材料工程基础第一章部分讲解及课后答案(1)

速 度 加速度
或 u u ( a , b , c ,)
ux (a, b, c, ) 2 x(a, b, c, ) 2 uy (a, b, c, ) ay (a, b, c, ) 2 y(a, b, c, ) 2 u (a, b, c, ) az (a, b, c, ) z 2 z(a, b, c, ) 2 ax (a, b, c, )

（2）由题意得： τ=0时，x=a, y=b z=c ;代入上式有：
x a 1
所以： c a ; c b; c c 1 2 3
2
x a 1 所以： ux 2a 1 ; 3 y b 1 2 uy 3b 1 ; z c 1 uz c
y z
y z b c e
代入上式得速度的欧拉描述：
u 0;
x
y z e 2e yz e e uz 2e
uy e
y z y z y z z; 2e 2 2 y z y z y z y; 2e 2 2
质点的迹线方程为：
dx 2 x dy 3 y dz z 因： u ; u ; u x y z d d d 1 1 1




分别积分得：
所以： x c 1 ; y c 1 1 2
2


3
z c 1 3
dx u x ky ; d dy u y k x a ; d dz uz 0 d



（2） 由迹线方程定义可写出
1 2 3
对（2）式求二阶导数
d2 y dx k a 2 d d d2 y 2 k y k a 2 d
du u u u u 2 x 4 x 2 x x x x x x u u u x y z a 2 2 2 x d x y z 1 1 1


du u u u u 6 y y y y y y u u u y z a 2 y d x x y z 1 d u u u u zu z z z z u u u 0 x y z a z d x y z
分别对速度的欧拉描述进行积分得：
dx 2 x dy 3 y dz z 因： u ; u ; u x d y dz ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ d 1 1 1

所以： x c 1 ; y c 1 1 2
2





3
z c 1 3
b c b c
解：速度的拉格朗日描述
x y b c b c z b c b c 0 ; e e ; e e ; u u x y z u 2 2 2 2



x ; b c ; 由已知条件得： a e
理量的值或表达式。
②在直角坐标系中，欧
拉坐标可以直接用直角 坐标(x,y,z)表示。
•
拉格朗日描述
位 置
或 r r ( a , b , c , )
x x ( a , b , c , ) y y ( a , b , c , ) z z ( a , b , c , )
x ( a , b , c , ) y ( a , b , c , ) u y ( a , b , c , ) z ( a , b , c , ) u z ( a , b , c , ) u x ( a , b , c , )
C k C k a 3 sin 4 cos x C3 sink C4 cosk a a y C1 cosk C2 sink 则欧拉描述的迹线为： k z C5



积分得： 2 2 a
2 2 2 2 b x c e ; y c e 3; 1 2 2 3 2 a a a b b b 当 0 时刻， x a , y b , z c 代入上式得：
z c3
2 2 c b 2 a3 b3 又因： ab0 c 1 a

2
1
2
3
代入已知条件τ=1时刻，质点p的坐标为（1，3，2）
2 求得： c 3 ; c 3e ;c 2 e ; 1 2 2 -1 3
2 x 3 2 1 求得： y 3 e 3 ( 3 1) 1 2 1 z 2e
•
拉格朗日描述
•
欧拉描述
f=f (a,b,c,t)
说明：f 为流体质点的某一物理量，上 式 表 示在 运动 初 始时 刻坐 标 为
f F ( x ( ), y ( ), z ( ), )
说明：①用其表示流体质点在
不同时刻运动到空间某 一点的位置
(a,b,c)的流体质点在t时刻该物

•
欧拉描述
位 置
r r ( x ( ), y ( ), z ( ), ) 或

x x ( ) y y ( ) z z ( )
dx d dy u y u y ( x , y , z , ) d dz u z u z ( x , y , z , ) d u x u x ( x , y , z , )


1

1
2 x 3 y z u , u , u 1-4 流体运动的速度由 x 1 y 1 z 1 描述
（1）求其加速度的欧拉描述 （2）求矢径r=r(a,b,c,τ)的表达式和加速度的拉格朗日描述 （3）求流线和迹线 解：（1）加速度的欧拉描述为

τ=0时，x=a, y=b z=c ;代入上式有：
所以： c a ; 1 c b; c c 2 3 质点的迹线方程为
x a 1
2
y b 1
3
z c 1
1 6 设流体运动的欧拉描述 为 u ky , u k x a , u 0 , 其中 k 与 a 为常数 x y z 求 1 时刻的流线方程；
dx dy 解：（1） 由流线方程 ky kxa
2 0 时在 a , b , c 处流体质点的迹线。
1 2 1 2 ka x ky C k x a dx kydy kx 2 2
1 2 2 x y a x C 1 2
2

y b 1
3

z c 1




所以 , 拉格朗日描述的加速度 ： u x a 2 a ; x u y a 6 b 1 ; y
1
z a 0 z
1 1
（3）由流线方程得：
3 2 2 dx dy dz x x y 即 c ; c ; c ; 1 2 3 1 2 x 3 y z 3 z z y 1 1 1
c 3 c
2 2 2 2 a x （ a 3 ） e 2 3; a a a a 2 2 2 2 a y （ a 3 ） e 2 3; a a a a z c
所以：流体运动加速度的拉格朗日描述为
2 x 3 2 a 2 a e ; a x 2 a a 2 y 3 2 a 2 a e ; a y 2 a a
dx ky d
又 因 二阶线性非齐次 常微分方程
1 2
a y C cos k C sin k 所以，求得其通解为 1 2 k 代入（1）式得： dx u ky C k cos k C k sin k a C k cos k C k sin k a x 1 2 1 2 d 所以： x [ C k cos k C k sin k a ] d
速 度
d r u u(r,) d 或 u(x ( ),y( ),z( ), )
加速度
d u u u dx u dy u dz a ( x , y , z , ) d x d y d z d u u u u ux uy uz x y z u (u )u
a
z
0;
2 2 给出，当τ=1时，求质点 x , y , xz 1-3 流体运动的速度由 u p(1,3,2)的速度及加速度（即求速度和加速度的拉格朗日描述）
解：由题意，流体运动的速度的欧拉描述为
x ;u y ;u xz u
2 2 x y z
dx 2 dy dz 2 u x ; u y ; u xz x y z d d d 3 2 2 3 积分得： x c ;y c e ; z c e




du u u u u y y y y y 2 2 u u u 2 b y b x y z a y d x y z


d u u u u zu z z z z u u u 0 x y z a z d x y z dx dy dz 2 2 由 u ax , u by , u 0 x y z d d d
ax , u by , u 0 , x y z 1-2设流体运动的欧拉描述为 u 试求流体运 动加速度的欧拉描述和拉格朗日描述（a+b=0）
2 2
解：加速度的欧拉描述为：
du u u u u 2 2 2 x x x x x u u u 2 a ax 0 0 2 a x a x y z a x d x y z

——哈密顿算子； i j k x y z
, , a , y e e z e e 1-1流体质点的位置用 x 表示，求其速 2 2 2 2 度的拉格朗日描述与欧拉描述。
b c b c
所以，流体运动的速度的拉格朗日描述为
x 3 4 ; u x

3 ( 1 ) 2 ( 1 ) y 2 z 4 3 3 e ; e u u y z

1

1
所以，流体运动加速度的拉格朗日描述为
3 ( 1 ) 2 ( 1 ) u u u 1 y 4 3 x z 8 3 12 ; 3 e (2 ); e ( 1 ) a a a 3 x y z