复合材料层合梁非对称分层问题的解析解法
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1 力学模型的建立
设横向载荷作用下的对称正交铺层复合材料层 合梁( [0n / 90m]S) 在 0 ~ 90 层间存在如图 1( a) 所示的 穿透宽度的非对称分层O 这一状态可分解为对称状 态 <O>与反对称状态<B> 分别如图 1( b) ~ 图 1 ( c) 所示O 显然 对称状态中的对称载荷不会引起分 层扩展以及附加弯曲变形和应力9而反对称载荷将 引起分层扩展以及附加弯曲变形与应力O
6Z = E1EZ , - ( Z t1 + tZ D { {- tZ 式中: E1~ EZ 分别为 0 与 90 层材料在 s 方向的杨氏 模量G
2. 3 平衡关系式
分层区梁段任一横截面上的内力如图 4 所示,
分层上下两部分梁段横截面上的轴力与弯矩分别为
N1 =
Zt1+ tZ
61d
tZ
=
Z E1t1
收稿日期: 2003-01-06 收修改稿日期: 2003-04-04 基金项目: 航空科学基金项目( 98B51026) 通讯作者: 孟庆春.教授.研究方向为复合材料力学和断裂力学
E-mail: gcmeng@buaa. edu . cn
96
复合材料学报
( a) BaSic lOading State ( b) Symmetrical State <O> ( c) AntiSymmetric State <B> 图 1 层合梁横向受力状态的对称与反对称分解
面 承 受 与 T/ ( 1 ) 大 小 相 等~ 方 向 相 反 的 剪 切 载 荷 T (1)O 可见 分层的扩展以及附加弯曲变形与应力的 大小取决于此状态O
在 < B2 > 状 态 中 未 分 层 段 仅 在 其 与 分 层 段 的 交界处受到自相平衡的力系作用O 在未分层段服从 平面假设的前提下 可将其视为刚体O 因此 只需考 虑分层段O 建立力学模型如图 3 所示O
分层是复合材料层板经常遇见的破坏形式之
一 复合材料层板中分层的存在和扩展会导致严重
的可靠性和安全问题.例如刚度和强度的降低 严重 时会导致结构的最终断裂与破坏 同时.由于分层的 存在.层合板的稳定性也会有不同程度的降低 分层 问题在理论研究和实际工程应用中均有重要意义
因此. 对此问题的研究是非常重要和迫切的 文献[1]用断裂力学方 法 分 析 了 复 合 材 料 层 板
Fig. 1 The laminated beam under tranSverSe lOading divided intO Symmetrical and antiSymmetric StateS
究O 笔者将对对称正交铺层复合材料层合梁在横向 载荷作用下的非对称分层问题进行研究 给出含有 非对称分层层合梁的分层区附加位移的解析解答 为含非对称分层层合板的研究奠定一定的基础O
平衡条件为
N1 + NZ = 0
dN1 ds
=
Z( sD
M1 + MZ - N1( t1 + tZ + 6D = 0 2. 4 边界条件
( 9D ( 10D ( 11D
s = 0, U10 = 0, UZ0 = 0,
dz ds
=
0
s = c , U10 - UZ0 =
- ( t1 + tZ - 6D ddzs, z = 0
bstract: Using the principle of superposition. the transverse loading state of a laminated beam With a delamination is divided into symmetric and antisymmetric states. The problem of the delamination can be reduced to the analysis about the additional displacements and stresses Which are caused by the additional shear loading. Then a simple mechanical model about the delamination is established. Finally. the analytical solutions of displacement and stress are established by the theory of engineering beam. Using the energy release rate method. one can get the stress intensity factor of the delamination. Key words: laminated beam composite materials delamination additional state stress intensity factor
( 北京航空航天大学 航空科学与工程学院 固体力学研究所. 北京 100083)
