《反证法》ppt课件

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(1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立; (2)从这个
假设出发 ,经过推理论证,得出 矛盾 ;
(3)从矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.
问题3 反证法得出的矛盾的主要类型
(1)与已知条件矛盾, (2)与已有公理、定理、定义矛盾, (3)自相矛盾.
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p≠q,所以 + >2,与②相矛盾. 故数列{cn}不是等比数列.
用反证法证明唯一性命题 求证:方程5x=12的解是唯一的.
因为5 =12,则 ������ 1 =1,即5 ������2 -������1 =1.① 5 【解析】由对数的定义易得 x1=log512 是这个方程的一 由假设得 x2-x1≠0, 个解. ������ 2 -������ 1 当 x假设这个方程的解不是唯一的 >1;② 2 -x 1 >0 时, 有5 ,它还有解 x=x2(x1≠x2), 则5������2 =12. 当 x2-x1<0 时,有5 ������2 -������1 <1.③ 显然②③与①都矛盾,这说明假设不成立,所以原方程的解是唯一的.
������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������
2
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当 p,q 异号时,
������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������
+ <0,与②相矛盾;当 p,q 同号时,由于
第4课时
反证法
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1.理解反证法的概念.
2.了解反证法的思考过程与特点,掌握反证法证明问题
的步骤. 3.理解反证法与命题的否定之间的关系.
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生活中的反证法:妈妈常常因家里谁做错了事而大发
雷霆.有一次,我和爸爸在看电视,妹妹和妈妈在厨房洗碗. 突然,有盘子打碎了,当时一片寂静.我说一定是妈妈打破 的.为什么呢?
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1
又(1-a)a≤(
明:数列{cn}不是等比数列.
【解析】假设数列{cn}是等比数列,则(an+bn) =(an-1+bn-1)(an+1+bn+1),① 因为{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列,设公比分别为 p,q,所以 2 2 ������������ =an-1an+1,������������ =bn-1bn+1, 代入①并整理得:2anbn=an+1bn-1+an-1bn+1=anbn( + ),即 2= + ,②
������ -2
.又 0<������ <1,所以 0<-
������ 0
������ 0 -2 ������ 0 +1
<1,即 <x0<2,与假设
2
1
x0<0(x0≠-1)矛盾,故 f(x)=0 没有负实根.
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用反证法证明否定性命题
设{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列,cn=an+bn,证
������ 1 5 ������ 2
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用反证法证明至多、至少等形式的命题
实数a,b,c,d满足a+b=c+d=1,ac+bd>1,求证:a,b,c,d中 至少有一个负数.
【解析】假设a,b,c,d都是非负数,则
1=(a+b)(c+d)=(ac+bd)+(ad+bc)≥ac+bd, 这与已知ac+bd>1矛盾,所以a,b,c,d至少有一个负数.
3 3 3 3
3
3
3
【解析】否定结论 ������> ������ ,可得 ������≤ ������ ,即 ������= ������ 或 3 ������< ������ .
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3
已知 a、b、c 成等差数列且公差 d≠0,那么 、 、 不能 成
������ ������ ������
3
C ).
2
用反证法证明命题“如果 a>b,那么 3 ������ > ������”时,假设的内 容应是( D ).
A. 3 ������ = ������ C. 3 ������ = ������且 3 ������ < ������
3 3
3 3
B. 3 ������ < ������
3
3
D. 3 ������ = ������或 3 ������ < ������
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已知 a,b,c∈(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不能同 时大于4 .
【解析】假设三式同时大于 ,
4 1
1
即(1-a)b> ,(1-b)c> ,(1-c)a> ,
4 4 4
1
1
1
∵a,b,c∈(0,1),∴三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a> ,
1
1
1
等差数列.(填“能”或者“不能”)
【解析】∵a、b、c 成等差数列,∴2b=a+c, 假设 、 、 成等差数列,则 = + ,
������ ������
2
1
1
1 ������
2 1 1 ������ ������ ������
∴(a+c) =4ac,∴(a-c) =0,∴a=c,从而 d=0,与 d≠0 矛盾, ∴ 、 、 不可能成等差数列.
问题4 适合用反证法证明的试题类型
(1)直接证明困难, (2)需分成很多类进行讨论, (3)结论为“至少”“至多”“有无穷多个”类命题, (4)结论为“唯一”类命题.
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否定结论“方程至多有两个解”的说法中,正确的是(
A.有一个解 C.至少有三个解 B.有两个解 D.至少有两个解
������ ������ ������ 1 1 1
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已知函数 f(x)=ax+������ +1 (a>1),用反证法证明:f(x)=0 没有负 实根.
【解析】假设存在 x0<0(x0≠-1),满足 f(x0)=0, 则������ =������ 0 ������ 0 -2 ������ 0 +1
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问题1 如何证明上述结论呢?
证明:假如
不是妈妈打破的 ,妈妈一定会大骂,当时是没
有.所以结论是妈妈打破了盘子.
问题2 反证法的意义及用反证法证明命题的基本步骤
假设命题结论的 证明方法叫反证法.
反面 成立,经过正确的推理,引出
矛盾,因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的
用反证法证明问题的基本步骤: