罗朗级数

第5章：解析函数的罗朗级数展式与孤立奇点

§1 解析函数的罗朗级数展式 一、教学目标或要求： 掌握解析函数的罗朗展式

二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）：

基本内容：解析函数的罗朗展式 解析函数的罗朗展式与泰勒级数的关系 例题 重点：解析函数的罗朗展式 难点：例题

三、教学手段与方法： 讲授、练习

四、思考题、讨论题、作业与练习：1－2 §1 解析函数的罗朗级数展式 1. 双边幂级数 称级数

+-++-++-+

+-+

=---∞

-∞

=∑

n

n n

n n n

n a z c a z c c a

z c a z c a z c )()()

()(101（5.3）

为双边幂级数，其中a 与),2,1,0( ±±=n c n 为复常数，称),2,1,0( ±±=n c n 为双边幂级数（5.3）的系数．

当与都收敛时，称双边幂级数收敛。类似

地,可定义双边幂级数的绝对收敛、一致收敛、内闭一致收敛。.收敛区域

(正则部分或解析部分)在收敛圆

内表示一个解析函数

；

对 （主要部分），令 ，则上

述级数化为 ，设它的收敛区域为,

换回到原来的变量, 即知原级数在 内收

敛，表示一个解析函数

(也是绝对收敛且内闭一致收敛的)；因此，双边幂

级数在圆环内表示一个解析函数。特别地，当主要部

分恒为零时,双边幂级数即为幂级数,在某个收敛圆内表示一个解析函数。

定理5.1 设双边幂级数

的收敛圆环为

, 则

（1）在 内绝对收敛且内闭一致收敛于 ；

（2）

在

内解析；

（3）

在 内可逐项求导 次 。

2.解析函数的罗朗展式

定理 5.2 若级数（5.3）的收敛圆环为)0(:+∞≤<≤<-

<'≤-≤''r R a z r G (:)R R r <'<'上一致收敛，其和函数在G 内为解析函数．

定理6.2 若函数)(z f 在圆环)0(:+∞≤<≤<-

G

内可展成双边幂级数为

∑∞

-∞

=-n n

n

a z c

)

( （5.4）

其中 ,2,1,0,d )

()(i

π211

±±=-=

⎰+n a f c c

n n ζζ

ζ （5.5）

这里的c 为圆周)(R r a <<=-ρρζ，并且系数n c 被)(z f 及圆环G 唯一确定．

证 设

为内任意取定的点，总可以找到含于

内的两个圆周

使得 含在圆环 内。因为

在闭圆环

上解

析，由柯西积分公式有

或写成

对于第一个积分，根据泰勒定理的证明，有

类似地，考虑第二个积分

，

，

当时,

于是,

沿逐项积分，再同乘得

于是

现在考察系数。由复围线的柯西积分定理，对任意圆周

，

统一成

因为系数与我们所取的无关，故在圆环内。

最后证明展式的唯一性。

设在圆环内又可展成下式:由于它在圆周

上一致收敛,乘以沿上的有界函数仍然一致收敛，故可逐项积分得

根据重要积分的结论知右端级数中那一项积分为, 其余各项为零，于

是，。

3. 级数与泰勒级数的关系

当已给函数在点处解析时，罗朗级数就转化为泰勒级数

,因此，泰勒级数是罗朗级数的特殊情形。

例将在及，内分别展开成罗朗级数. 解：(i) 在内:

右端第一项在内可展开，而第二项在即内可展开. 故在展式为：

(ii) 在内，由于,，所以

(iii) 在

内：

例 试将12)23()(-+-=z z z f 在圆环21<

解 首先，知道)(z f 在圆环21<

1,

110

<=

-∑∞

=z z

z

n n

将)(z f 展成罗朗级数．由21<

11

及

12

故

)

2)(1(1)(--=

z z z f

1

12

1--

-=

z z

)

11(1)

2

1(21z

z z -

--

-

=

21,

12

1

1

<<-

-=∑

∑

∞

=+∞

=+z z

z n n n n n

4. 解析函数在孤立奇点邻域内的罗朗展式

定义 5.2 如果)(z f 在点a 的某一去心邻域R a z a K <-<-||0:}{内解析，点a 是

)(z f 的奇点，则a 称为)(z f 的一个孤立奇点。

例 将

在

内展成Laurent 级数。

解：

例 试将z

z z f sin )(=

在点0=z 的去心邻域内展成罗朗级数．

解 首先，确定使)(z f 在其中解析的点0=z 的最大去心邻域为+∞<

z

z z f sin )(=

∑∞

=++-=

1

2)!

12()

1(1n n n

n z

z

+∞<<+-=

∑

∞

=z n z

n n

n

0,

)!

12()1(0

2

例 试将1

)(2

-=

z z

z f 在点1=z 的去心邻域内展成罗朗级数．

解法 1 首先，求出使)(z f 可展的点1=z 的去心邻域。因)(z f 的有限奇点只有

1=z ，所以，使)(z f 可展的点1=z 的去心邻域为+∞

<-<10z 。

其次，将)(z f 在+∞<-<10z 内展开，有 1

)

11(1

)(2

2

-+-=

-=

z z z z

z f 1

1

)1(2)1(2

-+-+-=

z z z