离散数学 第六章 集合代数

n元集: 含有n个元素的集合称为n元集 0元集: 1元集(或单元集),如{a}, {b}, {}, {{}},… |A|: 表示集合A中的元素个数,
A是n元集 |A|=n
有限集 (finite set): |A|是有限数, |A|<, 也叫有 穷集 n个元素集合A的m元子集. 例： A＝{1，2，3}求该集合的所有子集
2、集合的表示形式
列举法：列出集合的所有元素，元素之间用逗号隔 开，并把它们用花括号括起来 注：
1) 集合的元素是无序的（无序性） {2,1}={1,2} 2) 重复的元素应该认为是一个元素（互异性） {2,1,1,2}={2,1} 3) 集合中的元素可以是一个集合，但不能是该集合本身。 A={1,2}, B={a,b,{a},A}, C={ a, C }
A∪ C ⊆ （A∪ C )∪ B ⊆（A∪ B )∪ C ⊆C∪ C＝C
B∪ C ⊆ （ B ∪ C )∪ A ⊆（A∪ B )∪ C ⊆C∪ C＝C
3.利用集合的运算和恒等式 例：证明：已知A ∪B＝A ∪ C 且 A∩B ＝ A∩C 则 B＝C 利用恒等变形 B ＝ B∩(B ∪ A) 利用吸收律 ＝B∩(A ∪B) ＝B∩(A ∪ C) ＝(B∩A)∪(B∩C) ＝(A∩C)∪(B∩C) ＝(A ∪ B)∩C ＝(A ∪ C)∩C ＝ C
4、空集 （非常重要的集合） 定义4：不含任何元素的集合称为空集，记为 Ø 可用 Ø＝｛x | x≠x ｝表示； 实例：｛x | x∈R∧x 2 +1=0｝ 性质： |Ø|＝0 空集是任何集合的子集 空集是唯一的 （反证法） 问题： Ø与 ｛Ø｝是什么关系？ 可以用Ø构造含有4个元素的集合吗？ 5、全集 E 任何集合看成是全集E的子集，∀ A ⊆ E 6、集合的文氏图表示 全集、包含、相等
2. 利用A⊆B的等价形式 A∪B＝B 、
A∩B＝A 、
A－B＝ Ø
例： 证明： A ⊆ C 且B ⊆ C的充要条件是A∪ B ⊆ C
证：必要性 利用1将（A∪ B）∪ C
＝ （A∪ C )∪( B ∪ C）＝C ∪ C ＝C 充分性：看A∪ C与 B ∪ C是否是C的子集（ A∪ C ＝ ⊆ c ？）
例：判断下列问题是否正确： 1、若A ∈B 且B⊆ C 则A ∈C 2、若A ∈B 且B⊆ C 则A ⊆ C 3、若A ⊆B 且B∈ C 则A ∈ C 4、若A ⊆B 且B∈ C 则A ⊆ C
例:A={a} B={{a}} C={{a}, b } 例:A={a} B={a,b} C={ {a ,b } }
二、集合之间的关系 2、相等关系 定义2 设A，B为集合，如果A ⊆ B且B⊆ A，则称A与B相等， 记作 A＝B． （ ） 集合相等 的谓词表示为：A＝B <=> A⊆B ∧ B⊆A 注：判断两个集合的相等应从相互包含来证明
3、真包含关系 定义3 设A，B为集合，如果B⊆A且B≠A，则称B是A的真子集， 记作 B⊂A。 （ ） 真子集的符号化表示为谓词表示： B ⊂ A ⇔ B ⊆ A ∧ B ≠ A
描述法（谓词表示法）：用谓词来概括集合中元素 的属性{x|P(x)} 如： S={ x | x是实数，且x21=0} 如：S={2,4,6,8,…}={x|x>0且x是偶数}
3、集合的元素个数－基数 对于有限集合用 |A|来表示该集合中的 元素个数。 A={1,2}, |A|=2 4、常用的集合： 自然数集合N(在离散数学中认为0也是自 然数)， 整数集合I，有理数集合Q， 实数集合R，复数集合C， 素数集合P
证明:A－B ＝A 的充要条件是 A∩B ＝ Ø 充分性： 必要性：
证明 A⊆B任取 x ∈ A 利用所给的性质 ⇒ x∈B 或采用谓词演算方法 ∀x(x∈A→x∈B )成立 例：已知 A⊆B ，证明 ~B ⊆ ~A 证：∀x x∈~B ⇔ ┐x∈B 因为∀x ( x ∈ A → x ∈ B ) ┐x∈B → ┐x∈A ⇔ x∈ ~B → x∈~ A
第二部分
集合论
（集合代数、二元关系）
第六章 集合代数
