如何命制高考数学模拟试题

如何命制高考数学模拟试题
解题教学是教师的日常工作之一，如果试题不是教师自己命制的，即使通过备课组的集体研讨，对试题的认识也很难达到命题者对试题的认识程度。

多数教师对试题揭示的本质不到位，只能就题讲题，很少去引导学生去联系、变式、拓展，那么试题的辐射功能就不能得到充分的发挥，试题的教学价值就不能得到应有的体现，提升学生的数学核心素养就不能贯彻到位。

模拟命题是对高考命题的实践性研究，是高考命题研究的深化。

一些学校的实践经验表明：组织全体教师参与模拟命题，能有效提高教师的高考试题研究水平、试题鉴别能力和选题组卷能力，进而提升复习指导水平和教学成绩。

命题过程包括：集体编制命题细目表，教师根据各自分工独立编制原创试题初稿，备课组集体反复打磨修改试题，最后组卷定稿等。

高考结束后根据与高考试题吻合度评奖。

编拟的模拟试题也可以作为论文在杂志上发表。

一、数学命题的指导思想
指导思想是：知识载体、能力立意、核心素养。

尽管高考己从知识型考试经历技能型考试、能力型考试，到现在的素质型考试，但仍然是以数学知识为载体展开的。

(1)通过知识载体，考查学生的数学方法、数学思想、数学能力、数学运用、数学文化和数学核心素养；
(2)能力立意主要体现在考查数学的灵活性、变通性和创造性上；
(3)数学核心素养的提出，让我们更清楚了考题对学生数学素质的具体要求和需要达到的层次。

直观想象和数学抽象让我们用数学的眼光看待世界；逻辑推理和数学运算让我们用数学的思维分析世界；数学建模和数据分析让我们用数学的语言表达世界。

二、数学命题的基本原则
基本原则：思想性、科学性、公平性、时代性、创新性
思想性——在传递中国优秀的数学传统文化，传递社会主义核心价值观和正能量；
科学性——指站在数学的角度正确无误；
公平性——指背景公平、内容公平、结构公平；
时代性——指与现实生活、时代发展、社会热点等相适应；
创新性——指推陈出新、新颖独特、突破常规。

三、数学命题的一般步骤
立意——情境——设问——打磨——答案——试做——评估
(一)立意是试题考查的目标
立意是命题的灵魂，是具体体现考试目的之关键，是试题的核心问题．
首先，命题立意要正确，要能实现考试目的，体现能力考查的主旨，应把其所涉及的知识内容与能力要求结合起来，根据所要达到的测试目标组织知识内容；
其次，命题立意要准确，每题的考查目标应独立、完整；
最后，命题立意要重点突出，考查目标要有层次和相关性。

试题立意要注意的问题：
(1)试题考查的是学科主干知识吗？
(2)试题立意符合高考的命题习惯吗？
(3)试题考查的能力目标鲜明吗？
(4)试题的考核目标实现了吗？
（二）情境是命题依托的素材
情境是实现立意的材料和介质，关系着立意表达的程度．
情境要服从立意，情境有利于诱发被测试者将学科知识与技能、学科思维与观念转化迁移到试题的情境中．
情境必须在题干中包含解答所需的必要条件，围绕一个主题展开，不能有多个主题，不能出现与解题无关的内容，语言描述要符合学科特点，明确测试目标．
1.情境来源
近年来高考全国卷命题选材相对稳定。

主要来源于以下几个方面：
(1)重要学术著作，或者现实生活中鲜活的例证；
(2)大数据背景下的新问题和新成果；
(3)赋予传统成就新的意义；
(4)在过程考查上大做文章。

比如，十九大报告中的关于经济生活、文化、科技、生态等问题，可以与数学建模、数据分析结合起来；国家二胎放开后，用马尔萨斯人口增长模型预测人口数量；和谐中国与反应贫富差距的基尼系数的关系等，这些都可以演变成数学问题融入考卷之中，学生会感受到浓厚的时代气息，并有效考查学生的创新思维。

素养导向，2019年命题突出体现“五育”。

1)结合我国科技发展，加强“德育”教育。

理科Ⅱ卷第（13）题以我国高铁列车的发展成果为背景、文科Ⅱ卷第（5）题以“一带一路”知识测试为情境进行设计，引导学生关注现实社会和经济发展。

理科Ⅱ卷第（4）题结合“嫦娥”四号实现人类历史首次月球背面软着陆的技术突破考查近似估算的能力，反映我国航天事业取得的成就。

这些试题都发挥了思想教育功能，体现了对考生“德育”的渗透和引导。

2)合理创设情境，体现体育教育。

理科Ⅰ卷第（15）题、理科Ⅱ卷第（18）题分别引入了非常普及的乒乓球和篮球运动，以其中普遍存在的比赛结果的预估和比赛场次的安排提出问题，要求考生应用数学方法分析、解决体育问题。