摘 要: 根据叠加原理将含有非对称分层的复合材料层合梁在横向载荷作用下的受力状态分解为对称和反对称 情况. 再将反对称受力状态分解为无分层梁受反对称横向载荷状态与含分层梁在分层表面承受附加剪切载荷状 态 将分层问题归结为在附加载荷状态中.层合梁附加位移与附加应力的分析.并据此建立了一个简单的力学模 型 最后.根据工程梁理论得到了由分层引起的附加位移与应力的解析解答.利用能量释放率方法确定了应力强度 因子.计算分析了分层区长度与层板厚度对附加位移的影响 关键词: 层合梁 复合材料 分层 附加状态 应力强度因子 中图分类号: TB331 343. 2 文献标识码: A
( 6D
tZ
MZ = -
6Z ( + 6D d =
- Z t1 - tZ
( Z EZ 6tZ
+
ZE1t1( t1
+
tZ
+
6D D
HU Z 0 Hs
+
[
Z 3
EZ
tZ
(
t
3 Z
+
36Z D
+
1 3
E1(
(
tZ
+
Zt1
+
6D 3
-
( tZ
+
6D
3]
dZz d sZ
( 7D
图 4 分层段横截面的内力 Fig. 4 Internal f orces in the cross section of delamination
~1( 1 ) = ~10( 1 ) - ddZ1 ( - t1 - t2)
t2
2t1 - t2
( 1)
~2( 1 ) = ~20( 1 ) - ddZ1 ( - 6)
- 2t1 - t2
t2
王 平, 等: 复合材料层合梁非对称分层问题的解析解法
式中: 等式左边的下标 1~ Z 分别代表分层上下两部 分, 下同G U10( sD ~ UZ0( sD 分别表示分层上下两部分中 面上的纵向位移G 6 为分层下部梁段中性层的位置 到 s 轴的距离G 上下两部分的纵向应变为
N L TIC L METHOD OF SOLUTION ON S MMETRIC DEL MIN TION IN S MMETRIC ORTHOGON L COMPOSITE L MIN TED BE MS
WANG ing. MENG ingchun. Z ANG Xing
( Institute of Solid Mechanics. School of Aeronautics Science and Technology. Beijing University of Aeronautics and Astronautics. Beijing 100083. China)
E1 =
HU 1 Hs
,
tZ { { Zt1 + tZ
EZ
=
HU Z Hs
,
- Zt1 - tZ { { tZ
(ZD
2. 2 物理关系式
由单向受力假设, 分层 Z 侧梁段横截面上的正 应力为
61 = E1E1 , tZ { { Z t1 + tZ
6Z = EZ EZ , - tZ { { tZ
( 3D
ZD
[(
s c
D
n+ Z
-
Βιβλιοθήκη Baidu
s c
]
( 15D
UZ0
=-
Z ( E1t1
+
/n cZ EZtZ D ( n +
1D ( n
+
ZD
X
[(
s c
D
n+
Z
-
s c
]
( 16D
z=
EZ tZ + ZE1t1 EZ tZ + E1t1
/nc3( t1 + tZ D B( n + 1D ( n + Z D ( n +
根据叠加原理 将<B> 状态分解为无分层状 态 < B1 > 与 附 加 分 层 状 态 <B2> 两 种 状 态 分 别 如 图 2( a) ~ 图 2( b ) 所示O 在<B1>状态中 层合梁除原 有横向载荷外 在分层表面还受到自相平衡的附加 剪 切 载 荷 T/ ( 1 ) 作 用 T/ ( 1 ) 代 表 无 分 层 状 态 下 层 合 梁的层间应力O 可见 <B1>状态相当于无分层梁受 横向载荷作用O 在<B2>状态中 层合梁只在分层表
HU 10 Hs
( 4D
NZ =
tZ
6Z d =
- Z t1 - tZ
Z ( E1t1
+
EZ tZ
HU Z 0 Hs
+
Z [-
( E1t1
+
EZtZ D 6 +
E1t1( t1
+
tZ
D
]
dZz d sZ
( 5D
Zt1+ tZ
M1 = -
61( - t1 - tZ D d =
tZ
Z 3
E1
t
3 1
dZz d sZ
复合材料学报
ACTA MATE!IAE C M SITAE SINICA
第 21 卷 第 1 期 "ol. 21 No. 1
2 月 2004 年 February 2004
文章编号: 1000-3851( 2004) 01-0095-05
复合材料层合梁非对称
分层问题的解析解法
王 平. 孟庆春. 张 行
( a) NO delaminatiOn State <B1> ( b) AdditiOnal delaminatiOn State <B2> 图 2 反对称受力状态的无分层与附加分层状态分解 Fig. 2 AntiSymmetric lOading State divided intO nO delaminatiOn State and additiOnal delaminatiOn State
- 97-
6 的选择是任意的G 为了方便, 采用解耦原则, 令式( 5D 中第 Z 项系数等于零, 即
