金融数学课件资料

实物中，通常采用带有固定程序的计算器完成。
3 票息重新投资情况下的收益率：
Nrs C 1 i ( n j )n 1
P
例 面值100元的10年期债券，每年计息两次的年名义票息 率为8% ，现价90元出售，求每年计息两次的年名义收益 率。
解：此题属于票息支付日付息后购入债券的收益 率问题，因此由
例：
面值1000元的五年期债券，票息率为每年 计息两次的年名义利率10%，可以面值赎 回，现以每年计息两次的年名义利率12% 的收益率购买，求分期偿债表中的总利息 收入。
5.1.3票息支付周期内债券的估价
债券的平价：债券购买日的实际交付款项 债券的市价：扣除应计票息后的买价 计算方法： 理论法 实务法 混合法
(2)溢价/折价公式：
P C [Nr(1 t) Ci]a n 1050 (420.8 10500.05)12.46 814.46
(3) Makeham公式： P K g(1 t) (C K ) i 395.73 0.04 0.8(1050 395.73) / 0.05 814.46
债券的面值N=1000 债券的收益率i=0.05
债券的赎回值C=1050 赎回值得现值K=395.79
债券的票息率r =0.042 债券的基础金额G=840
票息额Nr=42
所得税率=20%
故可以按照如下四种公式计算债券价格：
(1) 基本公式：
P Nr(1 t)a K n 42 0.8 a 395.734 814.46 20
5.2.3 可转换债券
可转换债券，是可转换公司债券的简称，是一种 可以在特定时间、按特定条件转换为公司普通股 的特殊企业债券。
可转换债券同时具有债券和股票的特征 要素： 票面利率、转股价格、转股比例、转换期
可转换债券特点
从发行者角度： （1）降低融资成本 （2）降低融资门槛 （3）融资方式灵活 从投资者角度： （1）提供最低的收益保证 （2）提供成长性收益 （3）有利于企业的收购与兼并 （4）减少股东的道德风险
(Cm

Km )
则系列债券的买价、赎回值和赎回值的现值为：
m
P Pt t 1
m
C Ct t 1
m
K Kt t 1
P K g (C K ) i
例 票息率为年复利5.25%的1000元债券，自发行后第11年 到第20年底以105元分10次赎回，投资者的目标收益率为
利息收入 溢价摊销额
账面值
１０３７．１７
３１．１２ 8.８８ １０２８．２９
３０．８５ ９．１５ １０１９．１４
３０．５７ 9.４３ １００９．７１
３０．２９ 9.７１
1000.00
1２２．８３ ３７．１７
例 折价购买的面值1000元的2年期债券，票息率为每年计息两次的 年名义利率为8%，收益率为每年计息两次的年名义利率10%，建 立债券分期偿还表。
k P C 0.1 C
债券推销商法：i g k / n 0.0474 1 k / 2
则年名义收益率为9.48%
i g k / n 0.04 (0.01) / 20 0.0475 1 (n 1)k / 2n 1 (21/ 20 2)(0.1)
一般的，若面值不是1,是C，表中各值乘以 Ｃ即可．
溢价摊销 折价积累
例 购买的面值1000元的2年期债券，票息率为每年计息两次 的年名义利率为8%，收益率为每年计息两次的年名义利率６ %，建立债券分期偿还表。
期次(半年) 0 1 2 3 4
合计
票息
40.00 40.00 40.00 40.00 160.00
按实务法计算 按混合法计算
5.1.4 收益率的确定
1 票息支付日付息后购入债券的收益率：
i g k / n , 债券推销商法：i g k / n
1 (n 1)k / 2n
1 k / 2
2 票息支付期间购入债券的收益率的计算：
这种情况下收益率需要更为复杂的迭代运算，在
面值1000元的2年期债券、票息率为每年计 息两次的年名义利率8%、收益率为每年计 息两次的年名义利率6%，若投资者可通过 利率为每年计息两次的年名义利率5%的偿 债基金来偿还资本部分，求债券的价格。
例：
债券分期偿还表中，某个周期的溢价摊销 额为5元，利息收入为票息的75%，求票息 额。
（3）基础金额公式
i
P G(1 t) [C G(1 t)]vn
例 面值1000元的10年期债券，票息率为每年计息2次的年名义利率 8.4%，赎回值为1050元，票息所得税率为20%，且利率为i(2)=10%，求 债券价格。
解：首先确定如下符号的取值
债券周期n=20
债券的修正票率g=0.04
假设系列债券有m个不同的赎回日，第一个赎回 日回收债券的买价、赎回值和赎回值的现值为P1， C1和K1，第2个赎回日的为P2、C2和K2，依次类推， 第m个赎回日的为Pm、Cm和Km，得到一系列债券 的价格为：
P1

K1

g i
(C1

K1 )
P2

K2

g i
(C2

K2)
M
Pm

Km

g i
n|
n|
若 g>i，则债券溢价发行；
若g< i，则债券折价发行。
债券的价格取决于各期票息的现值和赎回值的现 值。由于债券买价经常低于或者高于赎回值，因 而投资者在赎回日就有利润或者亏损，该利润或 者亏损在计算到期收益率时就反映在债券收益率 中。因此，应该将每期票息分成利息收入和本金 调整两个部分。
全价：实质是非整数期的债券价格
5.1.2 溢价与折价
若债券的价格高于赎回值即P>C，则称该债券为溢 价发行，P与C的差额称为溢价额。若买价低于赎 回值即P<C，则称该债券为折价发行，C与P的差 价称为折价额。
在不考虑所得税的情况下，由溢价/折价公式知
P C (Nr Ci)a C(g i)a
则年名义收益率为9.50%
例5-6
上例中，假设债券的票息只能以每年计息 两次的年名义利率6%的利率再投资，求考 虑再投资利率的收益率。
5.2 其他类型的证券
5.2.1 可赎回债券
可赎回债券是债券到期前举债人可提前赎回的债 券。最早的赎回日通常在债券发行几年之后。债 券期限的不确定给收益率的计算带来了困难，由 于举债人可以选择赎回日，因而投资者就得按对 自己最不利的赎回日来计算价格或收益率。这是 投资者购买可赎回债券的计算原则。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（4）基础金额公式
P G(1 t) [C G(1 t)]vn 814.46
2、所得税、资本增益税后的债券价格：
P' (1 t2 )K (1 t1)(g / i)(C K ) 1 t2K / C
例5-2：面值1000元的10年期债券，票息率为每年 计息2次的年名义利率8.4%，赎回值为1050元，票 息所得税率为20%，且利率为i(2)=10%，资本增益 税30%。求债券价格。
5.1 债券
1、所得税后的债券价格
首先定义如下符号： P：债券价格； N：债券的面值； C：债券的赎回值； r ： 债券的票息率； Nr：票息额；
n：债券周期； g：债券的修正票息率； i：债券的收益率； K：赎回值的现值； G：债券的基础金额； t：所得税率；
债券的价格等于各期票息现值加上债券赎回值的 现值，因此，债券价格P可以用如上定义的符号 表示如下：
（2）如果收益率大于修正票息率，即债券折价 发行，则赎回日应该尽可能晚。
各赎回日赎回值不相等时：
计算出每个赎回值对应的P，比较哪个最小 。
若i>g，赎回值递减，则到期日对应的P最小 。
5.2.2 系列债券
系列债券是同一举债人同时发行的具有不同赎回 日的一系列债券。有时，在各赎回日赎回什么债 券什么债券预先不知道，而是随机的。此时用 Makeham公式计算系列债券的价格最为有效：
第五章 债券及其定价理论
本章介绍债券、债券的定价方法、收益率等内容。
债券是一种有价证券，体现的是一种债权债务关 系，持券人有权利按照约定的条件向发行人取得 利息和到期收回本金。
5.1 债券
5.1.1 债券价格

三个前提 （1）不考虑信用风险 （2）有固定到期日 （3）支付票息后的价格
i[1 (g i)a ] 2i
i[1 (g i)a ] 1i ng-p
(g i)v2 (g i)v1 (g i)a
ni
1 (g i)a 1i 1
由表可以看出： 1、账面值与定价公式按原收益率计算的价
格一致 2、本金调整之和等于p 3、利息收入之和等于票息减去本金调整 4、本金调增呈现等比数列的规律 注意： 账面值不同于重新购买该债券的价格
用这种方法将债券价值从购买日的买价连续地调 整到赎回日的赎回值。这些调整后的债券价值被 称为债券的账面值。
考虑面值为1，以面值赎回的n期附息债券 在不同时刻的账面值、利息的收入和本金 的调整状况。
记第t期票息中的利息收入为It 记第t时刻的本金调整为Pt 买价记为1+p
期次 票息
用溢价/折价公式可以解释计算可赎回债券价格 的原则。
对于溢价/折价折价公式：
P C[1 (g i)a ] ni
P是债券的理论价格，也是投资者未来的回报。 实际价格越小时，这个现值越小，对投资者越不 利，因此，各赎回日赎回价相同时：
（1）如果收益率小于修正票息率，即债券溢价 发行，则赎回日应该尽可能早。
例：债券的面值为1000元，年息票率为6% ，期限为3年，到期按面值偿还。市场利率 为8%，试计算债券在购买6个月后的价格 和帐面值。
解：已知： C = F= 1000 r = g = 6% n=3 i= 8% 所以债券在购买日的价格为
在购买6个月后的价格为
在购买6个月后的帐面值等于价格扣除 应计息票收入： 按理论方法计算
P Nr(1 t)a Cvn n
Nr(1 t)a K n
该公式称为计算债券价格的基本公式，债券价格 的计算还有另外两种变型公式：
（1）溢价/折价公式： P C [Nr(1 t) Ci]a n
（2）Makeham公式： P K g(1 t) (C K )
利息收入
本金调整
账面值
0
1+p=
1 (g i)a
ni
1
g
i[1 (g i)a ] ni
(g i)vn
1 (g i)an-1|
……
…
…
…
t
g
i[1 (g i)a ] nt 1i
(g

i )v n t 1
1
(g

i)a nt i
……
…
…
n-1 g ng 合计 ng
年复利7%，求系列债券的价格
解：N=100 , Ct==105(t=11,12,…,20) r=0.0525， g=0.05， i=0.07
m
m
C Ct 1050 K Kt 374.89
t 1
t 1
则系列债券的价格为：
P K g (C K) 857.11 i
期次(半年)
票息
0
1
40.00
2
40.00
3
40.00
4
40.00
合计
160.00
利息收入 折价累计额
48.23 48.64 49.07 49.52 195.46
8.23 8.64 9.07 9.52 35.46
账面值
964.54 972.77 981.41 990.48 1000.00
例题5-3