vi | / Vm =8.8/500=1.66%，可见选用 1.5级的电压表能满足测量要求。
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2.7.5 等作用分配
是指分配给各分项的误差在数值上虽然不一定 相等，但它们对测量误差总合的作用是相同的，即 —— 1 = —— 2 = = —— n x1 xn x2 根据系统误差合成公式可得:
300mW=15mW
按等作用分配原则，分配给电流测量的系统误差为
P I ——— — P 2——
I
15mW =———— =2.5mA 23V
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同理，分配给电压测量的系统误差为
P V ——— — P 2——
V
15mW =———— =75mV 2100mA
注意：实际测量中，在按等作用分配原则进行误 差分配后，可根据各分项误差达到给定要求的难易程 度适当进行调节。
y= A+ B 当都有正负号时, 应取 y=± (|A | + | B |) (2)商函数的合成误差
设y=A/B, A与B的误差为A与B, 则 1 A y = —— A – —— B B B2 y= A – B
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但当分项误差的符号不能确定时，仍应取
y=± (|A | + | B |) （3）幂函数的合成误差 设y=KAmBn，易得 y= m A+ n B，当分项误差 的符号不能确定时，应取 y=± (|m A | + | n B |)
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[例] 万用表欧姆挡的简化电路如图所示。试求指 针在什么位置时测量误差最小。 Ri 由图可知 M E Rx= —— – Ri I E Rx = – —— I I2 Rx E ——= ———— I Rx I2 Ri –IE Rx 可得 令 —— —— =0 I Rx I E Rx E I= —— 2Ri
ym = [| V0 /V|+| Vf /V |+| Vt /V |] = [+ + ]= 1 显然，用绝对值合成法求总合的不确定度比较安 全，但却偏于保守。
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（2）方和根合成法
实际上，每一个分项取正或取负的概率为1/2， 故n个相互独立的不确定度都取正或都取负的概率为 (1/2)n。当n较大时，同号的概率很小。在一般情况下， 正负误差抵消的结果，使总合误差的不确定度小于绝 对值合成法的结果。
当Rx =0时，Im=E/Ri ，指针满偏。所以测量的 最佳条件是I= Im /2，故应合理选择量程，使指针尽 26 可能偏转至中心位置附近。
2.8.2 测量方案设计 1. 设计测量方案应考虑的几个方面: (1) 了解被测量的特点, 明确测量目的;
P= P/P= ••• = 2I + R
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2.7.3 系统误差的合成(P59) 1. 确定性系统误差的合成 当测量中各随机误差可以忽略，且各分项系统误 差为已确定的系统误差时，可直接由误差传递公式进 行合成： n f y= j j=1 xj 即总合的系统误差可由各分项系统误差合成。
用 x1 = ( x1–x10)及 x2 = ( x2–x20)分别表示x1及x2分项 的误差，由于 x1 << x1 及 x2 << x2 则台劳级数中高阶小 量可以忽略，总误差为： f x y=y –y0 =y –f(x10，x20 )= f x1 + 2 x1 x2
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y =f( x1，x2 )
=f(x10，x20 ) + [
1 + 2！ +
f f ( x1–x10)+ ( x2–x20 )] x2 x1
2f 2f 2 [ 2 ( x1–x10) + 2 x x ( x1–x10) ( x2–x20 ) x1 1 2
2f ( x –x ) 2 ] + ••• 2 20 x22
采用方和根合成法, 虽然有一定风险, 但比较合理。 n f 2 ym=± jm j=1 xj ym = ± 2 n lnf xj jm j=1
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[例]已知DYC-5超高频电子管电压表在测量交 流电压时的技术指标如下： 1）测量电压范围：0.1－100V，分五档，各档 满度电压为1，3，10，30，100V； 频率范围20Hz－300MHz； 在环境温度（205）C及频率50Hz时各档满度 测量基本误差为2.5%； 2）在0－15 C及25－40 C附加误差为2.5%； 3）频率附加误差为 20Hz－100MHz 3% 100－200MHz 5% 200－300MHz 10% 现在欲测量5V、150MHz的高频电压，环境温 度为32 C，求测量误差的不确定度。
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2.7.6 微小误差准则——抓住主要误差项进行分配
当各分项误差中第k项误差特别大，而其它项对 总合误差的影响可以忽略时，只要保证主要项的误 差小于总合的误差即可。 主要误差项可以是多项，这时可把误差在这几个 主要误差项中分配。 1. 系统误差的微小准则 n 系统误差的合成可用式 = j 计算, 现设其 j=1
2.8 最佳测量条件的确定与测量方案的设计
2.8.1 最佳测量条件的确定
从误差的角度来说，最佳测量就是要使误差的 总合最小。最佳测量方案就是要做到： n f y= j=min j=1 xj σ2
y
n = Σ ( f )2 σ2j=min j=1 xj
当然，选择测量方案，应注意在总合误差基本相 同的情况下，兼顾测量的经济、简便等条件。
2.7 测量误差的合成与分配
实际测量中，测量误差常常是由许多因素产生的； 在间接测量中，测量误差与各个直接测量量有关。 当某项误差与若干分项有关时，这项误差称为总 误差，各分项的误差都叫分项误差或部分误差。
•测量误差的合成 •测量误差的分配
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2.7.1 误差传递公式 总误差与分项误差的关系是各种各样的，如和差关系、 积商关系、乘方开方关系、指数对数关系等。误差传递公式 是一个普遍适用的公式，不涉及具体情况。 设某量y由两个分项x1，x2合成 y = f（ x1，x2 ） 若在y0 =f（ x10，x20 ）附近各阶偏导数存在，则可把y展 开成台劳级数：
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[例] 有5个1000电阻串联, 若各电阻的系统误差分 别为1= –4 , 2= 5 , 3= –3 , 4= 6 , 5= 4 , 求总 电阻的相对误差 R 。
[解] 因为总电阻为 R= R1 + R2 + R3 + R4 + R5 =5000
R = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 =8 R 相对误差为 R =——100%=0.16% R
y j = ——— — n——
xj
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[例] 通过测电阻上的电压、电流值间接测电阻上 消耗的功率。已测出电流为100mA，电压为3V，算出 功率为 300 mW。 若要求功率测量的系统误差不大于 5%，问电压和电流的测量误差多大时才能保证上述 功率误差的要求？ [解] 按题意，功率测量允许的系统误差为
… = n = j
y j= ———— n f x j j=1
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[例] 有一电源变压器的原边与两个副边的圈数 比为w1:w2:w3=1:2:2，用最大量程为500V的交流电 压表测量两个副边总电压，要求相对误差小于， 问应该选哪个级别的电压表？
[解] 由题意可知，两个副边的电压均约为440V， 总电压约为880V，而电压表最大量程只有500V，因 此应分别测量两个副边的电压V1和V2，然后相加得副 边总电压，即V= V1+V2 又据题意知测量允许的最大总误差为