- ( E1t1 + EZtZ D 6 + E1t1( t1 + tZ D = 0 从而
6=
E1t1( t1 + tZ D E1t1 + EZ tZ D
( 8D
图 4 所示段的纵向力平衡条件以及整体梁的合力矩
( 1ZD ( 13D
3 位移解答
分层表面的剪切载荷可以利用层合梁理论由无
分层状态<B1 求出, 在这里视为已知, 并表示为幂 函数形式G 设其通项为
Z( sD
=
/n (
s c
D
n
( 14D
式中: /n~ n 为常数, nI-1G
根据以上几方面的方程与边界条件, 可得到位移
U10 =
/ccZ ZE1t1( n + 1D ( n +
图 3 分层力学模型 Fig. 3 The mechanical mOdel Of delaminatiOn
2 基本方程与边界条件
根据模型的对称条件 仅需考虑 12 0 部分即 可O 2. 1 几何关系式
假设分层两侧的梁段均服从平面假设且无剪切
变形O 由于<O>状态的存在 可认为分层两侧的法 向约束依然存在O 根据以上假设 可将分层下部作为 一个整体9且在同一法线或横截面上 上下两部分内 各 点的横向位移(出面位移) 相同 可被表示为 Z (1)O 同时 在小变形条件下 各点纵向位移( 面内位 移) 可被表示为
的 层 间 分 层 问 题 Shen[2]等 提 出 了 一 种 复 合 材 料 层 板分层和分层扩展预测的计算模型. 文中采用了一
种虚拟裂纹闭合技术对圆形分层的三维有限元模型
进行了研究. 并对对称边界条件的情况进行了讨论 孟庆春. 张行[3.4]提出了复合材料层合板二维分层问 题的解析变分解法与解析变分守恒积分法. 得到了 满足基本微分方程~ 裂纹边界条件和界面连续条件 的位移场~ 应力场特征值展开式.对裂纹尖端的应力 奇异性进行了分析. 并得到了广义应力强度因子的 收敛解答 文献[5]对含对称分层复合材料层合梁问 题 进行了研究. 给出了附加位移解析解答 文献 [ 6]对 含 对 称 分 层 复 合 材 料 层 合 曲 梁 问 题 进 行 了 研
设横向载荷作用下的对称正交铺层复合材料层 合梁( [0n / 90m]S) 在 0 ~ 90 层间存在如图 1( a) 所示的 穿透宽度的非对称分层O 这一状态可分解为对称状 态 <O>与反对称状态<B> 分别如图 1( b) ~ 图 1 ( c) 所示O 显然 对称状态中的对称载荷不会引起分 层扩展以及附加弯曲变形和应力9而反对称载荷将 引起分层扩展以及附加弯曲变形与应力O
6Z = E1EZ , - ( Z t1 + tZ D { {- tZ 式中: E1~ EZ 分别为 0 与 90 层材料在 s 方向的杨氏 模量G
2. 3 平衡关系式
分层区梁段任一横截面上的内力如图 4 所示,
分层上下两部分梁段横截面上的轴力与弯矩分别为
N1 =
Zt1+ tZ
61d
tZ
=
Z E1t1
收稿日期: 2003-01-06 收修改稿日期: 2003-04-04 基金项目: 航空科学基金项目( 98B51026) 通讯作者: 孟庆春.教授.研究方向为复合材料力学和断裂力学
E-mail: gcmeng@buaa. edu . cn
96
复合材料学报
( a) BaSic lOading State ( b) Symmetrical State <O> ( c) AntiSymmetric State <B> 图 1 层合梁横向受力状态的对称与反对称分解
面 承 受 与 T/ ( 1 ) 大 小 相 等~ 方 向 相 反 的 剪 切 载 荷 T (1)O 可见 分层的扩展以及附加弯曲变形与应力的 大小取决于此状态O
在 < B2 > 状 态 中 未 分 层 段 仅 在 其 与 分 层 段 的 交界处受到自相平衡的力系作用O 在未分层段服从 平面假设的前提下 可将其视为刚体O 因此 只需考 虑分层段O 建立力学模型如图 3 所示O
分层是复合材料层板经常遇见的破坏形式之
一 复合材料层板中分层的存在和扩展会导致严重
的可靠性和安全问题.例如刚度和强度的降低 严重 时会导致结构的最终断裂与破坏 同时.由于分层的 存在.层合板的稳定性也会有不同程度的降低 分层 问题在理论研究和实际工程应用中均有重要意义
因此. 对此问题的研究是非常重要和迫切的 文献[1]用断裂力学方 法 分 析 了 复 合 材 料 层 板
Fig. 1 The laminated beam under tranSverSe lOading divided intO Symmetrical and antiSymmetric StateS
究O 笔者将对对称正交铺层复合材料层合梁在横向 载荷作用下的非对称分层问题进行研究 给出含有 非对称分层层合梁的分层区附加位移的解析解答 为含非对称分层层合板的研究奠定一定的基础O
平衡条件为
N1 + NZ = 0
dN1 ds
=
Z( sD
M1 + MZ - N1( t1 + tZ + 6D = 0 2. 4 边界条件
( 9D ( 10D ( 11D
s = 0, U10 = 0, UZ0 = 0,
dz ds
=
0
s = c , U10 - UZ0 =
- ( t1 + tZ - 6D ddzs, z = 0