一、集合的基本概念(不可精确定义的概念)
1、集合定义：具有某种特殊性质的个体的聚合 如：方程x2－1＝0的实数解集合； 26个英文字母的集合； 坐标平面上所有点的集合； 全体中国公民的集合； 论文中全部概念的集合； 宇宙中的全部星球； 注意： 1）集合一般用大写字母来标记：A,B,C……等 2）集合的成员或元素。集合的成员一般用小写字母标 记：a,b,c…..x,y…. 3）集合的成员可以是另一个集合 4）元素和集合的关系是隶属关系 元素b属于集合S b∈S 元素b不属于集合S ┐（b∈S） bS 5）单元素与单元素集合 a 、{ a }、{{a}}它们之 间的关系
5、对称差 1） 定义5 设A和B是任何两个集合， A和B的对称差集 A⊕B， 定义为： A ⊕ B ={x|（x∈A）∨（x∈B）} 排斥或（异或） 或 A ⊕ B=（A- B）∪（B - A） = （A ∪ B）-（B ∩ A）
2）对称差的文氏图表示 3）性质： （a）A⊕B=B⊕A （b）（A⊕B）⊕C=A⊕（B⊕C） （c）A⊕B=（A∩～B）∪（B∩～A） （d）A⊕A= ø （e）A⊕ ø = A 作业： P 96 1、2(1，3，5）、4、(1，3，5)、 5、 6、 8（1，3，5） 、9(2,4,5)、 19（奇数）、
二、集合之间的关系 1、包含关系 定义1 设A，B为集合，如果B中的每个元素都是A中的元素， 则称B是A的子集合，简称子集．这时也称B被A包含，或A包含 B，记作B⊆A。（ ⊈ ） B⊆A ⇔ ∀x ( x ∈ B → x ∈ A ) 性质：（1）自反性 显然对任何集合A都有 A⊆A． （2）传递性 若 A⊆ B 且 B ⊆ C 则 A ⊆ C 两个集合之间的关系可以是隶属关系和包含关系，对于某些 集合这两种关系可以同时成立． 如：A＝｛a,d,{d} } 和{d} 注意： x ∈ A 则有 ｛x｝ ⊆ A
5）同一律 A∪ ø=A [ P∨ F ⇔ P ] A∩E=A [ P∧ T ⇔ P ] 6）零律 A∪E=E [ P∨ T ⇔ T ] A∩ ø =ø [ P∧ F ⇔ F ] 7）补余律 A∪～A=E [ P∨┐P ⇔ T ] A∩～A= ø [ P∧┐P ⇔ F ] 8）吸收律 A∪（A∩B）=A [ P∨（P∧Q） ⇔ P ] A∩（A∪B）=A [ P∧（P∨Q） ⇔ P ] 9）德· 摩根定律 ～（A∪B）= ～A∩～B [ ┐（P∨Q） ⇔ ┐P∧┐Q ] ～（A∩B）= ～A∪～B [ ┐（P∧Q） ⇔ ┐P∨┐Q ] 10）双重否定律 ～（～A）=A [ ┐┐P ⇔ P ]
4、补集 1）定义4 给定全集E，对于任何集合A来说，A对E的相对补集， 称为A的绝对补集或简称为A的补集，并记作～A。对于E和A所进 行的差分运算通常称为求补。 ～A ＝ {x | x ∉ A）} = E -A = {x|（x ∈E）∧ ┓（x ∈ A）} = {x | ┓（x ∈ A）} 2）补集的文氏图： 3）性质 （a）A∪～A=E （b）A∩～A = ø （c）～（A∪B）=～A∩～B （d）～（A∩B）= ～A ∪～B （e）A－B ＝ A ∩～B
0元子集：Ø， 1元子集：{1}，{2}，{3}， 2元子集：{1，2}，{1，3}，{2，3} 3元字节：A 集合A的所有子集个数
三、集合的幂集
1、幂集 定义5 设A为集合，把A的全体子集构成的集合叫做A的幂集，
记作P(A) (或2A) 幂集的符号化表示为： P(A) ＝{ x | x ⊆ A } ｜ P(A) ｜＝？ 注：幂集是以子集合为元素的集合 任何集合A一定有二个平凡子集 ：Ø 和 A 例：设 S＝｛a,{a}｝ 求P(S) 2、对于隶属关系和包含关系要明确 A ⊆ B 的充要条件是 P（A）⊆ P（B） 例：设：A＝ ｛Ø ｝ B ＝ P（P（A）） 判断真假: Ø ∈ B 、 Ø ⊆ B 、 { Ø } ∈ B 、 ｛Ø ｝⊆ B { ｛Ø ｝} ∈ B 、｛ ｛Ø｝ ｝⊆ B { ｛Ø ｝，Ø } ⊆ B 、 ｛ ｛{｛Ø｝} ，｛Ø｝} } ⊆ B
