函数的零点PPT

[反思感悟]在解答有关函数零点的综合问题时,常利用方程思 想或利用函数构造法,并结合数形结合的思想来解决此类 问题.
错源一
函数零点定理使用不当致误
【典例1】函数f(x)=mx2-2x+1有且仅有一个正实数的零点, 则实数m的取值范围是()
A.(-∞,1]
B.(-∞,0]∪{1}
C.(-∞,0)∪{1}
∵f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2. ∴其对称轴x=e,f(x)max=m-1+e2. 若函数f(x)与g(x)的图象有两个交点. 必须有m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1. 即g(x)-f(x)=0有两个相异实根. ∴m的取值范围是(-e2+2e+1,+∞).
解题准备:1.用二分法求函数的零点时,最好是利用表格,将计 算过程所得到各个区间､中点坐标､区间中点的函数值等置 于表格中,可清楚地表示出逐步缩小零点所在区间的过程, 有时也可利用数轴来表示这一过程;
2.在确定方程近似解所在的区间时,转化为求方程对应函数的 零点所在的区间,找出的区间[a,b]长度尽可能小,且满足 f(a)•f(b)<0.
2x)
f f
(2 (7
x)
x)
f
f
(x) (x)
f f
(4 x) (14 x)
f 4 x f 14 x f x f x 10,
从而知函数y f x的周期为T 10.
又f 3 f 1 0,
所以f 11 f 13 f 7 f 9 0,
[正解]函数f(x)有3个不同的零点,即其图象与x轴有3个不同 的交点,因此只需f(x)的极大值与极小值异号即可.
f′(x)=3x2-3,令3x2-3=0,则x=±1, 故极值为f(-1)和f(1),f(-1)=a+2,f(1)=a-2, 所以应有(a+2)(a-2)<0,故a∈(-2,2),选A. [答案]A
答案:C
类型一
函数零点存在性的判断与方法
解题准备:函数零点个数的判定有下列几种方法:
(1)直接求零点:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个 零点.
(2)零点存在性定理:利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连 续的曲线,且f(a)•f(b)<0,还必须结合函数的图象和性质(如 单调性)才能确定函数有多少个零点.
x
在1,1
上有唯一实根.故选C.
【典例3】已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,
g(x)=x+
e2
x
(x>0).
(1)若g(x)=m有零点,求m的取值范围;
(2)确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.
[分析](1)g(x)=m有零点,可以分离参数转化为求函数最值.(2) 利用图象求解.
[解]1Q g x x e2 ≥2 e2 2e,
故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有两根,从而可知y=f(x)在 [0,2000]上有400个根,在[2000,2005]上有两根,在[-2000,0] 上有400个根,在[-2005,-2000]上没有根,所以函数y=f(x)在 [-2005,2005]上有802个根.
二､利用函数零点性质
【典例2】设函数f x x3 bx c是1,1上的增函数,
且f
1 2
gf
1 2
0, 则方程f
x
0在1,1内（
）
A.可能有3个实根
B.可能有2个实根
C.有唯一的实根
D.没有实根
[解析]因为f x在1,1上是增函数,
且f
1 2
gf
1 2
0,
所以f
x
在
1 2
,
1 2
有唯一实根,
所以f
b);否则重复2)~4).
1.(2010·天津)函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是
(
)
A.(-2,-1)
B.(-1,0)
C.(0,1)
D.(1,2)
解析:由于f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,根据函数的零点存在性定理, 知函数f(x)的零点在区间(0,1)内,选C.
答案:C
2.(2010·江苏盐城)方程log4x+x=7的解所在区间是
1 -x在(0,1)内的图象与x轴没有交 x
-x在区间(0,1)上不存在零点.
[反思感悟]判断函数在某个区间上是否存在零点,要根据具体 题目灵活处理.当能直接求出零点时,就直接求出进行判断; 当不能直接求出时,可根据零点存在性定理;当用零点存在 性定理也无法判断时可画出图象判断.
类型二
二分法求方程的近似解
明你的结论.
[解题切入点]对于(1)可用特殊化策略求解,对于(2)可据条件 首先求出函数的周期,利用其周期适当分段结合题设条件 确定.
[解]1在f 2 x f x 2中,令x 3,
得f 1 f 5,又在0,7上只有f 1 f 3 0,
f 5 0,f 1 0, 所以f 1 f 1,且f 1 f 1 ,故f x为非奇非偶函数
(3)∵f(1)=log2(1+2)-1>log22-1=0, f(3)=log2(3+2)-3<log28-3=0, ∴f(1)·f(3)<0, 故f(x)=log2(x+2)-x在区间[1,3]上存在零点.
(4)画出f(x)= 1 -x的图象如图所示. x
由图象可知,f(x)=
1 点,故f(x)= x
类型三
函数零点的应用
解题准备:由于函数的零点与函数的图象以及相应方程的根 都有密切的关系,因此我们通过研究函数的零点问题,可讨 论方程根的分布问题,解不等式,也可以作出相应的函数的 图象,讨论函数的性质.我们在解决有关问题时,一定要充分 利用这三者的关系,观察､分析函数的图象,找函数的零点, 判断各区间上函数值的符号,使问题得以解决.
2.二分法
(1)对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x), 通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间 的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫 做二分法.
(2)给定精确度ε,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:
1)确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε.
x
A.1, 2
B. 2, 3
C.1,
1 e
和3,
4
D.e,
解析:因为f(1)=-2<0,f(2)=ln2-1<0,所以在(1,2)内f(x)无零点,A 错误;又f(3)=ln3- 2 0,所以f(2)·f(3)<0,所以f(x)在(2,3)内
3
至少有一个零点.
