热力学与统计物理学第七章 量子统计

Ce
dU dT
2
2
NkB
T TF
2
2
NkB
kBT
F
例如对金属铜，F kB 8.2104 K,电子气的CV (NkB ) 6105T，
这个值很小，原因在于：
(1) 当温度升高，仅有费米面以下kBT附近薄层的电子有可能被激发 到费米面以外，这部分电子数目的估计是N kBT N 4103 N,它们
e （ i ） 1
这时量子统计法过渡到 经典统计法 , 粒子能量取连续化，
则平均每个相格内的粒 子数为
n 0 ( ) e ( - ) 要是以上条件对所有单 粒子态都成立，包括
e 1
i 0, 必须
N
n 0 ( )D ( )d
0
0
e
( -
)
V
2
2m h3
3/2
d
e
V
2
(2m )3/2 h3
e
0
d
V
2mk h2
BT
3 / 2 e
17
3
e-
1 n
2mkBT
h2
2
1
这就是量子统计向统经计典过渡的条件。
讨论： (1)V N1/3是粒子的平均活动 ，尺度 h 2mkBT1/2 量子统计成立的:条 V N件1/3
(2)满足以上条件的系 为统 简称 并或退化系n统 3 ， 1
第七章：量子统计
动机和目标 一、 玻色子和费米子 二、量子分布律 三、理想费米气体 四、理想玻色气体
小结和习题课
1
经典统计的不足： 1）同种物质的粒子可以编号加以区别，从而 带来了体系微观状态数增多的弊端； 2）相格的大小是人为引入的； 3）粒子能量是连续的，在计算双原子分子气 体热容量在低温与实验不符。
让我们来看费米 。子 假情 设况 两个粒子 位在 置 r具相有同相同的 则波函数写 作 (r,r)，交换粒P 子有 ;又因为两个粒子 相同的态，P所 以 。 ，这导致的 结 (r,果 r)是 (r,r),当且仅当
(r,r)0 成立。0表示一个零概率 两态 个， 费即 米子不能 一占 个据 态同 。
6
9
Ni个粒子占据能i级 上的gi个量子态 (gi Ni ),相当于
从gi个量子态中挑N出 i个为粒子所占据，Ni有 !(ggi i! Ni )!
种可能的方式。那费 么米 ，系统对应于分 {N布 i}的微观态数：
WFD{Ni}
i
gi! Ni!(gi Ni )!
例如：
若某个能级 Ni上 3， ， gi7,则这个能级上的 是微观
量子论基本原理应该需要考虑，即 1. 全同粒子不可分辨性； 2. 量子能级是不连续的。
2
几个重要的共识
• 任何微观粒子的重要特征是具有自旋； • 物理上凡是不能用经典理论处理的系统称为简并 系统，即能量相同但还有其他自由度不同； • 量子统计学不是完全的量子力学； • 量子统计在高温、低密和重粒子质量情况下，能 够退化到经典统计。
T 0K的化学势(0)称为费米能，记作
F (0) 在T 0K, f ( )是一阶梯函数，
f
(
)
1, 0,
(0) (0)
系统中有N个费米子填充到费米能为止。
20
费米函数
1.25
T=0
1.00
0.75
f()
0.50
0.25
T=0.2TF
0.00
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
/
费米面
自由电子的： 能 量 21mp表 x2p达 y2p式 z2,从动量空间来
ln
14
TdS dU pdV dN
dS
k B d ln
ln
ln
S
k B ln
ln
ln
F
E
TSBaidu Nhomakorabea
k
BT
ln
ln
G
N
N kBT
k BT
ln
注意：
F G k B T ln
(1)对于(T以 ,V,)为自变量的系统 力， 学 巨 势 为热 特性函数
1 g ( )d
3h 2
N
3N
2 / 3
0
10 m 8V
3 N(0)
5
一个自由电子的平均能 量等于
0
E0 N
3 (0)
5
23
应用到金属
