2014-2015学年贵州省遵义市绥阳县郑场中学高二上学期数学期中试卷带解析

2014-2015学年贵州省遵义市绥阳县郑场中学高二（上）期中数
学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．（5分）如图所示的圆锥的俯视图为（）
A．B．C．D．
2．（5分）直线l：x+y+3=0的倾斜角α为（）
A．30°B．60°C．120° D．150°
3．（5分）边长为a的正四面体的表面积是（）
A．B．C．D．
4．（5分）长方体的三个面的面积分别是，则长方体的体积是（）A．B．C．D．6
5．（5分）棱长为a的正方体内切一球，该球的表面积为（）
A．πa2B．2πa2C．3πa2D．4πa2
6．（5分）已知两条直线l1：x+2ay﹣1=0，l2：x﹣4y=0，且l1∥l2，则满足条件a 的值为（）
A．B．C．﹣2 D．2
7．（5分）已知直线l、m、n与平面α、β，给出下列四个命题：
①若m∥l，n∥l，则m∥n；
②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；
③若m∥α，n∥α，则m∥n；
④若m⊥β，α⊥β，则m∥α；
其中假命题是（）
A．①B．②C．③D．③④
8．（5分）在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（）
A．B．C．D．
9．（5分）如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（）
A．B． C．πD．
10．（5分）在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
11．（5分）设点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围（）
A．k≥或k≤﹣4 B．≤k≤4 C．﹣4≤k≤D．k≥4或k≤﹣
12．（5分）在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．若AC=BD=a，且AC与BD所成的角为60°，则四边形EFGH的面积为（）A．B．C．D．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）如果对任何实数k，直线（3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k=0都过一个定点A，那么点A的坐标是．
14．（5分）空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，那么这个球面的面积是．
15．（5分）已知二面角α﹣AB﹣β的平面角是锐角θ，平面α内有一点C到β的距离为3，点C到棱AB距离为4，那么tanθ=．
16．（5分）如图，一个圆锥形容器的高为a，内装有一定量的水．如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为（如图①），则图②中的水面高度为．
三、解答题：解答应写出文字说明过程或演算步骤．
17．（10分）如图，在平行四边形OABC中，点C（1，3）．
（1）求OC所在直线的斜率；
（2）过点C作CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程．
18．（12分）如图，已知正四棱锥V﹣ABCD中，AC与BD交于点M，VM是棱锥的高，若AC=6cm，VC=5cm，求正四棱锥V﹣ABCD的体积．
19．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面CB1D1；
（Ⅱ）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．
20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．
（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；
（Ⅱ）设二面角A﹣PB﹣C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．
21．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．
（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；
（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．
22．（12分）如图，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，
AA1=AC=CB=AB．
（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD
（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．
2014-2015学年贵州省遵义市绥阳县郑场中学高二（上）
期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．（5分）如图所示的圆锥的俯视图为（）
A．B．C．D．
【解答】解：如图放置圆锥的俯视图是一个等腰三角形．
故选：C．
2．（5分）直线l：x+y+3=0的倾斜角α为（）
A．30°B．60°C．120° D．150°
【解答】解：由于直线l：x+y+3=0的倾斜角为α，则直线的斜率tanα=﹣，再由0°≤α＜180°，可得α=120°，
故选：C．
3．（5分）边长为a的正四面体的表面积是（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵边长为a的正四面体的表面为4个边长为a正三角形，
∴表面积为：4×a=a2，
故选：D．
4．（5分）长方体的三个面的面积分别是，则长方体的体积是（）A．B．C．D．6
【解答】解：可设长方体同一个顶点上的三条棱长分别为a，b，c，
列出方程组，
解得
所以长方体的体积V=abc=1××=．
故选：C．
5．（5分）棱长为a的正方体内切一球，该球的表面积为（）
A．πa2B．2πa2C．3πa2D．4πa2
【解答】解：棱长为a的正方体的内切球的半径r=，
表面积S=4πr2=4π（）2=πa2．
故选：A．
6．（5分）已知两条直线l1：x+2ay﹣1=0，l2：x﹣4y=0，且l1∥l2，则满足条件a 的值为（）
A．B．C．﹣2 D．2
【解答】解：根据两条直线l1：x+2ay﹣1=0，l2：x﹣4y=0，且l1∥l2，可得，求得a=﹣2，
故选：C．
7．（5分）已知直线l、m、n与平面α、β，给出下列四个命题：
①若m∥l，n∥l，则m∥n；
②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；
③若m∥α，n∥α，则m∥n；
④若m⊥β，α⊥β，则m∥α；
其中假命题是（）
A．①B．②C．③D．③④
【解答】解：①若m∥l，n∥l，则根据公理4可知m∥n成立；
②若m⊥α，m∥β，则α⊥β成立；
③若m∥α，n∥α，则m∥n不一定成立；
④若m⊥β，α⊥β，则m∥α或m⊂α，故④错误；
故③④是假命题．
故选：D．
8．（5分）在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（）
A．B．C．D．
【解答】解：由y=x+a得斜率为1排除B、D，
由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；
若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上；
故选：C．
9．（5分）如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（）
A．B． C．πD．
【解答】解：此几何体是一个底面直径为1，高为1的圆柱
底面周长是
故侧面积为1×π=π
故选：C．
10．（5分）在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【解答】解：连接C1B，D1A，AC，D1C，MN∥C1B∥D1A
∴∠D1AC为异面直线AC和MN所成的角
而三角形D1AC为等边三角形
∴∠D1AC=60°
故选：C．
11．（5分）设点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围（）
A．k≥或k≤﹣4 B．≤k≤4 C．﹣4≤k≤D．k≥4或k≤﹣
【解答】解：如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足k≥k PB或k≤k PA，
即k≥=，或k≤=﹣4，∴k≥，或k≤﹣4，
即直线的斜率的取值范围是k≥或k≤﹣4．
故选：A．
12．（5分）在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．若AC=BD=a，且AC与BD所成的角为60°，则四边形EFGH的面积为（）A．B．C．D．
