基于集合的高维多目标优化问题的进化算法

该问题的目 标 往往 相互 冲突 , 通 常称 为多 目标 优 化问
题 .当目标多于 3 个时 , 称为高维多目标优化问题 .不失
一般性 , 本文考虑如下优化问题 :
min f(x )=(f1(x ), f2(x ), … , fm(x)) s .t . x ∈ S Rn
(1)
其中 , x 为 n 目标决策向量 , S 为 x 的可行域 ;fi(x)(i = 1 , 2 , … , m)为第 i 个 目标函 数 , m 为目 标函 数的 个数 ,
该问题的基于集合的进化算法 , 该方法以超体积 、分布度 , 以 及延展度为新的目标 , 将原优化问题转化为 3 目标优 化问
题 ;定义基于集合的 Pareto 占优关 系 , 设计体现用户偏好的 适应度函 数 ;此外 , 还提出 集合进 化策略 .将所 提方法 应用
于 4 个基准高维多目标优化问题 , 并与其他 2 种方法比较 , 实验结果表明了所提方法的优越 性 .
转化后优化问题的目标函数 , 如式(2)所示 :
maxF1(X)=λ(xj∪∈X{h f(xj)<h <f(x ref)})
N
∑ maxF2(X)=-
(d ＊(X)-d(xj))2/(N -1)
j =1
m
∑ maxF3(X)=
(maxjN=1 fi(xj)-minjN=1 fi(xj))2
i =1
s .t .X ∈ P (S), x ∈ X
逼近 问 题 的 真 实 Pareto 前 沿 ;(2)使 得 逼 近 问 题 真 实 Pareto 前沿所需 的 Pareto 最优 解指 数增加 , 从而 提高 了
问题求解的 空 间和 时间 复杂 度 ;(3)使得 问题 的 Pareto 前沿无法可视化 .
采 用 新 的 占 优 关 系[ 4] 比 较 个 体 的 优 劣 , 以 提 高 Pareto 最优解的选择压力 , 或者通 过合适的 方法减 少目 标函数[ 5, 6] , 成 为 解 决高 维 多 目 标 优 化 问题 的 可 行 途 径 .但是 , 前者需要付出昂贵的计算代价 , 而后者降维后 的目标函数(集)不 能脱离原 目标函 数集 , 这 样一 来 , 当
Key words: evolutionary algorithm ;many-objective optimization;set-based evolution ;user preference
1 引言
现实生活中存在多种含多个目标的优化问题 , 如传
感器网络 中节点部 署[ 1] , 以及飞行 控制系 统设计[ 2] 等 .
Solving Many-Objective Optimization Problems Using Set-Based Evolutionary Algorithms
GONG Dun-wei , JI Xin-fang , SUN Xiao-yan
(School of Information and Electrical Engineering , China University of Mining and Technology , Xuzhou , Jiangsu 221008 , China)
(2)
式中 , P (S )为 S 的幂 集 , 由 S 的 所有 子集 构 成 ;X =
{x1 , x2 , … , xN}, 为问题(1)的 N 个解 构成的集 合 ;λ表
m
∑ 示 勒 贝
格
测度
;x ref
为
参
考点
;d
(xj
)= l
min
∈{1,2 , …
,
N}i
=1
wenku.baidu.com
l ≠j
fi(xj)-fi(x l) , (j =1 , 2 , … , N)为 xj 在 目标 空间 的
2 高维多目标优化问题的集合进化算法
本节阐述解决高维多目标 优化问 题的集合 进化算 法 , 算法在达到终止条 件时 , 第 一个优 势个体即 为满足 用户偏好的原优化问题的近似 Pareto 最优 解集 .所提算 法具体步骤如下 : 步骤 1 初始 化规 模为 μ的 集合 进化 种群 P(0), 每个集合进化个 体含 有原优 化问 题的 N 个解 , 令 进化 代数 t =0 ; 步骤 2 询问是否需要输 入或更新用 户偏好 , 如果 是 , 输入用户偏好 ,即定义 2 中的 w ;否则 , 转步骤 3 ; 步骤 3 采用第 2 .1 节 式(2)计算 集合进化 个体的 适应值 , 从而将原优化问题转化为 3 目标优化问题 ; 步骤 4 采用第 2 .2 节 的方法 对种群 P(t)中的进 化个体进行排序 ; 步骤 5 采用第 2 .3 节 的集合进 化策略 , 实 施基于 集合的联赛 选择 、交叉 , 以及 变 异操 作 , 生 成 临时 种群 Q(t); 步骤 6 合并 P(t)和 Q(t), 并选取 前 μ个进化个 体组成子代种群 P(t +1); 步骤 7 判定 进化终 止条 件是否 满足 , 如果 是 , 输
Abstract : Previous methods are difficult to tackle a many-objective optimization problem since it contains many objectives. A set-based evolutionary algorithm was proposed to effectively solve the above problem in this study.In the proposed method , the original optimization problem was first transformed into a tri-objective one by taking such indicators as hyper-volume , distribution and spread as three new objectives ;thereafter , a set-based Pareto dominance relation was defined, and a fitness function reflecting a user' s preference was designed;additionally, set-based evolutionary strategies were suggested.The proposed method was applied to four benchmark many-objective optimization problems and compared with the other two methods .The experimental results show its advantages .