bstract: Using the principle of superposition. the transverse loading state of a laminated beam With a delamination is divided into symmetric and antisymmetric states. The problem of the delamination can be reduced to the analysis about the additional displacements and stresses Which are caused by the additional shear loading. Then a simple mechanical model about the delamination is established. Finally. the analytical solutions of displacement and stress are established by the theory of engineering beam. Using the energy release rate method. one can get the stress intensity factor of the delamination. Key words: laminated beam composite materials delamination additional state stress intensity factor
( 北京航空航天大学 航空科学与工程学院 固体力学研究所. 北京 100083)
摘 要: 根据叠加原理将含有非对称分层的复合材料层合梁在横向载荷作用下的受力状态分解为对称和反对称 情况. 再将反对称受力状态分解为无分层梁受反对称横向载荷状态与含分层梁在分层表面承受附加剪切载荷状 态 将分层问题归结为在附加载荷状态中.层合梁附加位移与附加应力的分析.并据此建立了一个简单的力学模 型 最后.根据工程梁理论得到了由分层引起的附加位移与应力的解析解答.利用能量释放率方法确定了应力强度 因子.计算分析了分层区长度与层板厚度对附加位移的影响 关键词: 层合梁 复合材料 分层 附加状态 应力强度因子 中图分类号: TB331 343. 2 文献标识码: A
( 6D
tZ
MZ = -
6Z ( + 6D d =
- Z t1 - tZ
( Z EZ 6tZ
+
ZE1t1( t1
+
tZ
+
6D D
HU Z 0 Hs
+
[
Z 3
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tZ
(
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3 Z
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36Z D
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1 3
E1(
(
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+
Zt1
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-
( tZ
+
6D
3]
dZz d sZ
( 7D
图 4 分层段横截面的内力 Fig. 4 Internal f orces in the cross section of delamination
~1( 1 ) = ~10( 1 ) - ddZ1 ( - t1 - t2)
t2
2t1 - t2
( 1)
~2( 1 ) = ~20( 1 ) - ddZ1 ( - 6)
- 2t1 - t2
t2
王 平, 等: 复合材料层合梁非对称分层问题的解析解法
式中: 等式左边的下标 1~ Z 分别代表分层上下两部 分, 下同G U10( sD ~ UZ0( sD 分别表示分层上下两部分中 面上的纵向位移G 6 为分层下部梁段中性层的位置 到 s 轴的距离G 上下两部分的纵向应变为
N L TIC L METHOD OF SOLUTION ON S MMETRIC DEL MIN TION IN S MMETRIC ORTHOGON L COMPOSITE L MIN TED BE MS
WANG ing. MENG ingchun. Z ANG Xing
( Institute of Solid Mechanics. School of Aeronautics Science and Technology. Beijing University of Aeronautics and Astronautics. Beijing 100083. China)
E1 =
HU 1 Hs
,
tZ { { Zt1 + tZ
EZ
=
HU Z Hs
,
- Zt1 - tZ { { tZ
(ZD
2. 2 物理关系式
