购房贷款的数学建模.doc

数学建模课程设计题目：购房贷款比较问题

班级：15 级初等教育（理）

姓名 :尹天予

学号： 043

关于购房贷款的数学模型

摘要 : 近几年，我国经济快速发展，社会传统的房屋买卖方式受到较大冲击而日趋缩

萎，取而代之的是银行按揭贷款买房成为新的购房趋势，并日渐盛行。这对现在社会的消费及生活所产生的积极意义与便利是不容抹杀。目前银行提供的贷款期限在一年以上的房屋

贷款还款方式一般有等额本息法 ,等额本金递减法，等额递增还款法，等额递减还款法，

等比递增还款法，等比递减还款法。而对这些贷款还款方式，如何根据自己的现

在及预期未来的收入情况，作出一个合理的还款方案，是每个打算贷款买房的人必须认

真考虑的。

本文根据银行购房贷款和我们的日常常识，建立数学模型，推导出月均还款总额、还款

总额和利息负担总和的公式。并以一笔 40 万元、10 年的房贷为例，利用已求出的公式，计算出 10 年内月均还款额和所花费的本息总额，制成图表，将等额本息还款法和等额

本金还款法两种还款方式作一次比较。

最后得出结论，等额本息还款法的月还款数不变，还款压力均衡，可以有计划地控制家

庭收入的支出，也便于每个家庭根据自己的收入情况，确定还贷能力，但需多付些利息，所以适合收入不是很高的，经济条件不允许前期还款投入过大没有打算提前还款的收入

处于稳定状态的人群。而等额本金还款法，由于贷款人本金归还得快，利息就可以少付，还款总额比较少，并且随着时间的推移每月还款数越来越少，但前期还款额度大，因此

适合当前收入较高者，有一定的经济基础，能承担前期较大还款能力，且有提前还款计

划的人，这种方式对准备提前还款的人较为有利。

关键词：贷款；等额本息；等额本金；月均还款总额

1.问题的提出

某人购房，需要贷款，有等额本息还款法和等额本金还款法两种还款方式。贷款40 年，还款期 10 年，分别求：

（1）月供金额。

（2）总的支付利息。

比较两种还款法，给出自己的方案。

2.问题的分析

目前有两种还款方式。等额本息还款法：每月以相等的额度平均偿还贷款本息，直至期满

还清，容易作出预算。还款初期利息占每月供款的大部分，随本金逐渐返，还供款中

本金比重增加。等额本息还款法更适用于现期收入少，预期收入将稳定或增加的借款人，

或预算清晰的人士和收入稳定的人士。而等额本金还款法：每期还给银行相等的本金，

但客户每月的利息负担就会不同 . 利息负担应该是随本金逐期递减。借款人在开始还贷

时，每月负担比等额本息要重。但随着时间推移，还款负担便会减轻。所以我们可知等

额本金还款法适合目前收入较高的人群。

假设小李夫妇能够支付这两种不同的还款方式，我们需要帮助他建立等额本息和等额本

金还款法的数学模型，以选择最佳还款方式。

根据问题一和问题二，需分别建立两种还款方式的模型，并分别求出其月供金额和总的

支付利息。

3.问题的假设

为了使问题更加明了清晰，便于计算，同时便于扩展因此特作如下假设：

1.假设该人每月能够按时支付房屋贷款所需的还款金额。

2.假设贷款年利率确定，无论还款期为多少年，在还款期间均为6%保持不变。

3.假设银行贷给该人的本金是在某个月的 1 号一次到位的，在本金到位后的下个月 1 号开始还钱。

4.问题的参数

问题参数约定如下：

A : 客户向银行贷款的本金

B : 客户平均每期应还的本金

C : 客户应向银行还款的总额

D : 客户的利息负担总和

α:客户向银行贷款的月利率

β: 客户向银行贷款的年利率

m : 贷款期

n : 客户总的还款期数

根据我们的日常生活常识，我们可以得到下面的关系

（1）n12m

（2）

C A D

：

（3）

A nB

5.模型的建立与求解

等额本息还款模型的求解:

（1）贷款期在 1 年以上：

先假设银行贷给客户的本金是在某个月的 1 号一次到位的 . 在本金到位后的下个月 1 号开始还钱，且设在还款期内年利率不变 .

因为一年的年利率是β，那么，平均到一个月就是（β/12 ），也就是月利率α，

12

即有关系式：

设月均还款总额是x （元）

a

i（i=1 n）是客户在第 i 期 1 号还款前还欠银行的金额

b

i(i=1 n) 是客户在第 i 期 1 号还钱后欠银行的金额 .

根据上面的分析，有

第 1 期还款前欠银行的金额 ： a

1

A(1 )

第 1 期还款后欠银行的金额 ： b 1

a 1 x A(1 ) x

第 2 期还款前欠银行的金额 ：

a

2

b 1 (1 )

A(1

) 2 x(1

)

第 2 期还款后欠银行的金额 ：

b

2

a 2 x

A(1

)2 x(1

) x

⋯⋯

第 i 期还款前欠银行的金额：

a i

b i 1 (1 ) ( A(1

) i 1

x(1

)i 2 x)(1 ) A(1 )i x(1

)i 1

x(1

) i 2

x(1 )

第 i 期还款后欠银行的金额：

b i

a i x

A(1

) i

x(1

) i 1

x(1

)i 2

x(1

) x

第 n 期还款前欠银行的金额：

a n

b n 1 (1

) ( A(1

)n 1

x(1

)n 2

x(1

) n 3

x)(1 )

A(1 ) n x(1 ) n 1 x(1

)n 2

x(1

)

第 n 期还款后欠银行的金额：

b n

a n

x A(1

) n

x(1

) n 1

x(1

)n 2

x(1 ) x

因为第 n 期还款后，客户欠银行的金额就还清

. 也就是说：

b n

0 ，

即： (1

) n

x (1 )n 1 x (1 ) x 0 A

＋

(1 ) n

[(1 )n 1 (1

)

1] 0

A

x ＋

解方程得：

x n

A (1

)