高等数学 第四节 对面积的曲面积分

第十一章 第四节
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轮换对称性 如果积分曲面 Σ 的方程中某两个变量对调其方程 不变， 则将被积函数的这两个变量对调积分值不 变，例如：Σ 中 x 与 y 对调 Σ 不变
f ( x , y , z)dS f ( y , x , z)dS
Σ
Σ
注意：利用曲面方程化简曲面积分
曲面积分和曲线积分一样，积分区域是由积分变
一卦限中的部分，则有( C )。
( 2000 考研 )
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例6 设 : x2 y2 z2 a2
计算 I f ( x , y , z)dS 。
Σ
z
a
Σ1 a
2
O Dxy
xa
ay Σ2
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例7
计算 I =
dS x2 y2 z2
其中 Σ 是介于平面
之间的圆柱面
量的等式给出的，因而可以将 Σ 的方程直接代入
被积表达式。
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例1 计算曲面积分 I x2dS ， Σ 为
Σ
x2 y2 a2 介于 z 0 与 z k 之间的部分。
z k
O y
x
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具体步骤： 1 根据曲面的形状确定最简的投影方法，将曲 面表示为显函数，同时确定相应的坐标面上的投 影区域； 2 根据曲面方程求得相应的面积元素 dS ； 3 将曲面方程的表达式和面积元素 dS 代入被积 表达式而得到相应投影区域上的二重积分； 4 计算转化后的二重积分。
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若曲面为：y y( x , z) , ( x , z) Dxz 往 zOx 平面投影
则 f ( x , y , z)dS f [x , y( x , z) , z] 1 yx2 yz2dxdz
Dxz
若曲面为： x x( y , z) , ( y , z) Dyz
往 yOz 平面投影
第四节 对面积的曲面积分
教学内容
1 对面积的曲面积分的意义、概念与性质 2 对面积的曲面积分的计算法
考研要求
1 了解对面积的曲面积分的概念性质 2 掌握计算对面积的曲面积分的方法
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一、对面积的曲面积分的概念与性质
引例: 设曲面形构件具有连续面密度 求质量 M 。若密度为常数， M
若密度非常数，类似求平面薄板质 z
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例2 计算积分 ，其中Σ 是球面
被平面
截出的顶部。
解
Dxy : x2 y2 a2 h2 1 zx2 zy2
z
Σ
h
O
Dxy
ay
x
dS
adxdy
z Dxy a2 x2 y2
a
2
d
0
a2 h2 rdr
0
a2 r2
2
a[
1 2
ln(a2
rቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
)]0
a2
h2
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对积分域的可加性 若 是分片光滑的，例如分成
两片光滑曲面 Σ1 , Σ2 ，则有
f ( x , y , z)dS f ( x , y , z)dS f ( x , y , z)dS
2
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线性性质 设
为常数，则
k1 f ( x , y , z) k2 g( x , y , z)dS
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例3
计算 I
Σ
1 (1 x y)2 dS
，其中 Σ 为平
面 x y z=1 及三个坐标面所围立体的表面。
z 1 x y
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x y1
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例4 设 Σ 为锥面 z x2 y2 在柱体
x2 y2 2x内的部分，求 zdS 。
Σ
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例5 设
，1为 在第
f (i , i , i )Si
2 对面积的曲面积分的计算是将其化为投影 域上的二重积分计算。(按照曲面的不同情况 投影到三个坐标面上) 一投、二代、三换元；
3 利用对称性及曲面方程化简曲面积分。
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个有界函数，若对 做任意分割和局部区域任意取点，
“特殊乘积和式极限”
n
lim
0 k1
f (k
, k
, k )Sk
记作
f ( x , y , z)dS
都存在，则称此极限为 f (x , y , z) 在曲面 上对面积
的曲面积分 或第一类曲面积分。f (x , y , z) 称为被积
函数， 称为积分曲面。 表示 n 小块曲面的直径
的最大值。
据此定义，曲面形构件的质量为 M ( x , y , z)dS
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定义：所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面， 且当点在曲面上连续移动时，切平面也连续转动。
对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似。
积分的存在性 若 f (x , y , z) 在光滑曲面 上连续，
则对面积的曲面积分存在。
2、若 Σ 关于 zOx 平面对称，则被积函数 f (x , y , z) 1) 关于 y 为奇函数，曲面积分为 0； 2) 关于 y 为偶函数，为一半投影区域上积分的 2倍。
3、若 Σ 关于 xOy 平面对称，则被积函数 f (x , y , z)
1) 关于 z 为奇函数，曲面积分为 0；
2) 关于 z 为偶函数，为一半投影区域上积分的 2倍。
f ( x , y , z)dS 存在，且有 二代
O
y
x
Dxy
f ( x , y , z)dS
f ( x , y , z( x , y) ) 1 zx2( x , y) zy2( x , y)dxdy Dxy
一投二代三换元素，
把对面积的曲面积分
三曲面的面积元素
化为二重积分计算。
(p169)
。
解法一 将曲面分为前后(左右)两片，但是计算较繁。
z
解法二 取曲面面积元素
H
dS 2 Rdz
dz
高为dz 的小圆柱的侧面积
则
I
H 0
2 Rdz
R2 z2
2 arctan H
R
O
x
y
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内容小结
1 对面积的曲面积分的意义、概念及性质；
n
Σ
f ( x , y , z)dS lim 0 i1
则 f ( x , y , z)dS f [x( y , z) , y , z] 1 xy2 xz2dydz
Dyz
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奇偶对称性 (偶倍奇零) 1、若 Σ 关于 yOz 平面对称，则被积函数 f (x , y , z) 1) 关于 x 为奇函数，曲面积分为 0； 2) 关于 x 为偶函数，为一半投影区域上积分的 2倍。
， (k , k , k )
量的思想， 采用
“分割 , 近似 , 求和 , 取极限” 的方法
n
可得 M
(k , k , k )Sk
k 1
O
y
其中， 表示 n 小块曲面的直径的 x
最大值 (直径为其上任意两点间距离的最大者)。
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定义 设 为光滑曲面，f (x , y , z) 是定义在 上的一
k1 f ( x , y , z)dS k2 g( x , y , z)dS
特别的 当 f ( x , y , z) 1 时，则
f ( x , y , z)dS 1 dS 的面积
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二、对面积的曲面积分的计算法
定理: 设有光滑曲面 一往 xOy 面投影 z
f (x , y , z) 在 上连续，则曲面积分