E-凸区间值函数及其在优化问题中应用
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弱 、强 对偶定 理 。
本 文将讨 论 Ｅ一凸区 间值 函数 的某 些 性质及 其 在 优化 中 的应 用．全文 分 四个 部 分 ， 一 和 第 二 部 第 分介 绍 一些预 备 知识 ， 出一 些 符 号 和 相 关 定 义 。第 三 部 分 给 出 Ｅ 一凸 区间 值 函数 的 概 念 和相 关 性 给
质 ， 四部 分讨论 Ｅ一凸 区间值 函数． 在 优化 中应 用 。 第
１ 预 备 知 识
在 本文 中 口“ 表示 维欧 几里 德空 间 ， 表 示 口上所 有 闭区 间组成 的集 族 ， ’ “ ’和 “＜’ ’为 的
序关 系． 首先 我们 回顾 一些 文献 ［ ］ 中的相关 概念 和 结论 。 １
０ 引言
线性 凸性 是优 化理 论 中最 常用 的假设 之一 ，而线 性 凸性 本 身是 非 常 强 的条 件 ， 际 问题 中完 全满 实 足线性 凸性 的 目标 函数 和约 束条件 并 不 多见 ．为 了减 弱 凸性 要求 ， 人们 提 出 了各 种 各样 的广 义 凸性概
念 ， 如 ，１９ 譬 ９ ９年 由 Ｙ ｕ ｅｓ 出 了 一凸集概 念 ， 在 Ｅ一凸集 上讨 论 了 Ｅ一凸实 值 函数 ．此 后 一 ｏ ｎ ｓ¨ 提 并 凸 函数 得 到 了众 多 学者 的关 注．２ ０ 年 Ｙ ｎ ｌ 讨论 了 Ｅ一凸集 ， ０１ ａ ｇ２ Ｅ一凸 函数 及 一凸优 化 问题 ； ０ ５年 ２０
收稿 日期 ：２ １ ０ ００— ６—１． ０
’
基金项 目：北京市教委科技创新 平台基金 资助项 目 （ ｏ ０ ０ ０ ４ ２ ０ ． Ｎ ：０ ６ ０ ５ Ｋ ０６） 作者简介 ：蔡章华 （ ９ ７一） １６ ，男 ，北 京工业 大学硕 士研究 生，从事非线性泛 函分析研究工作
渤海 大 学学报 （自然科 学版 ）
Ｆｘ （ ）＝【 （ ， （ 】， 中 ： （ 、 （ 均是 定义 在 上 的实值 函数 ， ） ） 其 ） ） 且 （ ≤Ｆ （ 。 ） ）
定 义 Ｉ】 ［ 设 为 口 中非空 子集 ， ， 区间值 函数 ， Ｆ在 点 ∈ 是 凸的 当且 仅 当 Ｆ（ｘ Ｆ： 为 称 Ａ’ ＋（ Ａ） Ａ （ ） （ 一 对 Ｖ １一 ） Ｆ ① １ Ａ） ｘＥＸ及 Ａ∈［ ，］ 立．若 Ｆ在 上 每一点 是 凸的 ， 称 Ｆ在 ０１成 则
上 是 凸的 。
在文 献 ［ ］ Ｙ ｕｅｓ １ 中 ｏｎｓ 引人 了 Ｅ一凸集 和 Ｅ一凸函数 的概念 。 定 义 ２ 设 Ｍ Ｃ 口 若存 在 映射 Ｅ： 一 口“ ［ ＿ ， 口“ 使得 Ｖ Ｙ∈Ｍ 及 ０ ， ≤Ａ≤１有 Ａ （ ） １ Ａ Ｅ ｙ ， Ｅ ｘ ＋（ 一 ） （）
的关 注 ．１７ ９ ３年 Ｓｙｔ 和 Ｔ ｕｎｅ 提 出 了 不 确 定 线 性 规 划 问题 ，并 研 究 了该 问 题 的对 偶 理 论 ． ｏｓ ｒ ｅ ｈ ｅｔ