答案:B
4.若函数f(x)=x2+2x+a没有零点,则实数a的取值范围是()
x
当且仅当x e2 取等号.当x e时, g x有最小值2e.
x
因此g x m有零点,只需m 2e.
当m 2e, 时, g x m有零点.
2若g x f x 0有两个相异实根. 则函数g x与f x的图象有两个不同的交点 如图所示,作出函数g x x e2 x 0的大致图象.
x
(
)
A.(1,2)
B.(3,4)
C.(5,6)
D.(6,7)
解析:构造函数F(x)=log4x+x-7,F(5)=log45-2<0,F(6)=log461>0,F(x)在(5,6)内有零点,即log4x+x=7在(5,6)内有解,故选C.
答案:C
3.函数f x lnx 2 零点所在区间大致是（ ）
[解]∵f(1)=-6<0,f(2)=4>0, ∴存在x∈(1,2),使f(x)=0. 用二分法逐次计算,列表如下:
∵最后一个区间端点精确到0.1的近似值都是1.7, ∴所求的正数零点是1.7.
[反思感悟]用二分法求函数零点的近似值,首先要选好计算的 初始区间,这个区间既要包含所求的根,又要使其长度尽量 小;其次要依据给定的精确度,及时检验所得区间的端点的 近似值(精确到给定的精确度)是否相等,以决定是停止计算 还是继续计算.
2)求区间(a,b)的中点x1. 3)计算f(x1), a.若f(x1)=0,则x1就是函数的零点; b.若f(a)f(x1)<0,则令b=x1,(此时零点x0∈(a,x1)); c.若f(x1)f(b)<0,则令a=x1,(此时零点x0∈(x1,b)). 4)判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或
[答案]B
[评析]函数的零点定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,并且
有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也是方程f(x)=0的根,我们称这 个结论为函数的零点定理.函数的零点有“变号零点”和 “不变号零点”,如本题中的x=1就是函数的“不变号零 点”,对于“不变号零点”,函数的零点定理是“无能为力” 的,在解决函数的零点问题时要注意这个问题.
函数与方程
1.函数的零点 (1)对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的
零点. (2)方程f(x)=0有解⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数
y=f(x)有零点. (3)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲
线,并且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零 点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的 根.
(4)f(x)= 1 -x,x∈(0,1). x
[解](1)∵f(1)=-20<0,f(8)=22>0, ∴f(1)·f(8)<0, 故f(x)=x2-3x-18在区间[1,8]上存在零点. (2)∵f(-1)=-1<0,f(2)=5>0, ∴f(-1)·f(2)<0, ∴f(x)=x3-x-1在区间[-1,2]上存在零点.
D.(-∞,1)
[剖析]解本题易出现的错误是分类讨论片面､函数零点定理使 用不当.如忽视了对m=0的讨论,这样就会出现误选C的错 误.
[正解]当m=0时,x=为函数的零点;当m≠0时,若Δ=0,即m=1 时,x=1是函数唯一的零点,若Δ≠0,显然x=0不是函数的零点, 这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程f(x)=mx22x+1=0有一个正根一个负根,即mf(0)<0,即m<0.故选B.
错源二
“极值点”与“零点”关联不清
【典例2】若函数f(x)=x3-3x+a有3个不同的零点,则实数a的 取值范围是()
A.(-2,2)
B.[-2,2]
C.(-∞,-1)
D.(1,+∞)
[错解]由题意知方程x3-3x+a=0有3个根,
∴a的取值范围为(1,+∞),故选D.
[剖析]本题的错误在于不能将函数零点问题与导数的应用联 系起来求解,不能从极值的角度分析函数的图象,因此找不 到解题的突破口.
(3)画两个函数图象,看其交点的个数有几个,其中交点的横坐 标有几个不同的值,就有几个不同的零点.
【典例1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点.
(1)f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8];
(2)f(x)=x3-x-1,x∈[-1,2];
(3)f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3];
技法 确定方程根的个数的三种方法 一､利用函数的周期性 【典例1】设函数f(x)在(-∞,+∞)上满足f(2-x)=f(x+2),f(7-
x)=f(7+x),且在闭区间[0,7]上只有f(1)=f(3)=0, (1)试判断函数y=f(x)的奇偶性; (2)试求方程f(x)=0在闭区间[-2005,2005]上的根的个数,并证
【典例2】求函数f(x)=x3+2x2-3x-6的一个为正数的零点(误 差不超过0.1).
[分析]由于要求的是函数的一个正数零点,因此可以考虑确定 一个包含正数的闭区间[m,n],且f(m)·f(n)<0,如计算出 f(0)=-6<0,f(1)=-6<0,f(2)=4>0,所以可取区间[1,2]作为计算 的初始区间(当然选取(0,2)也是可以的).
A.a<1
B.a>1
C.a≤1
D.a≥1
解析:由方程x2+2x+a=0的判别式小于0可得a>1.
答案:B
5.三次方程x3+x2-2x-1=0在下列哪些连续整数之间没有根
(
)
A.-2与-1之间 B.-1与0之间
C.0与1之间 D.1与2之间
解析:∵f(-2)·f(-1)<0,f(-1)·f(0)<0,f(1)·f(2)<0,∴f(x)在(-2,1),(-1,0),(1,2)内均有根.故只有C选项符合题意.