载流直导线的磁场计算

载流直导线的磁场计算

如图8-10所示，设在真空中有一长为L 的通有电流I 的直导线，计算离直导线距离为0r 的P 点的磁感强度。

图8-10载流直导线磁场的计算

取如图所示的直角坐标系，C 点坐标（0，0，z 1）,D 点坐标（0，0，z 2）, 21L z z =-。把此直线电流看成电流元的集合，对直导线上的任一电流元d I l ，其大小为d I z ，它到场点P 的距离为r ，θ为电流元d I l 与矢量r 之间的夹角，根据毕奥—萨伐尔定律，此电流元在P 点所激发的磁感强度d B 的大小为

2

dzsin d 4πμI B r

θ

= 而d B 的方向由d I ⨯l r 确定，即沿着x 轴的负方向。很显然，每一个电流元在P 点激发的d B 方向都是一致的，因此，可直接由上式积分求总的磁感强度的大小，即

2dzsin =d 4πL L μI B B r

θ

=⎰⎰ 如果P 点在直电流延长线上，那么，sin θ恒为零，因此直电流在其延长线上各点的磁感强度为零。如果P 点不在直电流延长线上，那么必须把三个变量z 、r 、θ统一为其中任一变量，才能积分。我们在这里把它们统一为变量z 。由图8-10可见

2220r r z =+，00

220sin sin()r r r z

θπθ=-=

=+注意到积分上、下限分别为2z 和1z ，可得

2

2

1

1

00003

32220

d d 4π

4π

()

z z z z μI

r μI r B z z

r z r =

=+⎰

⎰

利用积分公式

3222222000d ()z C

r z r z r =+++⎰ 可得

004πμI B r =

(8-15a)

上式也可以用12θθ、（场点P 到直导线起点和终点的连线与电流方向的夹角分别为θ1和θ2）。表示为

0210

0120

[cos()cos()]4π(cos cos )4πμI

B r μI

r πθπθθθ=---=

- (8-15b)

这是一段载流直导线的磁感强度，其方向沿着x 轴的负方向。

如果载流直导线为“无限长”，那么，12,z z →-∞→+∞，这样由式(8-15a)可得

02π0

μI

B r =

(8-16) 虽然真正的无限长直导线并不存在，但是如果在闭合回路中有一段长度为L 的直导线，那其附近0r L <<的范围内上式成立。

进一步，如果载流直导线为半“无限长”，即导线从O 点延伸至无穷远，那么，120,z z =→+∞，这样的载流线称为半无限长载流直导线，其端点垂线上

04π0

μI

B r =

(8-17)