文科Ⅰ卷第（6）题设置了学校对学生体质状况进行调查的情境，考查学生的抽样调查知识。

这些试题在考查学生数学知识的同时，引导学生加强体育锻炼，体现了对学生的体育教育。

3)结合学科知识，展示数学之美。

文、理科Ⅱ卷第（16）题融入了中国悠久的金石文化，赋以几何体真实背景，文、理科Ⅰ卷第（4）题以著名的雕塑“断臂维纳斯”为例，探讨人体黄金分割之美，将美育教育融入数学教育。

4)理论联系实际，引导劳动教育.
文科Ⅰ卷第（17）题以商场服务质量管理为背景设计，体现对服务质量的要求，倡导高质量的劳动成果.文、理科Ⅲ卷第（16）题再现了学生到工厂劳动实践的场景，引导学生关注劳动、尊重劳动、参加劳动，体现了劳动教育的要求.
2.设置情境遵循的原则
第一个原则是新颖性
情境新颖的题目能够充分体现公平的背景，深入考查学生知识的迁移能力和运用能力，促进学生的学科能力与素养的提高，所以高考试题情境创新是命题者不断追求的外在形式。

试题情境创新主要体现在“材料背景创新、呈现形式创新、设问方式创新”等三个方面，
第二个原则是丰富性
描述情境的可以是文字材料、各种数据示意图、原理图、结构图、地图、数据表格、漫画、照片等实物、实景图片等．试题的背景材料应该多样化，应该适当地使用图示材料或图表材料．这样一方面可以使试卷卷面更加活泼、美观，增加试卷的亲和性，提高考生的兴趣，使考生不至于因阅读大量文字材料感到疲劳、乏味，影响水平的发挥.
第三个原则是典型性
要尽可能地寻找相关的社会生活、经典言论、新教材中的新情景、学科研究新成果的典型材料．材料越典型，得出的结论科学性越强．
第四个原则是隐形性
考试越大众化，常规思维命题，问题越大众化，押中题的可能性增大；高考试题不回避热点，但往往以隐形介入的方式来影射热点，即所谓“热点问题隐形化”，考查材料虚拟化.
（三）设问是问题的展现形式
1.设问的要求
目标要求：设问要紧紧围绕立意，根据情境选编设问，设问一定要根据情境准确和
明确表达立意的意图，体现其内在含义，这是成功设问的主要标志；
内容要求：设问要针对重点内容并涵盖其他内容，要体现对考试内容的概括。

提问针对性强，提问形式避免呆板，要涵盖由重点内容所涉及的其他问题；
方式要求：设问方式新颖、巧妙、灵活，避免使用生硬的设问，要贴近生活实践和人们对问题的认识．既有学术性，更要注重考生接受设问的亲和性；
语言要求：设问语言准确、简明、通俗．这是体现在设问上的对考试命题语言的要求．考试语言的特点是准确、简明、通俗．要避免出现影响答题的啰嗦而含义不清的设问．
2.设问的角度
说明性角度：考查“是什么”，即考查陈述性知识；
理解性角度：考查“为什么”，即考查程序性知识；
探究性角度：考查“怎么做”，即考查策略性知识。

3.试题设问应注意的问题
(1)试题与提供信息材料结合了吗？
(2)设问精巧吗？
(3)设问指向明确吗？
(4)设问符合高考试题的表达习惯吗？
4.设问的方式——直接式、逆向式、类比式、混合式
(1)直接式，如，=3
sin π.(2)逆向式，如，若21
sin =α，则=α.往往是己知结论找条件，具有开放性、多向性和丰富性的特点.
(3)类比式
如，在△ABC 中，若∠C=90°，则有cos 2A+cos 2B=1.类比上述推理结论，写出下列条件下的结论：在三棱锥P-ABC 中，三个侧面PAB 、PBC 、PCA 两两相互垂直，且分
别与底面所成角为α、β、γ，则有.
(4)混合式是前三中或前两种的一种组合形式
如，给定命题：①若632==b a ，则111=+b a .②若1553==b a ，则111=+b a .
类比①和②这两个命题，可以得到：
命题：若k n m b a ==(m 、n 均为大于1的整数)，则111=+b a .其中的k=(
)
A.m+n
B.mn
C.2m+n
D.n m 直接式用在基础题中，逆向式、类比式用在中档题中，混合式用在较难的压轴题中，体现思维的广度、深度和高度。

