有理分式不定积分

1 1
1

x

(x
1)2

x
1 dx
1
1
1


dx x


(x
1)2
dx


x
dx 1
ln x 1 ln( x 1) C. x1
3.3 几类特殊函数的积分法（52）
15
例5
求不定积分

(1

2
1 x)(1

x2
)
dx.
解
1
(1 2x)(1 x2 ) dx
➢ 有理函数； ➢ 三角函数的有理式； ➢ 简单无理函数；
3.3 几类特殊函数的积分法（52）
3
5.3.1 有理函数的积分法
1、有理函数 由两个多项式的商表示的函数.
P(x) Q( x)
a0 xn a1 xn1 b0 xm b1 xm1
an1 x an bm1 x bm
3.3 几类特殊函数的积分法（52）
23
例8
求不定积分

1 sin x sin 3x sin
x
dx.
解 sin A sin B 2sin A B cos A B
2
2

1 sin x sin 3x sin
x
dx


2
1 sin x sin 2x cos
x
dx
1 sin x

Mt (t 2 a2 )n dt

b (t 2 a2 )n dt
3.3 几类特殊函数的积分法（52）
13
Mx N
(1)
n 1, x2 px q dx
M ln( x2 px q) b arctan
x
p 2
C;
2
a
a
Mx N
(2) n 1, ( x2 px q)n dx
4 5 dx 1 2x
2 x 1
5 1
x2
5dx
2
1 2x
11
5 ln(1 2x) 5 1 x2 dx 5 1 x2dx
2 ln(1 2x) 1 ln(1 x2 ) 1 arctan x C.
5
5
5
3.3 几类特殊函数的积分法（52）
2 x
,
2
3.3 几类特殊函数的积分法（52）
17
2、万能置换公式
设
u

tan
x 2
，即
x

2arctan
u
，则
sin
x

1
2u u2
,
cos
x

1 1

u2 u2
,
2 dx 1 u2 du
2u 1 u2 2
R(sin x,cos x)dx
R

1

u2
,
(4)
(
x2
Mx px
N q)m
,
(2

m为整数，p2

4q

0);
3.3 几类特殊函数的积分法（52）
11
说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出 现三类情况：
(1) 多项式；
(2)
A (x a)n ;
Mx N (3) ( x2 px q)n ;
讨论积分
Mx N ( x2 px q)n dx,

x2

px

q


x

p2
2


q
p2 4
,
令 x pt
2
3.3 几类特殊函数的积分法（52）
12
记 x2 px q t 2 a2 , Mx N Mt b,
则 a2 q p2 , b N Mp ,
4
2
Mx N
( x2 px q)n dx
28
回代，得
cos3
sin4
x x
dx


1 3 sin 3
x

1 sin
x

C.
（3） 若三角有理式 R(sin x,cos x) 为 sin x 和 cos x 的 偶函数，即
R( sin x, cos x) R(sin x,cos x),
则作变换 tan x t .
例
x3 x2
x 1
1

x

1 x2
. 1
难点 将有理函数化为部分分式之和.
3.3 几类特殊函数的积分法（52）
5
2、化有理函数为最简分式之和
（1）分母中若有因式 ( x a)k ，则分解后为
(x
A1 a)k

A2 ( x a)k1


Ak , xa
其中A1 , A2 , , Ak 都是常数. 特殊地：k 1, 分解后为 A ;
1

u2

1

u2
du.
3.3 几类特殊函数的积分法（52）
18
sin x
例6 求不定积分
dx.
1 sin x cos x
解
由万能置换公式
sin
x

1
2u u2
,
cos
x

1 1

u2 u2
dx

1
2 u2
du,
sin x
2u

1
sin
x

cos
x
dx


(1
u)(1


2(n

M 1)(t 2

a 2 )n1
b
1 (t 2 a2 )n dt.
这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数.
结论 有理函数的原函数都是初等函数.
3.3 几类特殊函数的积分法（52）
14
1
例4 求不定积分 x( x 1)2dx.
解
1
x( x 1)2 dx
xa
3.3 几类特殊函数的积分法（52）
6
（2）分母中若有因式 ( x2 px q)k ，其中 p2 4q 0 则分解后为
M1x N1 ( x2 px q)k

(
x
M2 2
x N2 px q)k
1


Mk x Nk x2 px q
其中Mi , N i 都是常数(i 1,2, , k).
16
5.3.2 三角有理式的积分法
1、三角有理式
由三角函数和常数经过有限次四则运算
构成的函数称之．一般记为 R(sin x,cos x)
2tan x
sin x 2sin x cos x 22

1

tan
2
2
x
,
2 1 tan2 x
cos x cos2
x sin2 2
x 2

1

tan2
解 由变换 cos x t ，得
原式
1
t2 t
2
dt

arctan
t

t

C.
回代，得
cos2 x sin x
1 cos2 x dx arctan cos x cos x C.
3.3 几类特殊函数的积分法（52）
27
（2） 若三角有理式 R(sin x,cos x) 为 cos x 的奇函 数，即
R(sin x, cos x) R(sin x,cos x),
则作变换 sin x t .
cos3 x
例10 求不定积分 1 sin4 x dx.
解 由变换 sin x t ，得
原式

