1-4-行列式的概念 行列式的性质_行列式的计算
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并考虑到 t (123 ) = 0，t ( 231 ) = 2，t ( 312 ) = 2 及t (132 ) = 1，t ( 213 ) = 1，t ( 321 ) = 3 易发现
t 123 t 231 t 312 = (-1) ( )a11a22a 33 + (-1) ( )a12a 23a 31 + ( -1) ( )a13a 21a 32 t 132 t 213 t 321 + (-1) ( )a11a23a 32 + (-1) ( )a12a 21a 33 + ( -1) ( )a13a 22a 31
1 2 1 2 0 -3 -1 -1 = r4 - 2r1 0 -7 -3 -4 0 -1 -3 0
r4 - 4 r2
9
上三角行列式
1 2 1 2 r2 « r4 0 -1 -3 0 = 0 -7 -3 -4 0 -3 -1 -1
1 2 1 2 r3 - 7r2 0 -1 -3 0 = r4 - 3r2 0 0 18 -4 0 0 8 -1
n阶行列式的定义
n阶行列式
n阶行列式可定义为 a11 a12 L a21 a22 L Dn = M M an 1 an 2 L a1n a2n = M ann
逆序数
来自不同行不同列
p1p2 L pn
å
Байду номын сангаас
t pp Lp (-1) ( 1 2 n )a1p a2 p L anp ，
1 2 n
其中，p1p2 L pn 为12 L n的某一排列.
(3) 替换行 : ri + krj .
(3) 替换列 : ci + kc j .
行列式的性质
一次初等变换对行列式的影响
定理1-5
A(ri ? rj )
- A or A(ci ? c j )
-A ；
11 12 13 r r 17 18 19 c c 18 17 19 1 3 1 2 例21 14 15 16 = - 14 15 16 = 15 14 16 . 17 18 19 11 12 13 12 11 13
两数之和
a11 a12 L a21 a22 L = M M an 1 an 2 L
a1n a11 a12 L a2n a21 a22 L + M M M ann an 1 an 2 L
c b + g+ h e+ f d g+ h
a1n a 2n M ann
例20
a+b c+d a = e+ f g+ h e+ f
A =
= AT =
.
an1 an2 L
行列式的性质
定理1-4
a11 a12 L a21 a22 L M M an 1 an 2 L a1i L a2i L M ani L
(a1i (a2i (ani
¢ + a1 i) L ¢ + a2 i) L M ¢) L + ani
a1n a2n M ann ¢ a1 L i ¢ a2 i L M ¢ L ani
=
1 2 1 2 0 -1 -3 0 = 14. 0 0 18 -4 0 0 0
7 9
行列式的性质
由上例的启示，可以得到如下结果
a11 M ak 1 例28 c11 M cn 1
L L L L
0 M akk 0 c1k b11 M M cnk bn 1
a1k
L L L L
0 a11 L 0 = M b1n ak 1 L M bnn a1k b11 L M M akk an 1 L b1n M. ann
推论1-1 奇（偶）排列经过奇（偶）数次对换变成标准排列.
n阶行列式的定义
回到三阶行列式 a11 a12 a13 D 3 = a21 a 22 a23 a 31 a 32 a 33 = a11a22a 33 + a12a23a 31 + a13a 21a 32 - a11a 23a 32 - a12a 21a 33 - a13a 22a 31
行列式的性质
再回顾三阶行列式
a11 a12 a13 D3 = a21 a22 a23 a 31 a 32 a 33
骣 a11 a12 a13 ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ A3 = ç a a a 21 22 23 ÷ ç ÷ ç ÷ ç a 31 a 32 a 33 ÷ ÷ ç 桫
三阶方阵的行列式 （三阶行列式）
V
B
C
o
A
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a 31 a 32 a 33
记为： det (A3 ) or A3
行列式的性质
2 1 1 1 2 1 例27 计算四阶行列式D4 = 3 -1 0 2 3 -1
2 1 1 1 2 1 解D 4 = 3 -1 0 2 3 -1 3 2 r1 « r2 = 2 4 1 2 1 2 1 1 3 -1 0 2 3 -1 2 3 2 4
3 2 的值. 2 4
r2 - 2r1 r3 - 3r1
A ( kri ) = k A or A ( kci ) = k A ；
kAn = k An .
