数值分析-第七章第一部分 (1)讲解

b
a
记L1 ( x)是f ( x)关于x0 a和x1 b的一次插值多项式
梯形公式是用一次插值多项式的积分近似f ( x )的积分

b
a
f ( x )dx L1 ( x )dx
a
b
一般地，可以用插值多项式的积分近似函数的积分 12
插值型求积公式
设Ln ( x)是f ( x)的n次Lagrange插值多项式
向后差商公式
f ( x )
向前差商公式
xh
f ( x h) f ( x h) f ( x ) 中心差商公式 3 2h
x
x h ( h 0)
差商型求导公式的截断误差：
h f ( x h) f ( x ) 向前：f ( x ) O( h) f ( ) 2 h f ( x ) f ( x h) h 向后 : f ( x ) O( h) f ( ) 2 h 2 f ( x h) f ( x h ) h 2 中心 : f ( x ) O( h ) f ( ) 2h 6
ji
等距节点下的常用公式,见课本
6ห้องสมุดไป่ตู้
1.3利用样条插值函数求数值微分
设S ( x )为f ( x )的三次样条插值函数， 由三次样条插值函数的性质(定理5.5)， 可用三次样条插值函数的导数或二阶导数， 近似函数的导数或二阶导数。
f ( x ) S ( x ) f ( x ) S ( x ) x ( a , b)
4 k
误差估计:
R ( x) f
(k ) (k )
( x ) S ( x ) O( h
(k )
) (k 1, 2)
7
§2 Newton－Cotes求积公式 定积分的图形表示

b
a
f ( x )dx F (b) F (a )
8
行星运行轨道:开普勒定律
行星在两点之间的运行距离
f (4) ( )
h2 h3 h4 (4) f ( x h) f ( x ) hf ( x ) f ( x ) f ( x ) f (1 ) 2! 3! 4!
h2 h3 h4 (4) f ( x h) f ( x ) hf ( x ) f ( x ) f ( x ) f (2 ) 2! 3! 4!
e
x2
,
1 , ln x
sin x , x
2.被积函数只有图形或者数据表,没有解析式 3.被积函数的原函数的求解过程复杂
1 x 4 x arcsin 2
2
,
x , 3 (1 x )
问题：如何构造数值积分公式？
10
2.1 数值积分的基本思想
积分中值定理:


b
b
a
f ( x )dx f ( )(b a )
x r1 cos y r2 sin
L
2 1 2
b
a
dx 2 dy 2 ( r1 sin d )2 ( r2 cos d )2 ( r1 sin )2 ( r2 cos )2 d
9
1
下列情况下，需要用数值积分 1.被积函数的原函数不能用初等函数表示

b a
f ( x )dx Ln ( x )dx [ f ( xk )lk ( x )]dx a
b a k 0
b
n
( l k ( x )dx ) f ( x k )
b k 0 a
n
记Ak lk ( x )dx , 则
a
b

b a
f ( x )dx Ak f ( xk )
k 0
n
插值型求积公式
xk为求积节点，Ak为求积系数 Ak 只与节点有关，与f ( x)无关
第七章
数值微分与数值积分
习题
P257 4(2), 8, 10(1), 11, 12, 13(1) 16, 19, 21(3点公式)
1
§1数值微分
问题： 若已知函数在一些节点上的值，如何近似节点处的导数？
f ( x )
xh
x
x h ( h 0)
2
1.1差商型求导公式：
f ( x ) f ( x h) f ( x ) h f ( x h) f ( x ) f ( x ) h
ab 未知， 若取 a , b, 有 2
a b
f ( x )dx f (a )(b a ) f ( x )dx f (b)(b a )
左矩形公式 右矩形公式


a
b
a
ab f ( x )dx f ( )(b a ) 中矩形公式 2
11
若用梯形的面积近似有
ba [ f (a ) f (b)] f ( x )dx 2 梯形公式
5
1.2插值型求导公式：
用插值多项式的导数作为函数导数的近似，即
( xi ) f ( xi ) Ln
f ( ) 由f ( x ) Ln ( x ) n1 ( x )得， ( n 1)!
( n 1)
f ( n1) ( ) n ( xi ) f ( xi ) Ln ( xi x j ) ( n 1)! j 0
由Taylor公式推得，例如中心差商的误差阶
h2 h3 f ( x h) f ( x ) hf ( x ) f ( x ) f (1 ) 2! 3! h2 h3 f ( x h) f ( x ) hf ( x ) f ( x ) f (2 ) 2! 3! f ( x h) f ( x h ) h2 h2 f ( x ) [ f (1 ) f (2 )] f ( x ) f ( ) 2h 12 6 4
二阶导数的中心差商公式：
f ( x h) 2 f ( x ) f ( x h) f ''( x ) 2 h
二阶导数的中心差商公式的截断误差：
2 f ( x h) 2 f ( x ) f ( x h) h 2 f ''( x ) O ( h ) 12 h2