对于“打磨——答案——试做——评估”等步骤不再一一赘述．
四、原创型试题的命制技术
1.演绎法
从一个真命题（概念、定理、公式等）或者一组条件出发，通过逻辑推理进行试题命制的方法叫做演绎法.
案例1：已知0,,>c b a ，则bc c b ac c a ab b a 2,2,2≥+≥+≥+，相加得bc ac ab c b a ++≥++，
赋予条件1=abc ，则c
b a ca b
c ab 111111++≥++.命制题目：已知0,,>c b a ，且1=abc ，求证：
c b a ca bc ab 111111++≥++.案例2：在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，c=2，C B tan 2tan =,求△ABC 面积的最大值.
由C B tan 2tan =得C
C B B cos sin 2cos sin ⨯=，即B c C b cos 2cos =，由余弦定理得ac
b c a c ab c b a b 222222222-+⨯=-+⨯，再结合c=2得12322=-a b .命制题目：在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，c=2，12322=-a b ,
求△ABC 面积的最大值.
2.逆推法
先给出一道数学题目的预期结果，然后逆推出结果所满足的条件进行命制试题的方法叫做逆推法.
案例3：命制一道“△ABC 的一个内角A=60°”的试题.由余弦定理得bc a c b A 2cos 60cos 222-+==︒
，化简得bc a c b =-+222，变形得()()()22222bc c b c b bc c b a c b +=+=+-+，即c a b a c b 2233+=+.
命制题目1：在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，c a b a c b 2233+=+,则∠A=.
由A=60°得212sin =A ，即2cos 2sin 2cos 2A A A =，即2
cos sin 2B A A --=π,即2sin
sin sin sin B A B A B +=，即2sin sin sin sin B A B A B +=，即2sin sin B A b B a +=.命制题目2：(2019年全国Ⅲ理科数学18题第(1)题)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2
sin
sin B A b B a +=.(1)∠A;
(2)若△ABC 为锐角三角形，且c=1,求△ABC 面积的取值范围.
案例4：命制一道“首项为2，公差为2的等差数列”的试题.
由2,21==d a 得n a n 2=，)1(221+=+=+n n S n a n n ，，则)1(1++=+n n S na n n .
命制题目1：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21=a ，)1(1++=+n n S na n n ，求n a .
3.类比法
由某一类事物的特征相似地得到另一类事物相应的特征进行命制试题的方法叫做类比法.
案例5：在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，则“a ，b ，c 成等差数列”的一个充分条件是（）.
A.20π
<<b B.320π
<<b C.30π
≤<b D.6
50π
≤<b 命制题目1：“a ，b ，c 成等比数列”的一个充分条件是.
命制题目2：“A ，B ，C(均用弧度数表示)成等比数列”的一个充分条件是
.案例6：设圆E:)0(222>=+a a y x 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的正半轴交于点B ，四边形ABCD 内接于圆E ，且CD AB ∥，求证：BC AD k k ⋅为定值.
命制题目1：设椭圆E:13
422=+y x 右顶点为A ，上顶点为B ，四边形ABCD 内接于椭圆E ，且CD AB ∥，求证：BC AD k k ⋅为定值.
案例7：求函数2)()(2+-=a x x f 在]1[+t t ，上的最小值.
【分析】函数2)()(2+-=a x x f 的极小值为a x =，考虑函数x a x x g ln )(-=的极小值也为a x =，于是得到如下的题目：
命制题目：求函数x a x x g ln )(-=在]1[+t t ，上的最小值.
4.基本量法
在一个数学逻辑系统中，存在n 个独立的量，其它的量均可以用这n 个量表示，并且这n 个中的任何一个量不能用余下的量求解，就称这n 个量为这个数学逻辑系统中的基本量.通过给出基本量命制试题的方法叫做基本量法.
案例8：命制解三角形试题
1.三角形中量有a ,b ,c ,h (高),A ,B ,C ,l (角平分线),m(中线),R (外接圆半径),r(内切圆半径),p(半周长),S(面积)等；
2.三角形中的基本量有三个，确定基本量并给出基本量的值.如，a=3,b=4,c=5.
3.由基本量算出其它量的值.如，.301522
131312sin 135sin 2=======S p r R B A C ，，，，，π
命制题目：在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边
分别为a 、b 、c ，13
12sin 2=
=B C ，π，且△ABC 的外接圆半径2=r ，则=a .案例9：命制等差数列的试题.
等差数列中的量有首项，公差，末项，项数，前n
项和等，但基本量有两个首项和公差，也可以是数列中某两项等.
