利用等价无穷小求极限(修订版)

利用等价无穷小求极限

常见等价无穷小：

①u u ~sin ,②u u ~tan ,③)2

11~(cos 21~cos 122u u u u --,④u u ~arcsin , ⑤u u ~arctan ,⑥u u ~)1ln(+,⑦)1~(~1+-u e u e u u ,⑧1~)1(++u u αα

,⑨121~

1++u u . ⑩f g e

f f

g g ln ~11ln -=-(利用了对数的定义和⑦)1~(~1+-u e u e u u ). 解题方法：1.利用等价无穷小代换定理将复杂函数转换成易求极限值的函数。

2.某些地方无法求下去时可以考虑洛必达法则。

3.使用一些化简技巧使得函数变成可以利用的等价无穷小模型。

例1.x

x e x x cos 1sin )1(lim 20--→求. 解:由x e x 2~12-⑦,x x ~sin ①,221~cos 1x x -③,42

12lim 20=⋅=→x x x x 原式. 例2..)1(sin lim

20--→x x e x x x 求 解：由2~12x e x -⑦,221~

cos 1x x -③, 6

1321lim 3cos 1lim sin lim 2202020==-⋅-=→→→x x x x x x x x x x x 洛必达原式. 例3.求11

sin 1lim 20--+→x x e x x . 解：由1sin 2

1~sin 1++x x x x ⑨,2~12x e x -⑦, 原式=.2

1sin lim 21sin 21lim 11sin 21lim 0020===-+→→→x x x x x x x x x x 例4.求.)(lim 20x

a x a x

x x -+→

解：原式=.1)1(lim lim 200x

a x a x x x x -+→→由a x x a x x a x x ⋅+-+~)1ln(~1)1(, 原式=.11lim lim 00=→→a

a x x x 例5.求.)(arcsin sin 1lim 2

0x x e x x --→ 解：由x x ~arcsin ④,

原式=.2

12sin lim 2cos lim sin 1lim 0020=+---→→→x e x x e x x e x x x x x x 洛必达洛必达 例6.求).cos sin 1(lim 2

220x x x x -→ .3

468lim 64cos 1lim 124cos 22lim 42cos 2sin 2lim 2sin 41lim sin sin cos lim 2202020304

220222220==-=---=-=→→→→→→x x x x

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x 洛必达洛必达解：原式

定理1 设βα~,且)(lim x f β存在,则)(lim x f α存在,且)(lim )(lim x f x f βα=. 定理2 f g g e f ln lim lim =.

例7.求x x x sin 0)(tan lim +→的值.

解：由x x ~sin ①,x x ~tan ②,原式x x x +→=0lim ,由定理2,原式x x x e ln lim 0+→=, 又01lim 1

ln lim ln lim 2000=-=+++→→→x

x x x x x x x x 洛必达.所以原式.10==e

定理3 设),(~),(~x g x f βα且im 1,l αβ≠-).()(~x g x f ++βα则

.10sin ...2sin sin 10sin sin lim 求.8 例0的值x x x x x x +++++→ 解：因为,110110sin sin lim 0-≠=+

→x x x 所以由定理3得;10~10sin sin x x x x ++ 又因为，1212sin sin lim 0-≠=+→x x x 所以,1132lim 3sin 2sin sin lim 00-≠=+=+++→→x x x x x x x x

.12

9109...210sin 9sin ...2sin sin lim ......0-≠=+++=++++

→x x x x x x x x x 所以由定理3得x x x x x x 10...2~10sin ...2sin sin ++++++,

.5110...210lim 10sin ...2sin sin 10sin sin lim 00=++++=++++++→→x x x x x x x x x x x x