4平方根与立方根

一、无理数的定义：无限不循环的小数叫做无理数。例如：π，⋅⋅⋅101001.0等．

除了这些数今天我们要学习另外的一些无理数，那就是根式的学习． 【练习1】 （1）==x x ,42（2） =

=x x ,83（3）=

-=x x ,83

思考题

（1）=

=x x ,32 （2）=

=x x ,93

二、平方根与算术平方根

1、平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根．也就是说，若2x a =，则x 就叫做a 的平方根．一个非负数a 的平方根可用符号表示为“a ±”． 注意：(1)、负数没有平方根,0a ≥．

(2)、一个正数的平方根有两个并且互为相反数． (3)、a ±读作正负根号a ．

2、算术平方根：一个正数a 有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做a 的算术平方根，可用符号表示为“a ”；0有一个平方根，就是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根，当然也没有算术平方根．

平方根的计算：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．

开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根． 【例1】判断正误 （1）a 一定是正数．

( )

（2）2a 的算术平方根是a ． ( ) （3）若2()6a -=，则6a =-．

( )

知识精讲

平方根与立方根

（4）若264x =，则648x =±=±．

( )

（5）64的平方根是8±．

( )

（6）若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等． ( ) （7）如果一个数的平方根存在，那么必有两个，且互为相反数．

( )

（8）2a -没有平方根．

( )

（9）如果两个非负数相等，那么他们各自的算术平方根也相等．

( )

【例2】下列各式中x 的值．

（1）29x =

（2）21

(51)303

x --=

【巩固】求下列等式中的x ：

（1）若x 2＝1．21，则x ＝_____ （2）x 2＝169，则x ＝______

（3）22500x -= （4）2(100.2)0.64x -=

【例3】（1）81的平方根是（ ） （2）4的平方根是（ ） （3）81的算术平方根是（ ） （4） 5的算术平方根是（ ） （5）π的平方根是（ ） 【巩固】2)5(-的平方根是 （ ）

A ． 5±

B ． 5

C ． 5-

D ． 5± 【巩固】16的算术平方根是( )

A ．4

B ．4±

C ．2

D ．2±

【例4】若一个数的平方根是8±，则这个数的立方根是（ ）

A ．2

B ．±2

C ．4

D ．±4 【巩固】若()4

216A a =

+，则A 的算术平方根是_________

【例5】设a 是整数，则使48a 为最小正整数的a 的值是________

【巩固】设a 是整数，则使2012a 为最小正有理数的a 的值是

【例6】一个自然数的算术平方根为a ，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（ ） A ．1a + B ． 21a + C ． 22a + D ．21a +

【例7】x 为何值时，下列各式有意义？

（1）2x ； （2）2x -； （3）2x -+； （4）

x ；

（5） 1

1

x -； （6）112x x ++-

【巩固】使

1

x-2

有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x≥0 B ．x≠2 C ．x>2 D ．x≥0且x≠2

【巩固】5

5

++x x 有意义，求x 的取值范围。

【例8】已知x ，y ，z 满足211

4412()052

x y y z z -++++-=，求()x z y -的值．

【巩固】已知0121322=++++-b b a a ，求b a a -+2

2

1

的值。

【巩固】如果3a b -+与22a b +-互为相反数，求27()a b +的值．

【例9】若直角三角形的两直角边长为a 、b ，且满足04962

=-++-b a a ，

求该直角三角形的斜边长。

【巩固】已知c b a ,,是△ABC 的三边长，且满足关系式0222222=+-+--b ab a b a c ，判断△ABC 的形状。

【例10】已知4942492b a a =-+-+，求11

a b

+的平方根．

【巩固】若2

442

2+-+-=x x x y ，求y x +2的值．

【例11】已知a a a =-+-20052004，则22004-a 的值为_________。

【巩固】已知y ＝20031-x －200441+-x ，求22y x 的值.

三、立方根

立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也就是说，若3,x a =则x 就叫做a 的立方根。

一个数a 的立方根可用符号表“3a ”，其中“3”叫做根指数，不能省略． 前面学习的“a ”其实省略了根指数“2”，即：2a 也可以表示为a ．

3

a 读作“三次根号a ”，2a 读作“二次根号a ”，a 读作“根号a ”．

任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，

正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0．

立方根的计算：求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根．

【例12】判断

（1）2

a -没有算术平方根．

( ) （2）64的立方根是4±． ( ) （3）12

-是1

6-的立方根．

( )