例 把四阶方阵A , B 按列分块为A = (a , g1, g2, g 3 ), B = (b , g1, g2, g 3 ), 且已知 A = 4, B = 1, 则行列式 A + B = _ _ _ _ _ _ _ .
n阶行列式的定义
例18 一些常见行列式 l1 l2 (1) = l 1l 2 L l n . O ln
l1 (2) ln l2 N =
(n - 1)n (-1) 2 l 1l 2 L
l n.
n阶行列式的定义
a11 a12 L a22 L (3) O a1n a11 a2n a21 a22 = M M M O ann an 1 an 2 L
a c a c b d b d = + + + . e g f h e g f h
行列式的性质
行列式的最关键的性质与矩阵的初等变换紧密相关。
矩阵的初等变换
(1 )
对换行:ri « rj ;
(1 )
对换列:ci « c j ;
(k ¹ 0)
(2) 数乘行 : kri ; (k ¹ 0)
(2) 数乘列 : kci ;
1 1 2 2
n n
p1p2 L pn ;q1q2 L qn 均为12 L n的某一排列.
n阶行列式的定义
定义1-2
由定理1-2，n阶行列式也可以定义为
a11 a12 L a1n a21 a22 L a2n t pp Lp Dn = = å (-1) ( 1 2 n )a p 1a p 2 L a p n， 1 2 n M M M p1p2 L pn an 1 an 2 L ann 其中，p1p2 L pn 为12 L n的某一排列.
若行列式中两行 （列）元素对应 成比例，则该行 列式为零。
行列式的性质
a11 a12 a13 例25 已知 a21 a 22 a 23 = 2，则 a 31 a 32 a 33 a21 a22 a 23 2a 31 - a11 2a 32 - a12 2a 33 - a13 = ? 2a11 + a21 2a12 + a22 2a13 + a 23
定义1-2’’
行标是标准排列
n阶行列式的定义
定理1-2
a11 a12 L a21 a22 L Dn = M M an 1 an 2 L a1n a2n = M ann
p1p2 L pn q1q2 L qn
å
t p p L p +t qq Lq (-1) ( 1 2 n ) ( 1 2 n )a p q a p q L a p q
= a11a22 L ann . ann
(4) an 1
N L
a2,n - 1 M a n ,n - 1
a1n a11 L a2n a21 L = M M N ann an 1
a1,n - 1 a1n a2,n - 1
=
(n - 1)n (-1) 2 a
1n a 2,n - 1 L
an 1.
n阶行列式的定义
本节的核心问题：一般的n阶方阵的行列式（n阶行列式）
Dn = An = det (An ) =
a11 a12 a21 a22 M M an 1 an 2
L L O L
a1n a2n 怎么定义？ M ann
n阶行列式的定义
仔细观察三阶行列式
a11 a12 a13 D 3 = a21 a22 a23 a 31 a 32 a 33 = a11a22a 33 + a12a 23a 31 + a13a21a 32 - a11a 23a 32 - a12a 21a 33 - a13a22a 31
可以发现它的每一个“加数”是由三个元素相乘得 到，而这三个元素处于不同行不同列。 剩下的关键问题是确定每个加数前是“+”还是“-”， 这个问题可以借助排列的逆序数这个工具解决。
n阶行列式的定义
逆序数
p1，p2， L ，pi， L ，p j， L ，pn
若与标准次序不同，则构成 一个“逆序”
设p1，p2， L ，pi， L ，p j， L ，pn 为1， 2， L ，n中某一数，并规定 按自然数从小到大为标准次序，则 逆序数为奇数，称为奇排列； 逆序数为偶数，称为偶排列
行列式的性质
一次初等变换对行列式的影响 定理1-7
A(ri + krj ) = A or A(ci + kc j ) = A .