１７ 年 Ｐｍ ｒ 丰富 了 Ｓｙ ｅ 在相关文献 中的结果．近年来 ，对 于区间值优化问题 的研究 十分活 ９９ ｏｅｌ ｏ ｏｓ ｒ ｔ 跃 ．２０ ０７年 ，ｗｕ 在讨论 区 间值优 化 问题 中引 入 了 Ｋ Ｔ优化 条件 ，建 立 了以下 强对 偶定 理 ． ０ ９年 Ｋ ２０ ｗｕ在文 献 中 ， 用 区 间值 拉格 朗 日函数 讨 论 了 区间 优化 问 题 的对 偶 理论 ；并 分别 建立 了该 问题 的 应
第３ ｌ卷
设 ，、 ，记 Ａ＝［ ｎ 】 ａ 和 ａ Ａ ＢＥ ， 口 ， ，（ ‘ 分别 是 Ａ的上 、 下确 界 ） 类 似 的 Ｂ＝［ ｂ】 定 义 ， ｂ，ｖ ，
（ ） Ｂ 口 ≤ｂ ， ≤６． １Ａ 甘 ａ “
（） ２ Ａ＜曰 ≤ Ａ≠Ｂ ， ． （ ） ①Ｂ＝｛ ３Ａ 口＋ｂｎ∈Ａ ６∈ ， Ａ＝＜一 ： Ａ） ： Ｂ） 一 ａ ａ∈ 。
若 干刻 划定理 ，最后讨 论 它 在 优 化 问 题 中的 应用 ，给 出 区 间值 优 化 问题 的最 优解 的一 些 性 关键 词 ：Ｅ一凸集 ；Ｅ一凸区 间值 函数 ；区间值 优化 问题
中 图分类 号 ： ２ ４ ０ ２ 文 献标 识码 ：Ａ 文章编 号 ：６ ３—０ ６ （０ ０ ０ ０ ４ ０ １７ ５ ９ ２ １ ） ３— ２ ５— ５
ｃ Ｓ ｐ． ２０１ ０
一
凸区问值 函数 及其在优 化 问题 中应用
蔡章 华 ，范晓冬 ２
（ ．北京工业大学 应用数理学院 ，北京 １０ ２ １ ０ １４；２ ．渤海大学 数学系 ，辽宁 锦州 １ １ １ ） ２ ０ ３
摘Leabharlann Baidu
质。
要 ：首 先 引入新 的 Ｅ一凸区 间值 函数 的概 念 ，讨 论 它 的一 些 性质 ，得 到 这类 函数 的
ｃＡｋ∈＝ａｖ 三 ４ ＝： ，Ｉ， ｛口 ｛Ｌ ∈。 ｋ ａ Ａ ｋ ｋａ ｃ口
注 实数 ａ也视 为一 个闭 区间 ， 为 【 ，】 记 ａ ａ 。为 方便起 见直 接用 ａ表 示 。
设 为 中 口 中非 空子集 ， 映射 Ｆ： ， 称 为定 义在 到 ， 的区 间值 函数 ， 就是 说对 Ｖ 上 也 ∈Ｘ，
第３ １卷 第 ３期
２ １ 年 ９ 月 ００
渤 海 大 学 学报 （ 自然 科 学版 ）
Ｊｕｎｌ ｆ ｏ ａ Ｕ ｉ ｒｉ （ ａｕａ Ｓ ｉ ｃ ｄｔｎ ｏｒａ ｏ ｈｉ ｎ ｅｓｙ Ｎ ｔｒ ｃｅ ｅＥ ｉｏ ） Ｂ ｖ ｔ ｌ ｎ ｉ
Ｖｏ． ３ Ｎ ． ３ １ １ ｏ
Ｓａ ｙｕ和 Ｌｅ 进 一步 讨论 了 Ｅ一凸 函数 的一些 性 质 ； ０ ９年 Ｆ ｌａ Ｐｅａ４在 Ｅ一凸集 上讨 论 了 Ｅ— ｅ ２０ ｕｇ 和 ｒｄ【 ｐｅ ｖｘ函数 及其 在优 化 中应用 。 ｒｉ ｅ ｎ
由于现 实生 活 中存 在着 诸多 不确 定 因素 ， 确定 优化 理论 有着 广 泛 的应 用 背景 ，并 得 到 众多 学者 不