一、金属模型 组成金属的原子=离子实(金属晶体)+价电子(电子气) 金属中的电子看成理想费米子。 电子质量轻、密度大，它是简并气体、量子效应强
(T)
Fermi sea
5.0
4.5
4.0
3.5
3.0
2.5 2.0 Maxwell-Boltzmann
Bose-Einstein
1.5
1.0
0.5 Fermi-Dirac
0.0
-3
-2
-1
0
1
2
3
16
()/k T B
N0 /g jj
7.2.3 量子统计向经典统计过渡的条件
当满足稀薄气体条件：
N
0 i
gi,
即在量子统计分布中
式中， , 1 , ""为费米系统"，"为玻色系统。
kBT
kBT
对于T V 固定系统（粒子数和量能可变），定义巨配函分数
1 e-- g （读\ Xi,是的大写）
ln g ln 1 e
基于ln, 平均总粒子数和内过 能求 通导而给出：
N ln,
E
e
g 1
小结和习题课
19
§7. 3 理想费米气体
原子中的原子核、金属中的电子等都可以看成理想费米气体， 它在天体物理也很重要。本节研究T→0K极限情况。
7.3.1 费米能 在连续近似下，平均每个量子态所占据的粒子数为
n( )
N ( ) g( )
1 e( )/ kBT
1
f ( )
右端称为费米函数，取值范围0 f ( ) 1, 是温度相关的化学势，
一、量子统计的出发点
设一个系统 i(i的 0,1,能 2, )， 级能 为 i上 级g有 i个 量子态N ， 个现 粒有 子按单 0,粒 1,2, 子 的能
一种{分 Ni}配 {N0,N1,N2, }
二、量子系统的微观态数 1）费米系统的微观态数
粒子不可分辨（编号），每一个量子态只能容纳一 个粒子。
3
6.02 10 23 107 10 -3 kg
mol 1 mol 1
5.9 10 28 m 3
费米能： F
(0)
h2 2m
3N
8V
2 / 3
5.6 eV
费米温度
TF
F
kB
5.6 eV 8.61 10 5 eV K 1
65000
K
25
三、为什么自由电子气对金属热容量无贡献
极低温（T TF），电子气体的热容利用T 0K的费米气体 热力学行为计算：
F 对金属热容贡献为：CV (kBT F )NkB 4103 R;
26
(2)在室温下，根据能分 量定 均理，三维自由和 电简 子谐晶格
(能量中有 6个平方项 )的热容分别3是R和3R,两者之和等9于R,
2
2
但是实验结果3R是;
(3)室温(T 300K)对自由电子可看 T 成0K，则室温下，电子
3
设粒子的波函数为 (r1,r2)，这里r1和r2分别是两个粒子的 位置。用P代表交换算符，其有下如功能：
P(r1,r2) (r2,r1), 再一次完成交换算符用作在两粒子波函数之，上有
P2(r1,r2) P(r2,r1) (r1,r2) 故算符满足P：2 1, P 1。
这表明交换两个粒子效的应是: 要么保持波函数不(变 对称波 函数，玻色子 )，要么波函数变一个号符(反对称波函数 ,费米子)。
泡利不相容原理： 对于玻色子，在一个量子态能有任何数目的粒子； 对于费米子，在一个量子态仅能有0个或1个粒子。
W. Pauli，1900-1958，获1945年诺贝尔物理学奖。
7
第七章：量子统计
一、 玻色子和费米子 二、量子分布律 三、理想费米气体 四、理想玻色气体
小结和习题课
8
§7. 2 费米-狄拉克分布和玻色-爱因斯坦分布
WBE{Ni}
i
(Ni gi 1)! Ni!(gi 1)!
例如：若某个能级 Ni上 3， ， gi7,则这个能级上的 是微观
WBE{Ni
3}(Ni (gi
gi 1)! 9! 84 1)!Ni! 6!3!
11
三、费米-狄拉克分布和玻色-爱因斯坦分布
考虑费米系统和玻统 色的 系微观状态W数 FD{Ni}和WBE{Ni} 的自然对数，在总数 粒和 子内能守恒的两束 个条 约件下，
WFD{Ni
3} (gi
gi! 7! 35 Ni)!Ni! 4!3!
