梁的强度和刚度计算
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正应力公式的使用范围：①纯弯曲梁；②弹性范围（ζ≤ζp）； ③平面弯曲（截面有对称轴，形状不限）；④细长梁的横力弯曲。 （一般l/h>5为细长梁，其计算误差满足工程精度要求δ<5％。）
例7-1 图示悬臂梁。试求C截面上a、b两点的正应力和该截面最大拉、压应力。 解：（1）计算C截面的弯矩M M c 2P 2 1.5 3KN m （2）确定中性轴位置，并计算惯性矩 bh3 12183 z 5830 cm4 12 12 18 y 3 6cm ; yb 3cm . a （3）求a、b两点的正应力 2 M c ya 3 103 0.06 a 3.09MPa; 8 z 583010 M c yb 3 103 0.03 b 1.54MPa; 8 z 583010 h 18 ymax 9cm ; (4)求C截面最大拉应力+max和最大压应力 -max 2 2 3 2 M y 3 10 9 10 max c max 4.63MPa max ; 8 z 583010 （在截面上下边缘。） 返回 下一张 上一张 小结
例7-2 18号工字钢制成的简支梁如图所示。试求D截面上a、b两 点处的正应力。 解：(1)求D截面的弯矩： MD=30kN.m (2)确定中性轴位置 和截面惯性矩： 查型钢表 IZ=1660cm4 (3)求D截面a、b两点的正应力： 180 ya yb 10.7 79.3m m; 2 M D ya 30103 79.3 103 a 143.3MPa; 8 z 166010
h/2
式中:Q—横截面上的剪力； Iz—横截面对其中性轴的惯性矩； b—所求剪应力作用点处的截面宽度； Sz ＊—所求剪应力作用点处的横线以 下(或以上）的截面积A*对中性轴的面积矩。
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二、正应力公式的推导：
（一）变形几何关系：
取梁微段dx考虑变形 几何关系，得应变规律：
S yd y ; dx d
当M>0时：y>0,ε>0，为受拉区；y<0,ε<0,为受压区。 （二）物理关系： y 由假设2及虎克定律，梁横 E E 截面上的正应力变化规律为： 此式表明：梁横截面上任一点的正应力，与该点距中性轴 （z轴）的距离y成正比，而与该点距y轴的距离z无关。正应 力沿截面高度呈直线规律分布。中性层处y=0,ζ＝0；上下边 缘处有ymax，故有ζmax。 返回 下一张 上一张 小结
（三）静力学关系： 纯弯曲梁上各点只有正应力，微面积dA上法 向合力dN=σdA。截面上各微内力形成沿X轴的空 间平行力系。可简化成三个内力分量：Nx、My、Mz。
E M y zdA 0 zydA 0; —中性轴是截面的形心主轴。
N d 0
b 143.3MPa;
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第二节 梁横截面上的剪应力
一、矩形截面梁： 矩形截面梁任意截面上剪力Q 都与对称轴重合。对狭长横截面上 剪应力的分布规律可作两个假设： (1)横截面上各点均与该面上Q 同向且平行； (2)剪应力沿截面宽度均匀分布。 从梁微段中取窄条cdmn分析：
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
第7章 梁的强度 梁横截面上的正应力 梁横截面上的剪应力 梁的强度计算
弯曲中心的概念
小结
第7章 梁的强度
梁的一般情况是横截面上同时 存在剪力和弯矩两种内力，称作剪 力（横力）弯曲。与此相应的截面 上任一点处有剪应力η和正应力ζ。 且剪应力η只与剪力Q有关，正应力 ζ只与弯矩M有关。
N1 * 1dA
A
M M dM Sz ; N2 Sz ; Iz Iz
N 2 dT 0;
dT ' bdx;
x 0, N
'
1
dMSz dM , Q, ' ; dxIz b dx
QSzwk.baidu.com; I zb
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横截面上只有弯矩而没有剪力 的弯曲称作纯弯曲。
如图简支梁，AC、DB段为横 力弯曲；CD段为纯弯曲。 本章研究梁的应力和变形计算， 解决梁的强度和刚度计算问题。
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第一节 梁横截面上的正应力
为推导梁横截面上的正应力，考虑纯弯曲情况。 用三关系法：实验观察→平面假设； 几何关系→变形规律， 物理关系→应力规律， 静力学关系→应力公式。 一、实验观察与分析： ①横线仍为直线,但倾斜角度d； ②纵线由直变弯,仍与横线正交, 凸边伸长, 凹边缩短； ③横截面相对于纵向伸长区域缩 短，纵向缩短区域伸长。 假设:①平面假设—变形前 后横 截面保持平面不变； ②单向受力假设—纵向纤维之间互不挤压仅伸长或缩短。 中性层—长度不变的纤维层； 中性轴—中性层与横截面的交线。
E
yd 0 —中性轴Z必通过形心。
M z ydA M
E 2 y dA M
My z —纯弯曲梁横截面上任一点正应力计算公式
1 M —纯弯曲梁的 ; E z 变形计算公式
Iz—截面对其中性轴的惯性矩； M—截面上的弯矩； y—所求正应力点到中性轴的距离。 为避免符号错误，计算中各量以绝对值代入，ζ符号依点 所处区域直接判断。（根据弯矩方向，中性轴将截面分为受 拉区和受压区；M>0,上压下拉；M<0，上拉下压。） 式中:
矩形截面剪应力计算公式：
b h2 bh3 2 矩形截面： dA bdy, S z A* y1dA y y1bdy 2 ( 4 y ); I z 12 , Q h2 6Q h 2 η沿截面高度按 2 ( y ) 3 ( y 2 ); 2I z 4 bh 4 抛物线规律变化。
