简单不等式的解法

∴4x2+6x+3>0对任意实数x恒成立.
∴原不等式可化为2x2+2kx+k<4x2+6x+3,
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第六章 6.2 简单不等式的解法
即2x2+(6-2k)x+3-k>0恒成立.
∴
2

Δ

0, (6

2k
)28(3 Nhomakorabeak
)

0,
即1<k<3.
(2)令m(a)=ax2+(a-2)x-2=(x2+x)a-2x-2,m(a)是关于a的一次函 数,
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变式训练1 (1)不等式f(x)=ax2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1},则 函数y=f(-x)的图象是 ( )
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(2)若不等式 x 1 +m<0的解集为{x|x<3或x>4},则m的值为
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第六章 6.2 简单不等式的解法
变式训练2 解关于x的不等式:ax2-(a+1)x+1<0.
【解析】若a=0,原不等式⇔-x+1<0⇔x>1.
若a<0,原不等式⇔(x-1 )(x-1)>0⇔x<1 或x>1.
a
a
若a>0,原不等式⇔(x-1 )(x-1)<0,(*)
1 a
综上所述,当a=1时,原不等式的解集为{x|x>2};
当0<a<1时,原不等式的解集是{x|2<x<1+ 1 };
1 a
当a<0或a>1时,原不等式的解集是{x|x>2或x<1+ 1 }.
1 a
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【点评】解任意含参数(单参)的一元二次不等式对参数进 行分类讨论时只需求出二次项系数等于零和判别式Δ=0时 所得到的参数的值,然后依此进行分类即可,这样这类问题便 有了“通法”,都可迎刃而解.
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变式训练3
(1)若关于x的不等式
2x2 2kx k 4x2 6x 3
<1的解集是一切
实数,则实数k的取值范围是
.
(2) 若命题“∃a∈[1,3],使ax2+(a-2)x-2>0”为真命题,则实数
x的取值范围是
.
【解析】(1)∵分母4x2+6x+3的Δ<0,
∵命题“∃a∈[1,3],使ax2+(a-2)x-2>0”为真命题,
∴m(1)>0或m(3)>0,
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第六章 6.2 简单不等式的解法
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【解析】当x∈(-∞,1]时,2-x> 1 即2-x>2-2,解得x<2,因此x≤1;
4
当x∈(1,+∞)时,log81x>
1 4
即log81x>log81(81)
1 4
=log813,解得x>3,因
此x>3.
综上可得x>3或x≤1.
【答案】A
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0,
即
m 2, 4(m 2)2 16(m 2) 0,
解得2mm2, 6.
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∴m的取值范围为[2,6).
(2)已知不等式可化为(x2-1)m+(1-2x)<0.
设f(m)=(x2-1)m+(1-2x),这是一个关于m的一次函数(或常数函
x2 a
(1 1 )x 2 1
⇔ a a >0⇔(x-2)[(1-
1 )x+ 2
-1]>0.
x2
aa
当a=1时,解为x>2;
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当0<a<1时,解为2<x<1+ 1 ;
1 a
当a>1时,解为x>2或x<1+ 1 ;
1 a
当a<0时,解为x>2或x<1+ 1 .
∴y=f(-x)=-x2+x+2.且f(-x)的两根分别为-1和2.
(2)由 x 1 +m<0,得 (1 m)x m2 1 <0,
xm
xm
即当1+m>0时,解集在两根之内,显然不合题意;
当1+m<0时有(x+m-1)(x+m)>0,其大根为1-m,小根为-m.
所以
1 m 4, m 3,
xm
.
【解析】(1)f(x)=ax2-x-c>0解集为{x|-2<x<1},即方程ax2-x-c=0
的两根为-2,1,∴2
2
1 1, a
1 c ,

a
∴
a c

1, 2,
∴f(x)=-x2-x+2,
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a
其解的情况应由 1 与1的大小关系决定,故
a
当a=1时,(*)式的解集为⌀;
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当a>1时,(*)式⇔1 <x<1;
a
当0<a<1时,(*)式⇔1<x<1 .
a
综上所述,当a<0时,解集为{x|x< 1或x>1};
a
当a=0时,解集为{x|x>1};
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第六章 6.2 简单不等式的解法
§6.2 简单不等式的解法
知识诠释 思维发散
一、一元一次不等式 一元一次不等式可整理为ax>b(a≠0).
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1.当a>0时,不等式的解为x>
b a
;
2.当a<0时,不等式的解为x<
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【解析】(1)∵函数y=log2[(m-2)x2+2(m-2)x+4]的定义域为R, ∴(m-2)x2+2(m-2)x+4>0对x∈R成立.
∴当m=2时,成立;
当m≠2时,根据对数真数恒大于零,得(m-2)x2+2(m-2)x+4>0的
解集为R.
∴mΔ

2 0,
得m=-3.
【答案】(1)C (2)-3
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题型2 含参数不等式的解法 例2 解关于x的不等式 x 1 > 1 (a为参数).
x2 a
【分析】移项,通分,把分式不等式转化为整式不等式,分类 讨论,得出不等式解集.
【解析】原不等式等价于 x 1 - 1 >0
x=x1=x2=-
b 2a
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一元二次 不等式 {x|x<x1或x> {x|x≠x1} R
不等式的 ax2+bx+c>0 x2}
解集
的解集
不等式
{x|x1<x<x2} 空集
ax2+bx+c<0
的解集
空集
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1>0的解集为
.
【解析】由题意知2,3是方程-x2+bx+c=0的两个实数解,根据
根与系数之间的关系得
2 3 b, 2 3 c,
即
b c