【解答】解：连接EH，因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，且EH=BD．同理，FG∥BD，EF∥AC，且FG=BD，EF=AC．
所以EH∥FG，且EH=FG．
所以四边形EFGH为平行四边形．
因为AC=BD=a，AC与BD所成的角为60°
所以EF=EH．所以四边形EFGH为菱形，∠EFG=60°．
∴四边形EFGH的面积是2××（）2=a2．
故选：A．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）如果对任何实数k，直线（3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k=0都过一个定点A，那么点A的坐标是（﹣1，2）．
【解答】解：由（3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k=0可得3x+y+1+k（x﹣2y+5）=0
∴x﹣2y+5=0且3x+y+1=0
∴x=﹣1，y=2
∴对任何实数k，直线（3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k=0都过一个定点A（﹣1，2）故答案为：（﹣1，2）
14．（5分）空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，那么这个球面的面积是3πa2．
【解答】解：空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，则PA、PB、PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，所以过空间四个点P、A、B、C的球面即为棱长为a的正方体的外接球，球的直径即是正方体的对角线，长为，所以这个球面的面积．
故答案为：3πa2
15．（5分）已知二面角α﹣AB﹣β的平面角是锐角θ，平面α内有一点C到β的
距离为3，点C到棱AB距离为4，那么tanθ=．
【解答】解：如图，∵二面角α﹣AB﹣β的平面角是锐角θ，
平面α内有一点C到β的距离为3，
点C到棱AB距离为4，
作CE⊥AB，CD⊥β，连接ED，
由条件可知，∠CED=θ，CD=3，CE=4
∴ED=，tanθ==．
故答案为：．
16．（5分）如图，一个圆锥形容器的高为a，内装有一定量的水．如果将容器倒
置，这时所形成的圆锥的高恰为（如图①），则图②中的水面高度为a．
【解答】解：设图①中的小圆锥的底面半径为r，则大圆锥的底面半径为2r，水
的体积为V=π•4r2•a﹣πr2•=πr2•a，
设图②中的小圆锥的底面半径为m，高为h，则，由相似知识得，=，m=，
则水的体积为V=π••h
即有πr2•a=π••h，
解得h=，
故答案为：a．
三、解答题：解答应写出文字说明过程或演算步骤．
17．（10分）如图，在平行四边形OABC中，点C（1，3）．
（1）求OC所在直线的斜率；
（2）过点C作CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程．
【解答】解：（1）∵点O（0，0），点C（1，3），
∴OC所在直线的斜率为．
（2）在平行四边形OABC中，AB∥OC，
∵CD⊥AB，
∴CD⊥OC．∴CD所在直线的斜率为．
∴CD所在直线方程为，即x+3y﹣10=0．
18．（12分）如图，已知正四棱锥V﹣ABCD中，AC与BD交于点M，VM是棱锥的高，若AC=6cm，VC=5cm，求正四棱锥V﹣ABCD的体积．
【解答】解：∵正四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，且对角线AC=6cm
∴BD=6cm，且AC⊥BD
∴（cm2）
∵VM是棱锥的高，且VC=5cm
∴Rt△VMC中，（cm）
∴正四棱锥V﹣ABCD的体积为V=（cm3）
19．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面CB1D1；
（Ⅱ）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．
【解答】解：（Ⅰ）证明：连接BD．
在正方体AC1中，对角线BD∥B1D1．
又因为E、F为棱AD、AB的中点，
所以EF∥BD．
所以EF∥B1D1．（4分）
又B1D1⊂平面CB1D1，EF⊄平面CB1D1，
所以EF∥平面CB1D1．（7分）
（Ⅱ）因为在正方体AC1中，
AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1⊂平面A1B1C1D1，
所以AA1⊥B1D1．（10分）
又因为在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，
所以B1D1⊥平面CAA1C1．（12分）
又因为B 1D1⊂平面CB1D1，
所以平面CAA1C1⊥平面CB1D1．（14分）
20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．
（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；
（Ⅱ）设二面角A﹣PB﹣C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．
【解答】解：（I）以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A﹣xyz，
设D（，b，0），则C（2，0，0），P（0，0，2），E（，0，），B（，﹣b，0）
∴=（2，0，﹣2），=（，b，），=（，﹣b，）
∴•=﹣=0，•=0
∴PC⊥BE，PC⊥DE，BE∩DE=E
∴PC⊥平面BED
（II）=（0，0，2），=（，﹣b，0）
设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则
取=（b，，0）
设平面PBC的法向量为=（p，q，r），则
取=（1，﹣，）
∵平面PAB⊥平面PBC，∴•=b﹣=0．故b=
∴=（1，﹣1，），=（﹣，﹣，2）
∴cos＜，＞==
设PD与平面PBC所成角为θ，θ∈[0，]，则sinθ=
∴θ=30°
∴PD与平面PBC所成角的大小为30°
21．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．
（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；
（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．
【解答】（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，
∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1
∴AD==
∵侧面SAB为等边三角形，AB=2
∴SA=2
∵SD=1
∴AD2=SA2+SD2
∴SD⊥SA
同理：SD⊥SB
∵SA∩SB=S，SA，SB⊂面SAB
∴SD⊥平面SAB
（Ⅱ）建立如图所示的空间坐标系
则A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），
作出S在底面上的投影M，则由四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB 为等边三角形知，M点一定在x轴上，又AB=BC=2，CD=SD=1．可解得MD=，从而解得SM=，故可得S（，0，）
则
设平面SBC的一个法向量为
则，
即
取x=0，y=，z=1
即平面SBC的一个法向量为=（0，，1）
又=（0，2，0）
cos＜，＞===
∴＜，＞=arccos
即AB与平面SBC所成的角的大小为arcsin
22．（12分）如图，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=AB．
（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD
（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点，
又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF，
因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，
所以BC1∥平面A1CD．
（Ⅱ）因为直棱柱ABC﹣A1B1C1，所以AA1⊥CD，
由已知AC=CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB，
又AA1∩AB=A，于是，CD⊥平面ABB1A1，
设AB=2，则AA1=AC=CB=2，得∠ACB=90°，
CD=，A1D=，DE=，A1E=3
故A 1D2+DE2=A1E2，即DE⊥A1D，所以DE⊥平面A1DC，
又A1C=2，过D作DF⊥A1C于F，∠DFE为二面角D﹣A1C﹣E的平面角，在△A1DC中，DF==，EF==，
所以二面角D﹣A 1C﹣E的正弦值．sin∠DFE=．。