由单向受力假设, 分层 Z 侧梁段横截面上的正 应力为
61 = E1E1 , tZ { { Z t1 + tZ
6Z = EZ EZ , - tZ { { tZ
( 3D
ZD
[(
s c
D
n+ Z
-
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s c
]
( 15D
UZ0
=-
Z ( E1t1
+
/n cZ EZtZ D ( n +
1D ( n
+
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X
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( 16D
z=
EZ tZ + ZE1t1 EZ tZ + E1t1
/nc3( t1 + tZ D B( n + 1D ( n + Z D ( n +
根据叠加原理 将<B> 状态分解为无分层状 态 < B1 > 与 附 加 分 层 状 态 <B2> 两 种 状 态 分 别 如 图 2( a) ~ 图 2( b ) 所示O 在<B1>状态中 层合梁除原 有横向载荷外 在分层表面还受到自相平衡的附加 剪 切 载 荷 T/ ( 1 ) 作 用 T/ ( 1 ) 代 表 无 分 层 状 态 下 层 合 梁的层间应力O 可见 <B1>状态相当于无分层梁受 横向载荷作用O 在<B2>状态中 层合梁只在分层表
HU 10 Hs
( 4D
NZ =
tZ
6Z d =
- Z t1 - tZ
Z ( E1t1
+
EZ tZ
HU Z 0 Hs
+
Z [-
( E1t1
+
EZtZ D 6 +
E1t1( t1
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tZ
D
]
dZz d sZ
( 5D
Zt1+ tZ
M1 = -
61( - t1 - tZ D d =
tZ
Z 3
E1
t
3 1
dZz d sZ
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ACTA MATE!IAE C M SITAE SINICA
第 21 卷 第 1 期 "ol. 21 No. 1
2 月 2004 年 February 2004
文章编号: 1000-3851( 2004) 01-0095-05
复合材料层合梁非对称
分层问题的解析解法
王 平. 孟庆春. 张 行
( a) NO delaminatiOn State <B1> ( b) AdditiOnal delaminatiOn State <B2> 图 2 反对称受力状态的无分层与附加分层状态分解 Fig. 2 AntiSymmetric lOading State divided intO nO delaminatiOn State and additiOnal delaminatiOn State
- 97-
6 的选择是任意的G 为了方便, 采用解耦原则, 令式( 5D 中第 Z 项系数等于零, 即
- ( E1t1 + EZtZ D 6 + E1t1( t1 + tZ D = 0 从而
6=
E1t1( t1 + tZ D E1t1 + EZ tZ D
( 8D
图 4 所示段的纵向力平衡条件以及整体梁的合力矩
( 1ZD ( 13D
3 位移解答
分层表面的剪切载荷可以利用层合梁理论由无
分层状态<B1 求出, 在这里视为已知, 并表示为幂 函数形式G 设其通项为
Z( sD
=
/n (
s c
D
n
( 14D
式中: /n~ n 为常数, nI-1G
根据以上几方面的方程与边界条件, 可得到位移
U10 =
/ccZ ZE1t1( n + 1D ( n +
图 3 分层力学模型 Fig. 3 The mechanical mOdel Of delaminatiOn
2 基本方程与边界条件
根据模型的对称条件 仅需考虑 12 0 部分即 可O 2. 1 几何关系式
假设分层两侧的梁段均服从平面假设且无剪切
变形O 由于<O>状态的存在 可认为分层两侧的法 向约束依然存在O 根据以上假设 可将分层下部作为 一个整体9且在同一法线或横截面上 上下两部分内 各 点的横向位移(出面位移) 相同 可被表示为 Z (1)O 同时 在小变形条件下 各点纵向位移( 面内位 移) 可被表示为
的 层 间 分 层 问 题 Shen[2]等 提 出 了 一 种 复 合 材 料 层 板分层和分层扩展预测的计算模型. 文中采用了一
种虚拟裂纹闭合技术对圆形分层的三维有限元模型
进行了研究. 并对对称边界条件的情况进行了讨论 孟庆春. 张行[3.4]提出了复合材料层合板二维分层问 题的解析变分解法与解析变分守恒积分法. 得到了 满足基本微分方程~ 裂纹边界条件和界面连续条件 的位移场~ 应力场特征值展开式.对裂纹尖端的应力 奇异性进行了分析. 并得到了广义应力强度因子的 收敛解答 文献[5]对含对称分层复合材料层合梁问 题 进行了研究. 给出了附加位移解析解答 文献 [ 6]对 含 对 称 分 层 复 合 材 料 层 合 曲 梁 问 题 进 行 了 研