1 t2
11
t4 dt 3t 3 t C.
3.3 几类特殊函数的积分法（52）
其中m 、n 都是非负整数；a0 , a1 , , an 及 b0 , b1 , , bm 都是实数，并且a0 0 ，b0 0 .
3.3 几类特殊函数的积分法（52）
4
假定分子与分母之间没有公因式
(1) n m, 这个有理函数是真分式；
(2) n m, 这个有理函数是假分式；
利用多项式除法, 假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和.
4sin x cos2 x dx
1 4
sin
1 x cos2
x
dx

1 4

1 cos2
dx x
3.3 几类特殊函数的积分法（52）
24
1 sin2 x cos2 x
11
4 sin x cos2 x dx 4 cos2 x dx

1 4

sin x cos2 x
（1） 若三角有理式 R(sin x,cos x) 为 sin x 的奇函 数，即
R( sin x,cos x) R(sin x,cos x),
则作变换 cos x t .
3.3 几类特殊函数的积分法（52）
26
cos2 x sin x
例9 求不定积分 1 cos2 x dx.
u2
du )

2u 1 u2 1 u2 (1 u)(1 u2 ) du
3.3 几类特殊函数的积分法（52）
19

Hale Waihona Puke Baidu
(1 u)2 (1 u2 ) (1 u)(1 u2 ) du
1 u
1
1

u2 du

1

du u
arctan u 1 ln(1 u2 ) ln | 1 u | C
特殊地：k
1,
分解后为
x
Mx 2
N px
q
;
3.3 几类特殊函数的积分法（52）
7
3、化真分式化为最简分式之和的待定系数法
例1
x
2
x
3 5x
6

(
x

x 2)(
3 x

3)
A x2
B, x3
x 3 A( x 3) B( x 2),
x 3 ( A B)x (3A 2B),

1 3u2 3u4 u6
8u4
du

1[ 8
1 3u3

3 u

3u

u3 3
]

C


24
1 tan
x 2
3

3 8 tan
x 2

3 8
tan
x 2

1 24

tan
x 2
3

C.
3.3 几类特殊函数的积分法（52）
21
解（二）修改万能置换公式, 令 u tan x
sin x
u ,
1 u2
dx

1
1 u2
du,
1
sin4 x dx



1
u
1 4 1 u2du
1 u2 u4 du

1 u2


1 3u3

1 u

C


1 3
cot 3
x

cot
x

C
.
3.3 几类特殊函数的积分法（52）
22
解（三） 可以不用万能置换公式.
5.3 几类特殊函数的积分法
5.3 几类特殊函数的积分法（52）
1
求不定积分与求导数的区别：
✓ 求导数方法比较固定，求积分方法 灵活，没有通用的步骤可以遵循；
✓ 初等函数的导数还是初等函数，而 初等函数的不定积分则不一定是初等 函数；
3.3 几类特殊函数的积分法（52）
2
某些特殊类型的初等函数，它们的不定积 分还是初等函数：

1 sin4
x
dx

csc2 x(1 cot2 x)dx
csc2 xdx cot2 x csc2 xdx d(cot x)
cot x 1 cot3 x C. 3
结论 比较以上三种解法, 可知万能置换不一定 是最佳方法. 故在三角有理式的积分中， 应优先考虑其它手段.
A x2 )
1
4, B 5 4
5 2x

2,C 5
2x1 55 1 x2
1 5
.
,
3.3 几类特殊函数的积分法（52）
10
4、最简分式和他们的不定积分
(1)
x
A
a
;
(2)
(
x
A a)m
(2

m为整数);
(3)
Mx N x2 px
q
,
(
p2

4q

0);
x2
)
1
A 2x

Bx C 1 x2
,
1 A(1 x2 ) (Bx C )(1 2x),
整理得 1 ( A 2B)x2 (B 2C )x C A,
A 2B 0,
B 2C 0, A C 1,

1
(1 2x)(1
dx

1 4

1 sin
x
dx

1 4

1 cos2
x
dx


1 4

1 cos2
x
d(cos
x)

1 4

1 sin
x
dx

1 4

1 cos2
x
dx

1 4cos
x

1 ln tan 4
x 2

1 tan 4
x

C.
3.3 几类特殊函数的积分法（52）
25
3、特殊变换
根据三角有理式 R(sin x,cos x) 的特殊性，介绍几个 特殊的积分变换公式.

A (3
B A

1, 2B)

3,

A B

5 ,
6

x2
x3 5x
6
5 x2

x
6
. 3
3.3 几类特殊函数的积分法（52）
8
例2
1 x( x1)2

A x
(x
B 1)2

C, x1
1 A( x 1)2 Bx Cx( x 1)
2
u tan x 2
x 2
ln | sec x | ln | 1 tan x | C.
2
2
3.3 几类特殊函数的积分法（52）
20
1
例7 求不定积分 sin4 x dx.
解（一） u tan x , 2
sin
x

1
2u u2
,
dx

1
2 u2
du,
1
sin4 x dx
(1)
代入特殊值来确定系数 A, B,C
取 x 0, A 1 取 x 1, B 1
取 x 2, 并将 A, B 值代入(1) C 1

1 x( x 1)2

1 x

(x
1 1)2

1. x1
3.3 几类特殊函数的积分法（52）
9
例3
(1
1 2x)(1