10
2）玻色系统的微观态数 粒子不可分辨（编号），每一个量子态容纳的粒子数 不受限制。
1
2 34
5
67 8
9
最左边固定为1量 ，子 其态 余的量子态总 和数 粒是 子 (Ni gi 1)个，将它们排列 (Ni共 g有 i 1)！方式；然后 去除粒子之间、之 量间 子交 态换不引起态 新的 微结 观果
玻色子：自旋为整数的量子粒子，能够占据单粒子态而不受 泡利不相容原理限制。质量大、无相互作用、极低温情况。
29
只考虑玻色子的平动自，由粒子能量为 p2 ,在能量间隔
2m
d的单粒子态数为
g( )d
s
2V
2m h2
3/
2
1/
2d
s表示粒子的自旋简并。度
在低温下，大量粒子在是 0的基态上，但以上态度密
其微分 d势 SdTpdVNd,由它可以确定所 学有 量热 ；
(2)以上公式对理想 体费 和米 玻气 色气体都 差成 别立 在ln， 于
的形式不同。
15
7.2.2 量子F-D、B-E分布与经典M-B分布的比较
n ( j )
N
0 j
gj
1 e ( j ) / kBT
a
1，
a
1，
0
,
F D 统计 B E 统计 M B 统计
1 g()d
0
4V
2m h2
3/
2
(0) 1/2d
0
8V
3
2m h2
3/
2
(0)3/
2
解出费米能：
(0)
h2
3N
2/3
2m8V
22
费米温度
令(0) kBT，则定义费米温度：
TF
h2 2mkB
3N
8V
2/3
自由电子气的总能量
在T 0K时，自由电子气的总能量为
E0
(0)
但不是很大，称为 并弱 ；简
(3)简并温度T*：
h2
2mkB
n2/3(电子1： 03 ~104K)。
(V/N1)/3
18
classical gas, (V/N)1/3>>
quantum gas, (V/N)1/3~
第七章：量子统计
一、 玻色子和费米子 二、量子分布律 三、理想费米气体 四、理想玻色气体
气对金属热容无贡而 献在 ，极低温，原子金 实属 在晶格上被固
化，所以只有量子的 简自 并由电子对金属有 热贡 容献。
27
第七章：量子统计
一、 玻色子和费米子 二、量子分布律 三、理想费米气体 四、理想玻色气体
小结和习题课
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§7. 4 理想玻色气体
BEC: 在T=0K, 全部粒子都转换到仅与动量相关的 最低能级，这个发生在动量（速度）空间的现象称 为玻色-爱因斯坦凝聚。
由两个全同粒子组成的 求粒子遵从费米、玻色
体系，粒子可占据能级 和经典玻耳兹曼统计时
n n （ n 0,1,2）。 的配分函数和内能。
解：
Z
eEn n
n
式中， n是简并度，即系统取相 同能量的几种不同情况 。
(a )费米统计：
Z 1 2 e 2 e 2 e 3
E 1 Z e 2 4 e 3e 2 Z Z (b )玻色统计：
与经典玻耳兹曼统样 计的 一拉格朗日乘子求 法极 ，值。
Ni0
1 e(i )
1gi
(正号为费米系，负玻 号色 为系)
ni0
Ni0 gi
e(i
1
)
1gi
讨论：为了保证分布函数对任何能级恒正，对于
玻色系统，化学势应为负值（相当于该系统具有
吸引粒子的功能）；对于费米系统，化学势可正
可负。
12
【例7.1】
正比于1/2,给基态零权重。这是对不的！所以基态的粒数子
30
从总粒子数中挑出来， 用求和计算：
N
N0 N'
N0
s
2V
2m h2
3/
能量等于 费 F的 米等 能能面是称 一为 个费 球米 面21面 ，。
•费米能的确定
现考虑自旋为1/2的自由粒子，例如电子，简并度为2，
则在ε~ε+dε能隙的状态数等于
g( )d
2 h3
d
d
V
4 3
2m
3/
2
d
4V
2m h2
3/
2
1/
2d
粒子数守恒： f ()g()d N,有 0
N
(0)
Fermi level
24
二、自由电子气行为
一块金属的体积为 V，其内的电子数为 Ｎ ，在 Ｎ ,
且n N 常量的热力学极限下， 电子能谱连续， p 2
V
2m
金属银 (单价电子 )，原子量为 107 , 银的密度 10 .5 10 3 kg m 3.
N V
mN Vm
10
.5
10
3
kg
m
Z 3 2 e 3e 2 e 3 e 4
E 1 Z e 2 6 e 3e 2 4 e 3 Z Z (c )经典玻耳兹曼统计
13
7. 2. 1 量子热力学函数的统计表达式
理想费米和玻色气体统系在平衡态下，平均粒总子数为
N
N0
g e 1