命制题目：(2018年卷Ⅱ第17题)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知71-=a ，153-=S .
(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)求n S ，并求n S 的最小值.
5.模型法
将实际问题经过分析、综合、概括、抽象后，进行数学化处理编成数学试题.常用的模型有：自然模型、社会模型、经济模型、物理模型、经验模型、几何模型等等.
案例10：若)(x g 是奇函数，且c x g x f +=)()(，则必有c x f x f 2)()(=+-.
命制题目1：(2018年卷Ⅲ文第16题)已知函数4)(1)1ln()(2=+--=a f x x x f ，，则=-)(a f .
命制题目2：(2011年福建高考理科试题)
对于函数),,(sin )(Z c R b a c bx x a x f ∈∈++=，选取a,b,c 的一组值计算)1()1(-f f 和，所得出的正确结果一定不可能的是（
）A.4和6 B.3和1 C.2和4
D.1和2案例11：两个相交平面分别过两条平行线中的一条，则它们的交线分别平行于这条直线.即若，，，βαβα⊂⊂=⋂b a l 则b l a l ∥，∥.
命制题目1：(2013年安徽高考试题)
如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB、CD分别是底面圆O上的两条平行的弦，求证：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面.
命制题目2：在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD为正方形，SA=SB=SC=SD=AB，E是SA的中点，在线段BE上取一点P，过P和SC作一平面与平面BDE交于PQ，则直线PQ与AC所成角的大小为（）
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
案例12：以某地区科级干部“党风廉政知识”的成绩预测，命制正态分布的题目.
命制题目：某区组织部为了了解全区科级干部“党风廉政知识”的学习情况.按照分层抽样的方法，从全区320名正科级干部和1280名副科级干部中，抽取40名科级干部参加“党风廉政知识”预测.现将这40名科级干部，分为正科级干部组和副科级干部组，利用同一份试卷，分别进行预测.经过预测后，两组各自将预测成绩统计分析如下表：分组人数平均成绩标准差
正科级干部组a806
副科级干部组b704
(1)求a,b;(2)求这40名科级干部预测成绩的平均分x和标准差s;
(3)假设该区科级干部“党风廉政知识”的预测成绩服从正态分布)
,(2σ
μ
N,用样本平均数x作为μ的估计值μˆ，用样本标准差s作为σ的估计值σˆ，利用估计值估计该区科级干部“党风廉政知识”的预测成绩小于60分的约有多少人？
案例13：以“有心圆锥曲线的第三定义”为模型命制试题.
命制题目1：(2015年卷Ⅱ第20题第1问)已知椭圆)0(9:222>=+m m y x C ，直线l 不经过原点且不平行于坐标轴，直线l 交C 于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.
命制题目2：(2018年卷Ⅲ文科第20题第1问)已知斜率为k 的直线l 与椭圆134:22=+y x C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为)0)(,1(>m M M ，证明：2
1<k .6.创新探究法
对于一些新情境、新问题进行创新性探究，并取得正确结论，从而进行试题的命制，这种方法叫做创新探究法.
案例14：已知抛物线)0(2:2>=p px y E 的焦点为F ，准线为l .过点F 且与x 轴不垂直的直线与抛物线E 交于两点A,B ，过AB 的中点M 作x 轴的平行线交准线l 于点N ，设MN 的中点P.则有以下结论：
(1)点P 在抛物线E 上；
(2)抛物线E 过点P 的切线m 与直线AB 平行；
(3)设直线MN 与y 轴交于点G ，抛物线E 过点P 的切线m
与y 轴交于点H,则|GH|=|HO|;
(4)设抛物线E 过点P 的切线m 与x 轴交于点Q ，|PF|=|FQ|=|PM|，且四边形PMFQ 为平行四边形；
(5)|AB|=4|PF|;
(6)设直线PA ,AB ,PB 的斜率分别为k 1,k 2,k 3,则
2
31211k k k =+
；
(7)延长PF 交抛物线于点C ，则||2||||PC p FC AB =⋅.
命制题目：平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线x y E 4:2=的焦点为F ，准线为l.过点F 的直线与抛物线E 交于两点A,B ，过AB 的中点M 作x 轴的平行线交准线l 于点N ，设MN 的中点P.
(1)求证：点P 在抛物线E 上；
(2)设直线PA ,AB ,PB 的斜率分别为k 1,k 2,k 3,是否存在实数λ，使得等式2
31211
k k k =+成立；若等式成立，求出λ的值；若等式不
成立，请说明理由.
五、改编试题的命制技术
(1)以现有的题目为基础，进行适当的改造，变成一道新题。

(2)分析题目的实质、提炼解法，向其他知识块移植类比。

(3)引进讨论的参数，增加解题的层次。

(4)可以将原题的条件，结论改为等价形式。

(5)可以将原题条件结论交换。

(6)可以将原题消弱或增加条件。

(7)可以将特殊的结论一般化，或者用一般性结论解决特殊问题。

多数情况下，编题是多种方法同时使用的。