高中数学专题等差数列课件人教版

则a－d＋a＋a＋d＝12且a(a－d)(a＋d)＝48，
解得a＝4且d＝±2， 又{an}递增，
∴d>0，即d＝2，
∴a1＝2.
2．△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则角B等于 A．30° B．60° C．90° D．120° 答案：B 3．等差数列1,3,5,7…的通项公式是________． 解析：因为a1＝1，公差d＝3－1＝2， 所以其通项公式为an＝1＋(n－1)×2，即an＝2n－1. 答案：an＝2n－1 4．3与15的等差中项是________． 答案：9
答案：a1＋(n－1)d
将以上n－1个等式两边分别相加，可得an－a1＝(n－1)d， 移项得通项公式an＝a1＋(n－1)d.“累差法”是推导给出形如an＋ 1－an＝f(n)(n∈N*)递推公式的数列的通项公式的一种重要方 法．
由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要 知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d， n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一 个量．
(2)x，A，y 成等差数列, 两个数的等差中项就是这
两个数的算术平均数，因此可以用它来判断或证明三个
数成等差数列．
2．等差数列的通项公式 公式an＝a1＋(n－1)d也可以用以下方法(累差法) 导出： a2－a1＝d
a3－a2＝d a4－a3＝d n－1 个
… an－an－1＝d 所以由此可得：等差数列的首项为a1，公差为d，则其 通项an＝________.
方法点评：如果a，b，c成等差数列，常转化成 a＋c＝2b的形式去运用；反之，如果求证a，b，c成 等差数列，常改证a＋c＝2b.有时应用概念解题，需 要运用一些等值变形技巧，才能获得成功．
已知数列{an}中， a1 5 且 an 2an1 2n 1 （ n 2 且 n N* ）．
（1）求证数列
(2)等差数列的符号语言：在数列 an 中，如果 an ＋1－an＝d(常数)对任意 n∈N*都成立，则称数列 an 为等差数列，常数 d 称为等差数列的公差．
2．若三个数a，A，b构成等差数列，则A叫做a与b的 ________，并且A＝________.
答案：等差中项 a＋b 2
特别提示：(1)在一个等差数列中，从第 2 项起， 每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它前一项与后 一项的等差中项，即 2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．
答案：等差 公差
要点阐释
1．等差数列的定义 特别提示：(1)注意定义中“同一常数”这一要求， 这一要 求可理解为：每一项与前一项的差是常数且是同一常数，否 则这个数列不能称为等差数列． (2)注意定义中“从第2项起”这一要求，这一要求可理解为： 首先是因为首项没有“前一项”，其次是如果一个数列，不是 从第2项起，而是从第3项起，每一项与前一项的差是同一个 常数，那么这个数列不是等差数列，但可以说这个数列从第2 项起(即去掉第1项后)是一个等差数列．
第二节 等差数列
学习目标：
1．理解等差数列的概念． 2．掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念，深化 认识并能运用．
自学导引
1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差 都等于同一个常数，那么这个数列就叫做________数列，这 个常数叫做等差数列的________，公差通常用字母d表示．
典例剖析
题型一 等差数列的通项公式 例、在等差数列{an}中 ，已知a6=12 ，a18=36 , 求通项公式an
a1+5d=12
解：由题意可得 a1+17d=36
∴ d = 2 ，a1 =2
∴ an = 2+(n-1) ×2 = 2n
【变式】在等差数列{an} 中，首项 a1 0, 公差 d 0 ，
3．等差数列的判定 判断一个数列为等差数列的常见方法有： (1)定义法：an＋1－an＝d (常数)(n∈N*)⇔ an 为等差数列． (2)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔ an 为等差数列． (3)通项法：an 为 n 的一次函数⇔ an 为等差数 列．
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自主探究
1．已知数列 an 中，an＝pn＋q 其中 p，q 是常数， 且 p 不为 0，那么数列 an 是否为等差数列，如果是， 公差和首项是多少？
证明：∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b， a2(b＋c)＋c2(a＋b)－2b2(c＋a) ＝a2c＋c2a＋ab(a－2b)＋bc(c－2b) ＝a2c＋c2a－2abc＝ac(a＋c－2b)＝0， ∴a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝2b2(c＋a)， ∴a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)成等差数列．
ak a1 a2 a3 L a7 ，则 k （ ）
A． 22
B． 23
C． 24
D． 25
【答案】A
【解析】 ak
a1 a2 a3 L
a7
7a1
7
2
6
d
21d a1 (22 1)d ，
∴ k 22 ．
题型二 等差数列的判断
【例2】 已知a，b，c成等差数列，那么a2(b＋ c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)是否成等差数列？
an 2n
1
为等差数列；
（2）求数列{an} 的通项公式．
【解析】（1）∵ a1 5 ，当 n 2 时，
an 1 2n
an1 1 2n1
(2an1
2n 2n
1)
1
an1 1 2n1
1，
∴
an 2n
1
是以
a1 2
1
2
为首项，以1
为公差的等差数列．
（2）由（1）知
an 2n
1
2
(n
1)
1
，
∴ an (n 1)2n 1 ．
误区解密 对等差数列的定义理解不透彻
【例 3】 若数列 an 的通项公式为 an＝10＋lg 2n，试说明数列 an 为等差数列．
答案：根据等差数列的定义式 an＋1－an＝p(n＋ 1)＋q－(pn＋q)＝p，a1＝p＋q，故数列 an 首项是 a1 ＝p＋q，公差是 d＝p 的等差数列．
预习测评
1．设{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的 积为48，则它的首项是( )
A．1 B．2
C．4
D．6
解析 设前三项分别为a－d，a，a＋d，