例26计算三阶行列式D =
199 100 101 401 200 199 598 300 299
行列式的性质
例27 设函数 a11 + a21 + f (x ) = a 31 + a 41 + 则f (x )的次数至多是多少？ x x x x a12 a22 a 32 a 42 + + + + x x x x a13 a23 a 33 a 43 + + + + x x x x a14 a24 a 34 a 44 + + + + x x , x x
方阵的行列式
引例
S Y = a11a22 - a12a21
骣 a11 a12 ÷ ç ÷ A2 = ç ç ÷ a21 a22 ÷ ç 桫
B
A
o
a11 a12 a21 a22
二阶方阵的行列式 （二阶行列式）
记为： det(A2 ) or A2
方阵的行列式
= a11a22a 33 + a12a23a 31 + a13a21a 32 - a11a23a 32 - a12a21a 33 - a13a22a 31
x 1 例19 已知f (x ) = 3 1 1 1 x 1 2 x 1 2x 2 -1 ，求x 3的系数. 1 1
行列式的性质
在行列式的计算中，行列式的性质对简化行列式 的计算起着重要作用。
定理1-3
行列式与它的转置行列式相等，即 A = AT .
a 11 a 21 M a 12 a 22 M L L a 1n a 2n M a nn a 11 a 12 M a 1n a 21 a 22 M a 2n L L L an1 an2 M a nn
方阵的行列式
一般地
骣 a11 a12 L ç ç ç a21 a22 L ç ç A= ç ç M M ç ç ç an 1 an 2 L ç 桫 a1n ÷ ÷ ÷ a2n ÷ ÷ ÷ 揪 ÷ M÷ ÷ ÷ ÷ ann ÷ a11 a12 L a21 a22 L g or det ( g) 揪 井 A = M M an 1 an 2 L a1n a2n . M ann
该排列中所有逆序的总数 称为该“排列的逆序数 ”记为 ” t ( p1, L , pn )
n阶行列式的定义
例 16 计算排列645231的逆序数.
例17 计算排列n, n - 1, L ,2,1的逆序数.
n阶行列式的定义
关于排列的奇偶性，有如下结果
定理1-1
对换一个排列中两个元素，排列改变奇偶性.
行列式的性质
11 12 13 r « r 11 12 13 1 2 例22 11 12 13 = - 11 12 13 ? 17 18 19 17 18 19 11 12 13 11 12 13 = 0. 17 18 19
若行列式中两行（列）元素完全相同，则该 行列式为零。
行列式的性质
一次初等变换对行列式的影响 定理1-6
n
行列式的性质
22 24 26 例23 42 45 48 = 2 创3 17 18 19 11 12 13 66 12 13 14 15 16 = 84 15 16 . 17 18 19 102 18 19
数乘行列式等于把该数乘到该行列式 的某一行或某一列的元素上。
11 12 13 11 12 13 例24 33 36 39 = 3 11 12 13 = 0. 17 18 19 17 18 19
t 123 t 231 t 312 = (-1) ( )a11a22a 33 + (-1) ( )a12a 23a 31 + ( -1) ( )a13a 21a 32 t 132 t 213 t 321 + (-1) ( )a11a23a 32 + (-1) ( )a12a 21a 33 + ( -1) ( )a13a 22a 31
1 2 1 2 0 -3 -1 -1 = r4 - 2r1 0 -7 -3 -4 0 -1 -3 0
r4 - 4 r2
9
上三角行列式
1 2 1 2 r2 « r4 0 -1 -3 0 = 0 -7 -3 -4 0 -3 -1 -1
1 2 1 2 r3 - 7r2 0 -1 -3 0 = r4 - 3r2 0 0 18 -4 0 0 8 -1
n阶行列式的定义
n阶行列式
n阶行列式可定义为 a11 a12 L a21 a22 L Dn = M M an 1 an 2 L a1n a2n = M ann
逆序数
来自不同行不同列
p1p2 L pn
å
Байду номын сангаас
t pp Lp (-1) ( 1 2 n )a1p a2 p L anp ，
1 2 n
其中，p1p2 L pn 为12 L n的某一排列.
(3) 替换行 : ri + krj .
(3) 替换列 : ci + kc j .
行列式的性质
一次初等变换对行列式的影响
定理1-5
A(ri ? rj )
- A or A(ci ? c j )
-A ；
11 12 13 r r 17 18 19 c c 18 17 19 1 3 1 2 例21 14 15 16 = - 14 15 16 = 15 14 16 . 17 18 19 11 12 13 12 11 13
两数之和
a11 a12 L a21 a22 L = M M an 1 an 2 L
a1n a11 a12 L a2n a21 a22 L + M M M ann an 1 an 2 L
c b + g+ h e+ f d g+ h
a1n a 2n M ann
例20
a+b c+d a = e+ f g+ h e+ f
A =
= AT =
.