目标函数很多时 , 降维后的目标函数(集)也可能很大 . 传统多目 标进 化算 法 的个 体是 一个 解 , 而 当个 体
收稿日期 :2012-11-26 ;修回日期 :2013-03-16 ;责任编辑 :孙瑶 基金项目 :中央高校基本科研业务费专项资金资助(No .2013XK09);国家自然科学基金(No .61105063)
∑ 拥挤距离 , d ＊(X)=N1
N j =1
d (xj)为 X 的平 均 拥挤 距
离 ;fi(xj)为 xj 在第 i 个目标上的值 .
由式(2)可 以看 出 :(1)F1(X)用于 计算 X 的逼 近
度 , 其值越大 , 说 明越逼 近原 优化问 题的 真实 Pareto 前
关键词 : 进化算法 ;高维多目标优化 ;集合进化 ;用户偏好
中图分类号 : TP301 文献标识码 : A 文章编号 : 0372-2112 (2014)01-0077-07
电子学报 URL:http:/ / www .ejournal.org .cn
DOI :10 .3969/ j.issn.0372-2112 .2014.01.012
基于此 , 本文 以超 体积 、分布 度 , 以 及延 展度 为新 的目标 , 将原优化问题转化为以集合为决策变量的 3 目 标优化问题 ;通过定 义基 于集合 的 Pareto 占 优关 系 , 并 设计体现用 户偏 好的 适应 度函 数 , 得 到进 化 种群 中个 体的全序关 系 ;此 外 , 提 出集 合 交叉 和变 异策 略 , 并在 NSGA-II 范式下 , 开发了一 种解决 高维多目 标优化 问题 的 集 合 进 化 算 法 (Set-based Evolutionary Algorithms for many-objective optimization problems , 简称 SetEA).
出种群的第一个优势个体 ;否则 , 令 t =t +1 , 转步骤 2 .
下面将对上述步骤中 提到的 相关技术 进行详 细论
述.
2.1 优化问题的降维转化
鉴于已有降维方法 存在的 缺陷 , 借鉴 文献[ 8] 的思 想 , 本节将 以 合 适 的性 能 指 标作 为 新 的目 标 , 将 问 题
(1)转化为以集合为决策变量的多目标优化问题 . 通常 , 多目标优化方法求得的 Pareto 前沿需 满足如
且 m >3 . 解决高维多目标优化问题的困难在于[ 3] , 目标函数
的增多 :(1)使 得不 同解 之间 互 不占 优的 概率 增 加 , 即
Pareto 最优解的选择 压力降 低 , 从而无 法比较 这些 解的
优劣 , 因此 , 传统 基于 Pareto 占 优关 系的 多目标 进化 算 法生成的近似 Pareto 最优解集 , 在目标 空间中难以 有效
201第4 年1 期1 月
电 子 学 报 ACTA ELECTRONICA SINICA
VoJlan.4.2 2N0o14.1
基于集合的高维多目标优化问题的进化算法
巩敦卫 , 季新芳 , 孙晓燕
(中国矿业大学信息与电气工程学院 , 江苏徐州 221008)
摘 要 : 由于高维多目标优 化问题包含的目标 很多 , 已 有的方法往往难以解 决该问题 .本文提出一种有效 解决
下 3 个特性[ 9] :(1)具有 较好的 逼近性 ;(2)具 有好 的分 布性 ;(3)具有较大的延 展性 .其中 , 逼近性 和分布 性是 解集性能评价中常用的两个 基本指 标[ 10, 11] .这里 , 利用
这两个性能指标与延展 性一起 , 降维转 化原优化 问题 .
具体地 , 选择超体积[ 12] 、分 布度[ 13] , 以及 延展度[ 9] 作为
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电 子 学 报
2014 年
是由多 个 解 构 成 的 集 合 时 , 称 为 基 于 集 合 的 进 化 算 法[ 7] .该方法也是一种降 维方法 , 适用于求 解高维 多目 标优化问题 .它的特点 在于 , 种 群进化 后得到的 最优个 体 , 即是优化问题的近似 Pareto 最优解集 .然而 , 集合进 化也会产生一系列新 的问题 , 如不同集 合 , 即进 化个体 的比较 , 以及 进化 策略 设计 等 .目前 , 这方 面 的研 究成 果还很少 , Bader 等将种 群中的 解划 分成多 个规模 相同 的解集合 , 然 后将 多目 标优 化问 题转 化为 以 每个 解集 合的超体积 测度 为优 化目 标的 单目 标优 化问 题 , 并设 计基于超体积的集 合重组 策略[ 8] .Zitzler 等给出 了得到 集合全序关系的很多 不同性 能指标的 组合 .基 于此 , 提 出一种基于集合的进 化算法 , 所提方法 将偏好 描述 、算 法设计和性 能评 估统 一在 一个 框架 中 , 为 进 化多 目标 优化方法的研究 开辟了 新局面[ 7] .可以看 出 , 这种 降维 方法脱离了 原目 标函 数集 , 能够 克服 已有 降 维方 法可 能遇到的困 难 .因 此 , 本 文将 设 计集 合进 化方 法 , 对高 维多目标优化问题进行降维求解 .