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
赠送初中数学几何模型
【模型一】
“一线三等角”模型： 图形特征：
60
°
60°
60°
45°
45°
45°
运用举例：
1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；
2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则
14S S += ．
l
s 4
s 3
s 2
s 1
3
2
1
3. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；
（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．
B
4.如图，已知直线112y x =
+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线21
2
y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

（1）求该抛物线的解析式；
（2）动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标P ； （3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使|AM －MC |的值最大，求出点M 的坐标。

5.如图，已知正方形ABCD 中，点E 、F 分别为AB 、BC 的中点，点M 在线段BF 上（不与点B 重合），连接EM ，将线段EM 绕点M 顺时针旋转90°得MN ，连接FN ．
（1）特别地，当点M 为线段BF 的中点时，通过观察、测量、推理等，猜想：∠NFC = °，
BM
NF
= ； （2）一般地，当M 为线段BF 上任一点（不与点B 重合）时，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由；
（3）进一步探究：延长FN 交CD 于点G ，求
FM
NG
的值
G
E D
A
6..如图，矩形AOBC 中，C 点的坐标为(4，3)，，F 是BC 边上的一个动点（不与B ，C 重合），过F 点的反比例函数k
y x
(k >0)的图像与AC 边交于点E 。

(1)若BF ＝1，求△OEF 的面积；
(2)请探索：是否在这样的点F ，使得将△CEF 沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点k 的值；若不存在，请说明理由。