循环比赛排名分析

6支球队比赛结果
1 2
6
3
0 1 0 0 1 1 A 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 1
1 1 1 0 0 0
1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1
s (1) (4,3,3,2,2,1)T , s ( 2 ) (8,5,9,3,4,3)T
s
(1 )
1 2 4
(4)
Ae ( 2,2,1,1) ~ 1级得分向量
T
3
s ( 2 ) As (1) (3,2,1,2) T ~ 2级得分向量
s
( 3)
(3,3,2,3) ,
T
s
( 4)
(5,5,3,3)
T
s
( 5)
(8,6,3,5) ,
T
s
( 6)
(9,8,5,8)
(k )
( k 1)
Ae
k
• 对于n(>3)个顶点的双向连通竞赛图，存在 正整数r，使邻接矩阵A 满足Ar >0，A称素阵.
• 素阵A的最大特征根为正单根，对应正特征 向量s，且
lim
k
Ak e

k
s
双向连通竞赛图的名次排序
lim
k
s As
(k )
( k 1)
Ae
k
Ak e
表6.10 第一阶段循环比赛成绩
第一轮 郝帅 马琳 张超 王励勤 王皓 马龙 陈玘 雷振华 李平 单明杰 张继科 邱贻可 王建军 许昕 李虎 侯英超 郝 马 帅 琳 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 张 超 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 王 励 勤 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 王 皓 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 马 龙 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 陈 玘 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 雷 振 华 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 单 李 明 平 杰 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 张 继 科 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 邱 贻 可 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 王 建 军 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 侯 许 李 英 昕 虎 超 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0
循环比赛的名次
主讲：王茜
6.2 循环比赛排名模型
背景与问题 • n支球队单循环赛，两两交 锋.
•每场比赛只计胜负，不计 比分，没有平局。
• 根据比赛结果排出各队名次
6支球队比赛结果
方法1：
1队胜4场； 2队胜3场； 3队胜3场； 4队胜2场；
6
1
2
3
无法排名？
5 4
5队胜2场；
6队胜1场。
有向图（diagraph）
2007年5月23到 27日，第49届世界 乒乓球单项锦标赛 在萨格勒布进行， 本次单项赛包括男、 女单打、男、女双 打和混双五个项目, 共计可派出男女各 12名选手。国家乒乓球球队在世乒赛等重大国际比赛前， 往往进行队内大循环比赛，然后选出前几名队员直通。
其中男单选拔规则如下： 中国乒乓球男队的比赛共16人参加，比赛采用11分制， 每场为5局3胜。在比赛中如出现伤病和其他不可预测的 原因而中途退出比赛者，在此前的比赛成绩有效。 根据规定，两次队内选拔赛积分相加获得前三名的运 动员将获得参加第49届世乒赛男子单打比赛的资格，获 得四至六名的运动员将获得第49届世乒赛的参赛资格。 下面的表6.10和表6.11分别是两次大循环相互的比赛 成绩，表格中1表示横向运动员赢了纵向运动员，反之 则为0。请根据该成绩对所有对员进行排名。
s (s1 , s2 ,, sn )
T
2 4
(4)
3
s Ae, e (1,1,,1)
T
0 0 A 0 1
1 0 0 0
1 1 0 0
0 1 1 0
s (1) Ae ( 2,2,1,1) T ~ 1级得分向量
双向连通竞赛图G=(V,E)的名次排序
表6.11 第二阶段循环比赛成绩
第二轮 郝 马 帅 琳 郝帅 0 1 马琳 0 0 张超 0 0 王励勤 0 0 王皓 1 0 马龙 0 1 陈玘 0 0 雷振华 1 0 李平 0 1 周斌 0 1 张继科 1 0 邱贻可 1 0 王建军 0 0 许昕 1 0 李虎 0 0 侯英超 0 0 张 超 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 王 励 勤 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 王 皓 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 马 陈 龙 玘 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 雷 振 华 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 李 周 平 斌 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 张 继 科 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 邱 王 贻 建 许 可 军 昕 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 李 虎 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 侯 英 超 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0
1
1
1
1
2
2 3
2 3 4
(3)
2 3 4
(4)
4
Hale Waihona Puke Baidu
(1)
4
(2)
3
竞赛图的性质： • 必存在完全路径； • 若存在唯一的完全路径，则由它确定的顶 点顺序与按得分排列的顺序一致，如(1) 。
双向连通竞赛图G=(V,E)的名次排序
1
邻接矩阵
得分向量
1, vi v j E aij 0, vi v j E
G =（V，E）
3 2， 4 5
53 ？
排名 132456 合理吗？
6支球队比赛结果
方法2：
寻找按箭头方向通过 全部顶点的路径。
（哈密顿路或完全路径）
6
1
2
3
5
4
312456 146325 ……
无法排名
计算困难且不唯一！
循环比赛的结果——竞赛图
竞赛图：每对顶点间都有边相连的有向图。
2个顶点的竞赛图:
(2, 0, 2, 2)
{(1,3,4), 2} (2, 2, 1, 1)
2
4
(4)
{(1,2),(3,4)}
3
{1, 2, 3, 4}?
1
1
1
1
2
2 3
2 3 4
(3)
2 3 4
(4)
4
(1)
4
(2)
3
竞赛图的3种形式： • 具有唯一的完全路径，如(1)；
• 双向连通图——任一对顶点存在两条有 向路径相互连通，如(4)； • 其他，如(2)， (3) 。

k
s
k , s (归一化后 )s
(k )
用s排名
1
2
4
(4)
3
0 0 A 0 1
1 0 0 0
1 1 0 0
0 1 1 0
{1, 2, 3, 4}?
1.3953 ,
s (0.323,0.280,0.167,0.230)T
排名为{1，2，4，3}
5 4
s ( 3) (15,10,16,7,12,9)T , s ( 4 ) (38,28,32,21,25,16)T
2.2324 ,
s (0.238 ,0.164,0.231 ,0.113 ,0.150,0.104)T
排名次序为{1，3， 2，5，4，6}
例1 乒乓球循环比赛排名问题
T
s ( 7 ) (13,13,8,9)T ,
s (8) (21,17,9,13)T
k
0 0 A 0 1
1 0 0 0
1 1 0 0
0 1 1 0
s
(k )
As
( k 1)
Ae
k , s ?
(k )
双向连通竞赛图的名次排序
s As
3个顶点的竞赛图:
2
1
2
2
1
(1)
3
1
(2)
3
得分 名次
（2，1，0） {1，2，3}
（1，1，1） {(1,2,3)}并列
4个顶点的竞赛图:
1 1 1
2 4
(1)
2
3 4
(2)
2 3 4
(3)
3
得分
名次
(3, 2, 1, 0)
{1, 2, 3, 4}
1
(1, 3, 1, 1)
{2,(1,3,4)}