正应力公式的使用范围：①纯弯曲梁；②弹性范围（ζ≤ζp）； ③平面弯曲（截面有对称轴，形状不限）；④细长梁的横力弯曲。 （一般l/h>5为细长梁，其计算误差满足工程精度要求δ<5％。）
例7-1 图示悬臂梁。试求C截面上a、b两点的正应力和该截面最大拉、压应力。 解：（1）计算C截面的弯矩M M c 2P 2 1.5 3KN m （2）确定中性轴位置，并计算惯性矩 bh3 12183 z 5830 cm4 12 12 18 y 3 6cm ; yb 3cm . a （3）求a、b两点的正应力 2 M c ya 3 103 0.06 a 3.09MPa; 8 z 583010 M c yb 3 103 0.03 b 1.54MPa; 8 z 583010 h 18 ymax 9cm ; (4)求C截面最大拉应力+max和最大压应力 -max 2 2 3 2 M y 3 10 9 10 max c max 4.63MPa max ; 8 z 583010 （在截面上下边缘。） 返回 下一张 上一张 小结
例7-2 18号工字钢制成的简支梁如图所示。试求D截面上a、b两 点处的正应力。 解：(1)求D截面的弯矩： MD=30kN.m (2)确定中性轴位置 和截面惯性矩： 查型钢表 IZ=1660cm4 (3)求D截面a、b两点的正应力： 180 ya yb 10.7 79.3m m; 2 M D ya 30103 79.3 103 a 143.3MPa; 8 z 166010
h/2
式中:Q—横截面上的剪力； Iz—横截面对其中性轴的惯性矩； b—所求剪应力作用点处的截面宽度； Sz ＊—所求剪应力作用点处的横线以 下(或以上）的截面积A*对中性轴的面积矩。
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二、正应力公式的推导：
（一）变形几何关系：
取梁微段dx考虑变形 几何关系，得应变规律：
S yd y ; dx d
当M>0时：y>0,ε>0，为受拉区；y<0,ε<0,为受压区。 （二）物理关系： y 由假设2及虎克定律，梁横 E E 截面上的正应力变化规律为： 此式表明：梁横截面上任一点的正应力，与该点距中性轴 （z轴）的距离y成正比，而与该点距y轴的距离z无关。正应 力沿截面高度呈直线规律分布。中性层处y=0,ζ＝0；上下边 缘处有ymax，故有ζmax。 返回 下一张 上一张 小结
（三）静力学关系： 纯弯曲梁上各点只有正应力，微面积dA上法 向合力dN=σdA。截面上各微内力形成沿X轴的空 间平行力系。可简化成三个内力分量：Nx、My、Mz。
E M y zdA 0 zydA 0; —中性轴是截面的形心主轴。
N d 0
b 143.3MPa;
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第二节 梁横截面上的剪应力
一、矩形截面梁： 矩形截面梁任意截面上剪力Q 都与对称轴重合。对狭长横截面上 剪应力的分布规律可作两个假设： (1)横截面上各点均与该面上Q 同向且平行； (2)剪应力沿截面宽度均匀分布。 从梁微段中取窄条cdmn分析：
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
第7章 梁的强度 梁横截面上的正应力 梁横截面上的剪应力 梁的强度计算
弯曲中心的概念
小结
第7章 梁的强度
梁的一般情况是横截面上同时 存在剪力和弯矩两种内力，称作剪 力（横力）弯曲。与此相应的截面 上任一点处有剪应力η和正应力ζ。 且剪应力η只与剪力Q有关，正应力 ζ只与弯矩M有关。
N1 * 1dA
A
M M dM Sz ; N2 Sz ; Iz Iz
N 2 dT 0;
dT ' bdx;
x 0, N
'
1
dMSz dM , Q, ' ; dxIz b dx
QSzwk.baidu.com; I zb
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横截面上只有弯矩而没有剪力 的弯曲称作纯弯曲。
如图简支梁，AC、DB段为横 力弯曲；CD段为纯弯曲。 本章研究梁的应力和变形计算， 解决梁的强度和刚度计算问题。
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第一节 梁横截面上的正应力
为推导梁横截面上的正应力，考虑纯弯曲情况。 用三关系法：实验观察→平面假设； 几何关系→变形规律， 物理关系→应力规律， 静力学关系→应力公式。 一、实验观察与分析： ①横线仍为直线,但倾斜角度d； ②纵线由直变弯,仍与横线正交, 凸边伸长, 凹边缩短； ③横截面相对于纵向伸长区域缩 短，纵向缩短区域伸长。 假设:①平面假设—变形前 后横 截面保持平面不变； ②单向受力假设—纵向纤维之间互不挤压仅伸长或缩短。 中性层—长度不变的纤维层； 中性轴—中性层与横截面的交线。
E
yd 0 —中性轴Z必通过形心。
M z ydA M
E 2 y dA M
My z —纯弯曲梁横截面上任一点正应力计算公式
1 M —纯弯曲梁的 ; E z 变形计算公式
Iz—截面对其中性轴的惯性矩； M—截面上的弯矩； y—所求正应力点到中性轴的距离。 为避免符号错误，计算中各量以绝对值代入，ζ符号依点 所处区域直接判断。（根据弯矩方向，中性轴将截面分为受 拉区和受压区；M>0,上压下拉；M<0，上拉下压。） 式中:
矩形截面剪应力计算公式：
b h2 bh3 2 矩形截面： dA bdy, S z A* y1dA y y1bdy 2 ( 4 y ); I z 12 , Q h2 6Q h 2 η沿截面高度按 2 ( y ) 3 ( y 2 ); 2I z 4 bh 4 抛物线规律变化。