an1 an2 L
行列式的性质
定理1-4
a11 a12 L a21 a22 L M M an 1 an 2 L a1i L a2i L M ani L
(a1i (a2i (ani
¢ + a1 i) L ¢ + a2 i) L M ¢) L + ani
a1n a2n M ann ¢ a1 L i ¢ a2 i L M ¢ L ani
=
1 2 1 2 0 -1 -3 0 = 14. 0 0 18 -4 0 0 0
7 9
行列式的性质
由上例的启示，可以得到如下结果
a11 M ak 1 例28 c11 M cn 1
L L L L
0 M akk 0 c1k b11 M M cnk bn 1
a1k
L L L L
0 a11 L 0 = M b1n ak 1 L M bnn a1k b11 L M M akk an 1 L b1n M. ann
推论1-1 奇（偶）排列经过奇（偶）数次对换变成标准排列.
n阶行列式的定义
回到三阶行列式 a11 a12 a13 D 3 = a21 a 22 a23 a 31 a 32 a 33 = a11a22a 33 + a12a23a 31 + a13a 21a 32 - a11a 23a 32 - a12a 21a 33 - a13a 22a 31
行列式的性质
再回顾三阶行列式
a11 a12 a13 D3 = a21 a22 a23 a 31 a 32 a 33
骣 a11 a12 a13 ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ A3 = ç a a a 21 22 23 ÷ ç ÷ ç ÷ ç a 31 a 32 a 33 ÷ ÷ ç 桫
三阶方阵的行列式 （三阶行列式）
V
B
C
o
A
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a 31 a 32 a 33
记为： det (A3 ) or A3
行列式的性质
2 1 1 1 2 1 例27 计算四阶行列式D4 = 3 -1 0 2 3 -1
2 1 1 1 2 1 解D 4 = 3 -1 0 2 3 -1 3 2 r1 « r2 = 2 4 1 2 1 2 1 1 3 -1 0 2 3 -1 2 3 2 4
3 2 的值. 2 4
r2 - 2r1 r3 - 3r1
A ( kri ) = k A or A ( kci ) = k A ；
kAn = k An .
例 把四阶方阵A , B 按列分块为A = (a , g1, g2, g 3 ), B = (b , g1, g2, g 3 ), 且已知 A = 4, B = 1, 则行列式 A + B = _ _ _ _ _ _ _ .
n阶行列式的定义
例18 一些常见行列式 l1 l2 (1) = l 1l 2 L l n . O ln
l1 (2) ln l2 N =
(n - 1)n (-1) 2 l 1l 2 L
l n.
n阶行列式的定义
a11 a12 L a22 L (3) O a1n a11 a2n a21 a22 = M M M O ann an 1 an 2 L
a c a c b d b d = + + + . e g f h e g f h
行列式的性质
行列式的最关键的性质与矩阵的初等变换紧密相关。
矩阵的初等变换
(1 )
对换行:ri « rj ;
(1 )
对换列:ci « c j ;
(k ¹ 0)
(2) 数乘行 : kri ; (k ¹ 0)
(2) 数乘列 : kci ;
1 1 2 2
n n
p1p2 L pn ;q1q2 L qn 均为12 L n的某一排列.
n阶行列式的定义
定义1-2
由定理1-2，n阶行列式也可以定义为
a11 a12 L a1n a21 a22 L a2n t pp Lp Dn = = å (-1) ( 1 2 n )a p 1a p 2 L a p n， 1 2 n M M M p1p2 L pn an 1 an 2 L ann 其中，p1p2 L pn 为12 L n的某一排列.
若行列式中两行 （列）元素对应 成比例，则该行 列式为零。
行列式的性质
a11 a12 a13 例25 已知 a21 a 22 a 23 = 2，则 a 31 a 32 a 33 a21 a22 a 23 2a 31 - a11 2a 32 - a12 2a 33 - a13 = ? 2a11 + a21 2a12 + a22 2a13 + a 23
定义1-2’’
行标是标准排列
n阶行列式的定义
定理1-2
a11 a12 L a21 a22 L Dn = M M an 1 an 2 L a1n a2n = M ann
p1p2 L pn q1q2 L qn
å
t p p L p +t qq Lq (-1) ( 1 2 n ) ( 1 2 n )a p q a p q L a p q
= a11a22 L ann . ann
(4) an 1
N L
a2,n - 1 M a n ,n - 1
a1n a11 L a2n a21 L = M M N ann an 1
a1,n - 1 a1n a2,n - 1
=
(n - 1)n (-1) 2 a
1n a 2,n - 1 L
an 1.