5, 6.
代入不等式cx2-bx-1>0,得6x2+5x+1<0,即(2x+1)(3x+1)<0,
即(2x+1)(3x+1)<0,解得- 1 <x<- 1.
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【解析】(1)方程x2-ax-20a2=0的两根是x1=-4a,x2=5a,则由关于 x的不等式x2-ax-20a2<0任意两个解的差不超过9,得|x1-x2|=|9a| ≤9,即-1≤a≤1,且a≠0.故a的最大值与最小值的和是0. (2)当x≤0时,由-|x+1|<0可得x≠-1; 当x>0时,由x2-1<0得-1<x<1,所以0<x<1, 故不等式的解集为{x|x<-1或-1<x<1}.
(A)2.
(B)1.
(C)0.
(D)-1.
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(2)已知函数f(x)=
| x 1| (x 0),

x2
1( x

0),
那么不等式f(x)<0的解集为
.
【分析】(1)任意两个解的差不超过9即不等式解的最大值 与最小值差值不超过9,因此解出不等式即可;(2)分段解出不 等式,最后求并集.
b a
.
二、一元二次不等式
1.解一元二次不等式的步骤:
(1)把二次项的系数a变为正的.(若a<0,那么在不等式两边都
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乘以-1,把系数变为正)
(2)解对应的一元二次方程.(先看能否因式分解,若不能,再看 Δ,然后求根)
(3)求解一元二次不等式.(根据一元二次方程的根及不等号 的方向,当a>0且Δ>0时,定一元二次不等式的解集的口诀: “小于号取中间,大于号取两边”)
数),从图象上看,要使f(m)<0在-2≤m≤2时恒成立,其等价条
件是:
f (2) 2(x2 1) (1 2x) 0,

f
(2)

2( x 2
1)

(1
2x)

0,
即
2 2
x2 x2

2x 2x
3 0, 1 0,
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2.一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系
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二次函数y=ax2+bx+c的
图象
(a>0,Δ=b2-4ac)
(Δ>0)
(Δ=0)
(Δ<0)
一元二次方程ax2+bx+c 有两个实 有两个相 无实根
=0的根
根
等的实根
x=x1或x=x2
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【答案】(1)C (2){x|x<-1或-1<x<1}
【点评】解不等式的核心问题是将不等式同解变形,由复杂 向简单转化,不等式的性质是同解变形的理论依据,方程的根 、函数的图象和性质都会给不等式的求解提供帮助,要注意 将它们有机结合,互相转化.
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2.使得1∈{x|2x2+ax-a2>0}的a的取值范围为
.
【解析】由1∈{x|2x2+ax-a2>0},得a2-a-2<0⇒-1<a<2,故a的范 围为(-1,2).
【答案】(-1,2)
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3.已知不等式-x2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3},则不等式cx2-bx-
2
3
所以原不等式的解集为{x|-1 <x<- 1}.
2
3
【答案】{x|- 1<x<-1}
23
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核心突围 技能聚合
题型1 简单不等式的解法 例1 (1)关于x的不等式x2-ax-20a2<0任意两个解的
差不超过9,则a的最大值与最小值的和是 ( )
.
(2)若不等式mx2-2x+1-m<0对满足-2≤m≤2的所有m都成立,
则实数x的取值范围是
.
【分析】(1)将函数定义域为R转化为不等式大于零恒成立, 然后通过转化为二次函数求解; (2)将m视为变量,转化为关于m的一次函数的单调性,构造不 等式关系,得出实数x的取值范围.
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当0<a<1时,解集为{x|1<x<1 };
a
当a=1时,解集为⌀; 当a>1时,解集为{x| 1 <x<1}.
a
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题型3 三个二次之间的转化
例3 (1)已知函数y=log2[(m-2)x2+2(m-2)x+4]的定义
域为R,则m的取值范围是
第六章 6.2 简单不等式的解法

解得

x

1 2
7 或x 1 2
7,
1 2
3

x 1 2
3,
所以,实数x的取值范围是( 1 7 , 1 3 ).
2
2
【答案】(1)[2,6) (2)( 1 7 ,1 3 )
2
2
【点评】(1)“三个二次”即一元二次函数、一元二次方程 、一元二次不等式是中学数学的重要内容,具有丰富的内涵
1.若函数f(x)=
l2ogx 8,1xx, x((1,,1],),则使f(x0)>
1 4
的x0的取值范围为
()
(A)(-∞,1]∪(3,+∞).
(B)(-∞,2]∪(4,+∞).
(C)(-∞,2)∪(3,+∞).
(D)(-∞,3)∪(4,+∞).
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第六章 6.2 简单不等式的解法
和密切的联系,同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容 的工具.高考试题中很多试题与“三个二次”问题有关,而不 等式的解法其核心内容也是一元二次不等式的解法,因此 “三个二次”及其关系的问题一直以来是高考中的热点.(2) 题是一个关于x的二次不等式,若将主元看作m,则变为关于m 的一次函数,从而使问题变为一次不等式.