§6.2 集合的运算（共定义5种集合的运算及其运算律） 1、交运算 1）定义1 任何两个集合A和B的交集A∩B，是由集合 A和B所共有的全部元素构成的集合，并可规定成 A ∩ B = {x| （x ∈A）∧（x ∈B）} 2）性质 （ a） A ∩ B = B ∩ A （b）（A∩B）∩ C = A∩（B ∩ C） （c）A ∩ A = A （d） A ∩ Ø = Ø (e ) A ∩ B = Ø 表示A与B无公共元素 3) 交运算的文氏图表示
§6.3
集合恒等式
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
集合运算的恒等式与命题公式的等值式有非常类同地方 即将： ∩看成 ∧ 、∪看成 ∨ 、 ∼ 看成 ┓ 空集Ø 看成 F 、全集E看成 T 那么命题公式的等值式可表示为集合运算的恒等式
一、下面给出对照的公式： 1）等幂律 A∪A= A [P∨P ⇔ P] A∩A= A [P∧P ⇔ P] 2）结合律 （A∪B）∪C=A∪（B∪C） [（P∨Q）∨R ⇔ P∨（Q∨R）] （A∩ B）∩C=A∩（B∩C） [（P∧Q）∧R ⇔ P∧（Q∧R）] 3）交换律 A∪B=B∪A [P∨Q ⇔ Q∨P] A∩B=B∩A [P∧Q ⇔ Q∧P] 4）分配律 A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C） A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C） [P∨（Q∧R） ⇔ （P∨Q）∧（P∧R）] [P∧（Q∨R） ⇔ （P∧Q）∨（P∨R）]
二个概念一定要分清 属于：
例:判断真假 元素b作为一个整体属于集合S
⇔ ∀x ( x ∈ B → x ∈ A )
b∈S
包含： B⊆A
1) 2 ∈{ {2}} 2){2}∈{{{2}}、{2}}
要求所有的B中的元素均属于A 例:设S＝｛2，a,{3},4｝ R={ {a},3,4,1 }判断真假 1) {a,4,{3}}⊆ S 2) {a} ⊆ S 3) {a} ∈ R 4) {a} ⊆ R 5) Ø ∈ R 6) {Ø} ∈ R 7）Ø ⊆ {a} 8) Ø ⊆ ｛{a}｝⊆R ⊆ E
2、并运算 1）定义2 设A和B是两个任何集合，A和B的并集A∪B， 是由那些或属于A或属于B或同时属于二者的所有元素 构成的集合，并可规定成 A ∪ B = { x |（x∈A）∨（x∈B）} 2）性质 （ a） A ∪ B = B ∪ A （b）（A ∪B）∪C = A ∪（B ∪C） （c）A ∪A = A, A ∪ Ø= A , A ∪ E = E （d）A ∪（B ∩C）=（A ∪B）∩（A ∪C） （e）A ∩（B ∪C）=（A ∩B）∪（A ∩C） 3) 并运算的文氏图表示
3、相对补集 1）定义3 设A和B是任何两个集合，B 对A的相对补集 A－B， 是由属于集合A的但不属于集合B的所有元素构成的集合 A － B = { x |（x∈A）∧（x ∉ B）} = { x |（x∈A）∧ ┐（x∈B）} 2）相对补集的文氏图表示 3）性质 （ a） A － ø = A （b）A ∩（B-A）= ø （c）A∪（B－A）= A∪B （d）A－（B∪C）=（A－B）∩（A－ C） （e）A－（B∩C）=（A－B）∪（A－C） （f）A － （A∩B）= A － B (g) A ⊆ B的等价形式： ⇔ A ∩B＝A ⇔ A－B ＝Ø ⇔ A∪B ＝B
11） ～ø = E ～E = ø 12） A∩B ⊆ A A∩B ⊆ B A ⊆ A∪B A-B ⊆ A
[ ┐F ⇔ T ] [ ┐T ⇔ F ]
[P∧Q⇒P] [P∧Q⇒Q] [ P ⇒ P∨ Q ]
A－B⊆A
13） A－B ＝ A ∩～B
二、证明方法介绍 集合部分的证明内容一般为：集合的包含关系和集合 的相等关系 A⊆B 和 A＝B 1、常规方法