积,商,幂的对数

课题：积、商、幂的对数

案例撰写：曹承安北京大峪中学

评析：高存明人民教育出版社

教材版本：人教版B教材必修1

【导语】

与以往相比，新课标更为强调对学生学习过程中认知规律的关注与研究。对“对数运算法则”的探究，

既因其与指数运算法则相关联而有其“容易”的一面，也因学生对“对数”概念理解不深而有其“困难”的一面，

曹老师在设计教学过程时，将学生课前初步探究、课上集中解决问题，课后回顾反思等环节整体考虑规划，

比较有效地提高了教学效率。如何在这样的整体构思中更为凸显数学学习中分析、解决问题的基本思想与

基本方法的作用，则是我们更为关注的问题。

【教学设计】

教材中教学内容的编写是单刀直入地直接提出问题，并给出法则的证明。我教的学生中，多数学生的学

习习惯、思维能力、自主学习的能力都存在一些问题。如果按照教材去教，学生会感觉难度大，只能被动

的接受，所以我编写本节教案时，通过创设问题情境，降低难度，由学生通过自主探索、经历观察、

归纳、猜想、证明得到法则，让学生体验从特殊到一般的研究问题的方法和策略，激发学生主动去解决问题，探究问题，

得出结论。在这个过程中，充分展示数学知识产生的思维过程，让学生均能自觉主动地参与进来。

学生的主体地位都得以充分体现，享受成功的喜悦和快乐。

根据学生实际能力，猜测两个正数积的对数的法则留为课前作业。给学生充足的时间去思考，希望同学们能尝

试着自我探索数学内容，初步体验一下探索的过程。

猜测出两个正数积的对数的法则后，法则的证明是一个难点，教学中要根据学生在课堂上的表现，给出有效的引导。

提出问题引导学生得出若干正数的积的对数的运算法则的特殊形式，再提出问题引导学生继续探究，得到正数幂的

对数运算法则。揭示法则间的内在联系。让学生体验了从一般到特殊，再从特殊到一般的思维方法。

直接提出正数商的对数等于什么？引导学生转化为积的对数，很自然的得到商的对数法则，培养学生的抽象

思维能力和化归思想。

本课中，使学生成为对数运算法则的“发现者”和“创造者”，切身感受了发现和创造的快乐，知识目标、能力目标

、情感目标均得到落实。通过这节课的教学，培养了学生思考、分析、研究问题的意识。培养学生观察的习惯。培养学生

从特殊到一般的归纳能力，提高观察、抽象的能力。学生围绕老师提出的一系列启发性的层层入深的问题，展开

探究，使问题得到解决，从而突出本节重点，突破本节难点。

【教学实录】

一、自主探究，寻找规律

师：同学们，我们上节课已经学习了对数概念和相关知识，请大家回答下列问题

（ppt）(1) ,

(2) 将化为指数式

（3）将化为对数式

生1：（１），

（２）将化为指数式为

（３）将化为对数式为

师：很好，现在请大家看昨天的课后补充作业

（ppt演示作业）计算下列各组中的a、b、c的值，观察每组中的a、b、c三数之间有什么关系？

每组中三个对数有什么关系? 每组中的三个对数的真数有什么关系？你能不能通过归纳，猜想出一般规律？

（１）

（２）

（３）

（４）

师：请同学们展示你们的发现。

（许多学生举手，选择一名数学基础比较好的学生的作业，用投影展示）

（1）ａ＝６，ｂ＝２，ｃ＝４。a、b、c三数之间的关系是ａ＝ｂ＋ｃ

三个对数的关系是

（２）ａ＝４，ｂ＝１，ｃ＝３。a、b、c三数之间的关系是ａ＝ｂ＋ｃ

三个对数的关系是

（３）ａ＝３，ｂ＝１，ｃ＝２。a、b、c三数之间的关系是ａ＝ｂ＋ｃ三个对数的关系是

（４）ａ＝５，ｂ＝２，ｃ＝３。a、b、c三数之间的关系是ａ＝ｂ＋ｃ三个对数的关系是lg100000 = lg100 + lg1000 猜想：

（作业刚打出数秒，一名学生主动站起来补充）

生2：对数有意义，Ｍ＞０，Ｎ＞０，a＞0，且ａ≠１

二、概念形成，逐步深化

师：非常好，这两名同学通过特例得到了一般结论。

（板书）（Ｍ＞０，Ｎ＞０，ａ＞０，且ａ≠１）

师：这个结论一定正确吗？

生：(许多学生回答)不一定。

师：你认为这个结论不正确，应能举出反例；你认为这个结论正确，你应给出证明。

大家勇敢地尝试一下。

（学生这时的积极性很高，马上开始证明。不一会儿，学生开始小声探讨，还有几名学生面露疑惑，发现多数学生证明没有思路。）

师：（引导提示）大家用对数定义，将对数式转化为指数式试一试。

（学生经过思考后，再找学生说出证明的基本思路，即对数问题先化成指数问题。多数学生给出证明后，用投影展示学生中证明过程写得比较好的）

（投影）证明：设，

师：这个公式就是两个正数积的对数运算法则，两个正数的积的对数等于同一底数的这两个正数的对数的和．

师：若三个正数Ｍ、Ｎ、Ｐ的积的对数等于什么？（板书）

生3：

师：你的根据是什么？

生3：因为，

（板书）（Ｍ＞０、Ｎ＞０、Ｐ＞０）

师：这名同学说得很好，这个公式就是三个正数积的运算法则，你们还能得出更一般的结论吗？

（片刻思考后）

生4：

（＞０，＞０，．．．，＞０）

（板书）

（＞０，＞０，．．．，＞０）

师：我们从两个正数的积的对数的运算法则推广到更一般的运算法则。可

叙述为正因数的积的对数等于同一底数的这各因数的对数的和．若这n个正数都相等，你又能得到什么结论吗？

生5：可它们都等于就能得到（＞０）

师：很好，我们由一般结论，得到了它的特殊情形，一个新的性质。在这个新的性质中

的幂的指数ｎ为正整数。我们大家知道（ａ＞０）时，的取值范围为全体实数。若将上式

中的正整数ｎ的范围扩大到全体实数，（板书）（＞０，α∈Ｒ），这个法则还一定成立吗？

生：（集体回答）不一定。

师：你能证明吗？

（话音未落，几名学生就举手要发言）

生6：证明：设，