本 文将讨 论 Ｅ一凸区 间值 函数 的某 些 性质及 其 在 优化 中 的应 用．全文 分 四个 部 分 ， 一 和 第 二 部 第 分介 绍 一些预 备 知识 ， 出一 些 符 号 和 相 关 定 义 。第 三 部 分 给 出 Ｅ 一凸 区间 值 函数 的 概 念 和相 关 性 给
质 ， 四部 分讨论 Ｅ一凸 区间值 函数． 在 优化 中应 用 。 第
１ 预 备 知 识
在 本文 中 口“ 表示 维欧 几里 德空 间 ， 表 示 口上所 有 闭区 间组成 的集 族 ， ’ “ ’和 “＜’ ’为 的
序关 系． 首先 我们 回顾 一些 文献 ［ ］ 中的相关 概念 和 结论 。 １
０ 引言
线性 凸性 是优 化理 论 中最 常用 的假设 之一 ，而线 性 凸性 本 身是 非 常 强 的条 件 ， 际 问题 中完 全满 实 足线性 凸性 的 目标 函数 和约 束条件 并 不 多见 ．为 了减 弱 凸性 要求 ， 人们 提 出 了各 种 各样 的广 义 凸性概
念 ， 如 ，１９ 譬 ９ ９年 由 Ｙ ｕ ｅｓ 出 了 一凸集概 念 ， 在 Ｅ一凸集 上讨 论 了 Ｅ一凸实 值 函数 ．此 后 一 ｏ ｎ ｓ¨ 提 并 凸 函数 得 到 了众 多 学者 的关 注．２ ０ 年 Ｙ ｎ ｌ 讨论 了 Ｅ一凸集 ， ０１ ａ ｇ２ Ｅ一凸 函数 及 一凸优 化 问题 ； ０ ５年 ２０
收稿 日期 ：２ １ ０ ００— ６—１． ０
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基金项 目：北京市教委科技创新 平台基金 资助项 目 （ ｏ ０ ０ ０ ４ ２ ０ ． Ｎ ：０ ６ ０ ５ Ｋ ０６） 作者简介 ：蔡章华 （ ９ ７一） １６ ，男 ，北 京工业 大学硕 士研究 生，从事非线性泛 函分析研究工作
渤海 大 学学报 （自然科 学版 ）
Ｆｘ （ ）＝【 （ ， （ 】， 中 ： （ 、 （ 均是 定义 在 上 的实值 函数 ， ） ） 其 ） ） 且 （ ≤Ｆ （ 。 ） ）
定 义 Ｉ】 ［ 设 为 口 中非空 子集 ， ， 区间值 函数 ， Ｆ在 点 ∈ 是 凸的 当且 仅 当 Ｆ（ｘ Ｆ： 为 称 Ａ’ ＋（ Ａ） Ａ （ ） （ 一 对 Ｖ １一 ） Ｆ ① １ Ａ） ｘＥＸ及 Ａ∈［ ，］ 立．若 Ｆ在 上 每一点 是 凸的 ， 称 Ｆ在 ０１成 则
上 是 凸的 。
在文 献 ［ ］ Ｙ ｕｅｓ １ 中 ｏｎｓ 引人 了 Ｅ一凸集 和 Ｅ一凸函数 的概念 。 定 义 ２ 设 Ｍ Ｃ 口 若存 在 映射 Ｅ： 一 口“ ［ ＿ ， 口“ 使得 Ｖ Ｙ∈Ｍ 及 ０ ， ≤Ａ≤１有 Ａ （ ） １ Ａ Ｅ ｙ ， Ｅ ｘ ＋（ 一 ） （）
的关 注 ．１７ ９ ３年 Ｓｙｔ 和 Ｔ ｕｎｅ 提 出 了 不 确 定 线 性 规 划 问题 ，并 研 究 了该 问 题 的对 偶 理 论 ． ｏｓ ｒ ｅ ｈ ｅｔ
