高中数学映射与函数

第二章 函 数
§2.1 映射与函数
基础知识 自主学习
要点梳理
1.映射 （1）定义：设A，B是两个集合，如果按照某种对
应关系f，对于集合A中的 任何一个元素 ，在集合 B中都有 唯一 的元素和它对应，那么，这样的对 应（包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关 系f）叫做 集合A到集合B 的映射，记作f：A→B.
∴设f(x)=ax2+bx+c (a≠0)，且f(x)=0的两根为x1,x2.
由f(x-2)=f（-x-2），得4a-b=0.
①
又 |x1x2|b2 |a |4 a c22, b24 a c8 a2. ②
由已知得c=1.
③
由①、②、③式解得b=2,a= 1 ,c=1, 2
∴f（x）= 1 x2+2x+1. 2
.
解析 ∵y=3x+5,
xy 5 ,对 x 、换 y 得 yx 5 .
3
3
又0≤x≤1,∴5≤y≤8,
∴f(x)的反函数为 f1(x)x5,5x8. 3
5.已知f（ 1 x
）=x2+5x,则f(x)=
15x x2
(x

0)
.
解析 x 0,令 1 t,即x 1(t 0),
探究提高 求函数解析式的常用方法有：(1)代入 法，用g(x)代入f(x)中的x,即得到f［g(x)］的解析 式；(2)拼凑法，对f［g(x)］的解析式进行拼凑变 形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边的所有 “g(x)”即可；(3)换元法，设t=g(x),解出x,代入 f［g(x)］，得f(t)的解析式即可；(4)待定系数法， 若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根 据特殊值，确定相关的系数即可；(5)赋值法，给变 量赋予某些特殊值，从而求出其解析式.
（2）函数的三要素 定义域 、 值域 和 对应法则 .
（3）函数的表示法 表示函数的常用方法：解析法、列表法 、 图象法 .
3.反函数 （1）定义
函数y=f(x)（x∈A）中，设它的值域为C，根据这 个函数中x，y的关系，用y把x表示出来，得到x= φ(y).如果对于y在C中的 任何一个值，通过x= φ(y)，x在A中都有 唯一的值 和它对应，那么, x=φ (y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这
x
t
f (t) (1)2 5·1 1 5t (t 0),
t
t t2
故f
(
x)

1 5x x2
(x

0).
题型分类 深度剖析
题型一 求函数的解析式
【例1】 （1）设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)，
且图象在y轴上的截距为1，被x轴截得的线段长为
2 2 ，求f(x)的解析式； （2）已知 f( x1)x2x,求 f(x);
1.设集合M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，那么下面
的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的
有
（D ）
A.①②③④
B.①②③
C.②③
D.②
解析 由映射的定义，要求函数在定义域上都有图
象，并且一个x对应着一个y，据此排除①④，选C.
2.给出四个命题：
①函数是其定义域到值域的映射；
（3）已知f(x)满足2f(x)+ f ( 1 ) =3x,求f(x). x
思维启迪 问题（1）由题设f（x）为二次函数，
故可先设出f（x）的表达式，用待定系数法求解；
问题（2）已知条件是一复合函数的解析式，因此
可用换元法；问题（3）已知条件中含x，1 ，可用
解方程组法求解.
x
解 （1）∵f（x）为二次函数，
(3)把题目中的 x换成 1 , 得 2 f ( 1 ) f ( x ) 3 ,
x
x
x
联立方程

2
f (x)
f (1) x
3x

①

2
f (1) x
f
(x)
3 x
②
① 2 ②得3 f (x) 6x 3 , x
所以 f ( x ) 2 x 1 ( x 0). x
(2)方法一 设 x 1 t(t 1), 则 x t 1. 代入 f ( x 1) x 2 x , 得f (t) t 2 1(t 1), f (x) x2 1(x 1). 方法二 f ( x 1) x 2 x ( x )2 2 x 1 1 ( x 1)2 1,且 x 1 1, f (x) x2 1(x 1).
解析
y|
x| x
1,1x,x0,0,排除A；
y| x1|1xx1,,xx11,, 排除B；
当
x

x
0, 1
0,
即x≥1时,y=|x|+|x-1|=2x-1,排除C.
故选D.
答案 D
4.函数f(x)=3x+5,x∈［0,1］的反函数f-1(x)=
x5,x[5,8] 3
点，∴③不正确.
又∵f（x）与g（x）的定义域不同，∴④也不正确.
3.下列各组函数是同一函数的是
（）
A .y | x |与 y 1 x
B
.y
|
x

1ห้องสมุดไป่ตู้
|与
y

x 1, 1 x ,
x x

1 1
C .y | x | | x 1|与 y 2x 1
D .y x3 x 与 y x x2 1
（2）象和原象：给定一个集合A到集合B的映射， 且a∈A，b∈B，如果元素a和元素b对应，那么， 我们把元素b叫做元素a的 象 ，元素a叫做元素 b的 原象 .
2.函数 （1）函数的定义
设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关 系f，使对于集合A中的 任意一个数x ，在集合B中 都有 唯一确定的数f(x)和它对应 ，称f：A→B为 从集合A到集合B的一个函数.记作y=f(x),x∈A.x 的取值范围A叫做函数的 定义域 ， 函数值的集合 {f(x)|x∈A} 叫做函数的值域.
②f（x）= x3 2x 是函数；
③函数y=2x（x∈N）的图象是一条直线；
④f（x）= x 2 与g(x)=x是同一个函数.
x
其中正确的有
（A）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析 由函数的定义知①正确.
∵满足f（x）= x3 2x的x不存在，∴②不正确. 又∵y=2x（x∈N)的图象是一条直线上的一群孤立的
样的函数x=φ (y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的 反 函数 ，记作 x=f -1(y) ，习惯上用x表示自变量，用 y表示函数，把它改写成 y=f -1(x) . （2）互为反函数的函数图象的关系 函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于 直线 y=x 对称.
基础自测