第7章 梁的强度问题

§ 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质 7.2.4惯性矩与惯性积的转轴定理
I y1
Iy
2
Iz
Iy
2
Iz
cos 2a
I yz
sin 2a
I z1
Iy
2
Iz
Iy
2
Iz
cos 2a
I yz
sin
2a
I y1z1
Iy
2
Iz
sin
2a
I yz
cos 2a
※ 转轴定理：研究坐标轴绕原点转动时，图形对这些坐标 轴的惯性矩和惯性积的变化规律（不要求坐标原点通过形 心） 。
为m3或mm3。
※注意：Sy、Sz分别可以看成是面积A对于y轴和z轴之矩， 故Sy、Sz称为截面一次矩或静矩。
※注意：Sy、Sz可能为正值，可能为负值，也可能为零。
§ 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质
7.2.1 静矩、形心及其相互关系
※形心：图形几何形状的中心称为 形心。
yC
Sz A
ydA
iy
Iy A
iz
Iz A
iy、iz称为图形对于坐标轴y、z的惯
性半径。惯性半径的单位为m或mm。
§ 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质
y h Cz
y
dC z
y D
C z
b d
IZ
1 bh3 12
Iz
Iy
π 64
d4
Iy
Iz
πD4 64
(1 α4 )
Iy
1 12
hb3
IP
32
d4
IP
πD4 32
※ 注意：Iy、Iz恒为正值。
§ 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质
7.2.2 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径
定义
IP
r 2dA
A
IP称为图形对于点O的截面二 次极矩或极惯性矩。极惯性矩的单
位为m4或mm4。
※ 显然，由图示知：
r2 z2 y2, IP Iy Iz
※ 注意：IP恒为正值。
(1
α4 )
α d D
§ 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质 7.2.3 惯性矩与惯性积的移轴定理
I y1 I y a2 A Iz1 Iz b2 A
I y1z1 I yz abA
要求： Iy、Iz通过形心。
※ 移轴定理：指图形对于互相平行轴的惯性矩、惯性积之 间的关系，即通过图形对于一对坐标轴的惯性矩、惯性积， 求图形对另一对与上述坐标轴平行的坐标轴的惯性矩与惯性 积。
i 1
n
n
yC
Sz A
Ai yCi
i 1 n
Ai
, zC
Sy A
Ai zCi
i 1 n
Ai
i 1
i 1
§ 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质
7.2.1 静矩、形心及其相互关系
80
例：确定右图所示图形的形心位置。 20
z y1
解：建立图示坐标系，假定形心在C点
yC
由于图形是左右对称的，易知：
Iy
Iz 2
1 2
(Iy
Iz
)2
4I
2 yz
※ 对于任意一点(图形内或图形外)都有主轴，而通过形心的 主轴称为形心主轴，图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯 性矩，简称为形心主矩。工程计算中有意义的是形心主轴与 形心主矩。
§ 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质
【例题7-1】截面图形的几何尺寸如图所示。试求图中具有剖面线部分的
§ 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质
7.2.5 主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩
※ 图形对于过一点(y0,z0)的一对坐标轴 的惯性积等于零，则称这一对坐标轴为 过这一点的主轴。图形对于主轴的惯性 矩称为主惯性矩。主惯性矩具有极大值 或极小值的特征。
I y0 Iz0
I max
Imin
§ 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质
7.2.2 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径
I yz
yzdA
A
Iyz称为图形对于通过点O的一
对坐标轴y、z的惯性积。惯性积的
单位为m4或mm4。
※ 注意： Iyz可能为正值，可能为负值，也可能为零。
§ 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质 7.2.2 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径
52, zC
Sy A
0
i 1
§ 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质
7.2.2 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径
定义
I y
z 2 dA
A
Iz
y 2 dA
A
Iy、Iz分别称为图形对于y轴和 z轴的截面二次矩或惯性矩。惯性矩
的单位为m4或mm4。
※ 注意： Iy、Iz分别可以看成是面积A对于y轴和z轴的 二次矩，故Iy、Iz称为截面二次矩或惯性矩。
惯性矩Iy和Iz。
解： 根据惯性矩定义，具有剖面线的图形对
于y、z轴的惯性矩，等于高为H宽为b的矩形 对于y、z轴的惯性矩，减去高为h宽为b的矩 形对于相同轴的惯性矩，即
Iy
1 12
Hb3
1 12
hb3
1 (H 12
- h)b3
Iz
1 12
bH 3
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1 12
bh3
1 12
b(H 3
-
h3
)
§ 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质
线变成了曲线，这种变形称为弯曲。
2.梁：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。
§ 7.1 工程中的弯曲构件 3.工程中的弯曲实例
§ 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质
7.2.1 静矩、形心及其相互关系
定义
Sy
zdA
A
Sz
ydA
A
Sy、Sz分别称为图形对于y轴和z
轴的截面一次矩或静矩。静矩的单位
A
A
zC
Sy A
zdA
A
A
§ 7.2 与应力分析相关的截面图形的几何性质
7.2.1 静矩、形心及其相互关系
※ 复杂图形形心的计算：
分解为若干个简单图形（可直接确定形心
位置的图形），然后依下式计算：
Sz A1 yC1 A2 yC2
n
An yCn Ai yCi i 1
n
Sy A1zC1 A2 zC2 An zCn Ai zCi
本 章 内 容： §7.1 工程中的弯曲构件 §7.2 截面图形的几何性质 §7.3 平面弯曲时梁横截面上的正应力 §7.4 平面弯曲正应力公式应用举例 §7.5 梁的强度计算 §7.6 斜弯曲 §7.7 弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力 §7.8 结论与讨论
§ 7.1 工程中的弯曲构件 1.弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴
C
120
y2
( yC1, zC1) (10, 0)
( yC2, zC2 ) (80, 0) Sy A1zC1 A2 zC2 0
20 y
Sz A1yC1 A2 yC2 208010 120 2080 208000
n
yC
Sz A
Ai yCi
i 1 n
Ai
208000 2080 120 20