１７ 年 Ｐｍ ｒ 丰富 了 Ｓｙ ｅ 在相关文献 中的结果．近年来 ，对 于区间值优化问题 的研究 十分活 ９９ ｏｅｌ ｏ ｏｓ ｒ ｔ 跃 ．２０ ０７年 ，ｗｕ 在讨论 区 间值优 化 问题 中引 入 了 Ｋ Ｔ优化 条件 ，建 立 了以下 强对 偶定 理 ． ０ ９年 Ｋ ２０ ｗｕ在文 献 中 ， 用 区 间值 拉格 朗 日函数 讨 论 了 区间 优化 问 题 的对 偶 理论 ；并 分别 建立 了该 问题 的 应
第３ ｌ卷
设 ，、 ，记 Ａ＝［ ｎ 】 ａ 和 ａ Ａ ＢＥ ， 口 ， ，（ ‘ 分别 是 Ａ的上 、 下确 界 ） 类 似 的 Ｂ＝［ ｂ】 定 义 ， ｂ，ｖ ，
（ ） Ｂ 口 ≤ｂ ， ≤６． １Ａ 甘 ａ “
（） ２ Ａ＜曰 ≤ Ａ≠Ｂ ， ． （ ） ①Ｂ＝｛ ３Ａ 口＋ｂｎ∈Ａ ６∈ ， Ａ＝＜一 ： Ａ） ： Ｂ） 一 ａ ａ∈ 。
若 干刻 划定理 ，最后讨 论 它 在 优 化 问 题 中的 应用 ，给 出 区 间值 优 化 问题 的最 优解 的一 些 性 关键 词 ：Ｅ一凸集 ；Ｅ一凸区 间值 函数 ；区间值 优化 问题
中 图分类 号 ： ２ ４ ０ ２ 文 献标 识码 ：Ａ 文章编 号 ：６ ３—０ ６ （０ ０ ０ ０ ４ ０ １７ ５ ９ ２ １ ） ３— ２ ５— ５
ｃ Ｓ ｐ． ２０１ ０
一
凸区问值 函数 及其在优 化 问题 中应用
蔡章 华 ，范晓冬 ２
（ ．北京工业大学 应用数理学院 ，北京 １０ ２ １ ０ １４；２ ．渤海大学 数学系 ，辽宁 锦州 １ １ １ ） ２ ０ ３
摘Leabharlann Baidu
质。
要 ：首 先 引入新 的 Ｅ一凸区 间值 函数 的概 念 ，讨 论 它 的一 些 性质 ，得 到 这类 函数 的
ｃＡｋ∈＝ａｖ 三 ４ ＝： ，Ｉ， ｛口 ｛Ｌ ∈。 ｋ ａ Ａ ｋ ｋａ ｃ口
注 实数 ａ也视 为一 个闭 区间 ， 为 【 ，】 记 ａ ａ 。为 方便起 见直 接用 ａ表 示 。
设 为 中 口 中非 空子集 ， 映射 Ｆ： ， 称 为定 义在 到 ， 的区 间值 函数 ， 就是 说对 Ｖ 上 也 ∈Ｘ，
第３ １卷 第 ３期
２ １ 年 ９ 月 ００
渤 海 大 学 学报 （ 自然 科 学版 ）
Ｊｕｎｌ ｆ ｏ ａ Ｕ ｉ ｒｉ （ ａｕａ Ｓ ｉ ｃ ｄｔｎ ｏｒａ ｏ ｈｉ ｎ ｅｓｙ Ｎ ｔｒ ｃｅ ｅＥ ｉｏ ） Ｂ ｖ ｔ ｌ ｎ ｉ
Ｖｏ． ３ Ｎ ． ３ １ １ ｏ
Ｓａ ｙｕ和 Ｌｅ 进 一步 讨论 了 Ｅ一凸 函数 的一些 性 质 ； ０ ９年 Ｆ ｌａ Ｐｅａ４在 Ｅ一凸集 上讨 论 了 Ｅ— ｅ ２０ ｕｇ 和 ｒｄ【 ｐｅ ｖｘ函数 及其 在优 化 中应用 。 ｒｉ ｅ ｎ
由于现 实生 活 中存 在着 诸多 不确 定 因素 ， 确定 优化 理论 有着 广 泛 的应 用 背景 ，并 得 到 众多 学者 不