n阶行列式的定义
本节的核心问题：一般的n阶方阵的行列式（n阶行列式）
Dn = An = det (An ) =
a11 a12 a21 a22 M M an 1 an 2
L L O L
a1n a2n 怎么定义？ M ann
n阶行列式的定义
仔细观察三阶行列式
a11 a12 a13 D 3 = a21 a22 a23 a 31 a 32 a 33 = a11a22a 33 + a12a 23a 31 + a13a21a 32 - a11a 23a 32 - a12a 21a 33 - a13a22a 31
可以发现它的每一个“加数”是由三个元素相乘得 到，而这三个元素处于不同行不同列。 剩下的关键问题是确定每个加数前是“+”还是“-”， 这个问题可以借助排列的逆序数这个工具解决。
n阶行列式的定义
逆序数
p1，p2， L ，pi， L ，p j， L ，pn
若与标准次序不同，则构成 一个“逆序”
设p1，p2， L ，pi， L ，p j， L ，pn 为1， 2， L ，n中某一数，并规定 按自然数从小到大为标准次序，则 逆序数为奇数，称为奇排列； 逆序数为偶数，称为偶排列
行列式的性质
一次初等变换对行列式的影响 定理1-7
A(ri + krj ) = A or A(ci + kc j ) = A .
例26计算三阶行列式D =
199 100 101 401 200 199 598 300 299
行列式的性质
例27 设函数 a11 + a21 + f (x ) = a 31 + a 41 + 则f (x )的次数至多是多少？ x x x x a12 a22 a 32 a 42 + + + + x x x x a13 a23 a 33 a 43 + + + + x x x x a14 a24 a 34 a 44 + + + + x x , x x
方阵的行列式
引例
S Y = a11a22 - a12a21
骣 a11 a12 ÷ ç ÷ A2 = ç ç ÷ a21 a22 ÷ ç 桫
B
A
o
a11 a12 a21 a22
二阶方阵的行列式 （二阶行列式）
记为： det(A2 ) or A2
方阵的行列式
= a11a22a 33 + a12a23a 31 + a13a21a 32 - a11a23a 32 - a12a21a 33 - a13a22a 31
x 1 例19 已知f (x ) = 3 1 1 1 x 1 2 x 1 2x 2 -1 ，求x 3的系数. 1 1
行列式的性质
在行列式的计算中，行列式的性质对简化行列式 的计算起着重要作用。
定理1-3
行列式与它的转置行列式相等，即 A = AT .
a 11 a 21 M a 12 a 22 M L L a 1n a 2n M a nn a 11 a 12 M a 1n a 21 a 22 M a 2n L L L an1 an2 M a nn
方阵的行列式
一般地
骣 a11 a12 L ç ç ç a21 a22 L ç ç A= ç ç M M ç ç ç an 1 an 2 L ç 桫 a1n ÷ ÷ ÷ a2n ÷ ÷ ÷ 揪 ÷ M÷ ÷ ÷ ÷ ann ÷ a11 a12 L a21 a22 L g or det ( g) 揪 井 A = M M an 1 an 2 L a1n a2n . M ann
该排列中所有逆序的总数 称为该“排列的逆序数 ”记为 ” t ( p1, L , pn )
n阶行列式的定义
例 16 计算排列645231的逆序数.
例17 计算排列n, n - 1, L ,2,1的逆序数.
n阶行列式的定义
关于排列的奇偶性，有如下结果
定理1-1
对换一个排列中两个元素，排列改变奇偶性.
行列式的性质
11 12 13 r « r 11 12 13 1 2 例22 11 12 13 = - 11 12 13 ? 17 18 19 17 18 19 11 12 13 11 12 13 = 0. 17 18 19
若行列式中两行（列）元素完全相同，则该 行列式为零。
行列式的性质
一次初等变换对行列式的影响 定理1-6
n
行列式的性质
22 24 26 例23 42 45 48 = 2 创3 17 18 19 11 12 13 66 12 13 14 15 16 = 84 15 16 . 17 18 19 102 18 19
数乘行列式等于把该数乘到该行列式 的某一行或某一列的元素上。
11 12 13 11 12 13 例24 33 36 39 = 3 11 12 13 = 0. 17 18 19 17 18 19