静电的基本现象和规律

q 解： dq dl 2R dq qdl dE 2 2 2 4 o r 8 R o r
R
r
x

P
x dE
x E E x dE x dE cos dE L L L r
E
2R
0
qx qxdl 2 3 2 2 8 o Rr 4o x R
dx sin dE y 2 4o r
x actg
dx a csc d
2
dx cos a csc cos d cos dEx d 2 2 2 4o r 4o a csc 4o a
2
Ex
2
1
cos sin 2 sin 1 d 4o a 4o a
2ql 2p EA 3 4o r 4o r 3
例3、计算电偶极子中垂线上任一点B的场强。
解：
EB E cos E cos
E E 4o r 2 l 2 4
l 2 r l 4
2 2
E+

q


EB
E-
B
cos
r

-q
2 32
l
q
EB 2 E cos
第五章 静电场 §1 静电的基本现象和规律
1.1 物质的电结构 电荷守恒定律 电荷：是代表物质间发生电
力相互作用的一种属性。自
然界中存在着两种不同性质
的电荷，一种称为正点荷，
另一种称为负电荷。
电荷的基本性质：
电荷与电荷之间存在相互作用力，
同性相斥；异性相吸。
电荷量子化 1906-1917年，密立根用液滴法首先从实验上证明了， 微小粒子带电量的变化不连续。 电量：带电体所带电荷的量值，一般用q表示，在SI制 中，其单位为库仑（C）。
d E E dS
E
几种常见的电场线：
+
–
点电荷的场强
+
+
+
–
静电场中电场线的特点： 1、电场线起始于正电荷，终止于负电荷,在无电荷 处不中断。 2、电场线不可能是闭合曲线。
3、任意两条电场线不相交。
3.2 电通量
电场强度通量（电通量）e：
通过电场中任一曲面的电场线数目。
1、均匀电场中通过平面S的电通量
R
x 2 rdr 4o x r
2

2 32

E
0
dE 2 o
x 1 ( x 2 R 2 )1 2
E 2 o
x 1 ( x 2 R 2 )1 2
讨论：对带电圆板，当 x<< R 时 ：
x x R
2 2
在真空中，通过任 一闭合曲面的电场强 度通量等于该曲面所 包围的所有电荷的代 数和的1/o倍。
1 e E dS
S
o
q
i 1
n
i
验证高斯定理：
1、点电荷在球形高斯面的圆心处
球面场强：
E
dS
E
q 4o R
2
+
q dS d e E cos 0dS 2 4o R


3/ 2
例6、均匀带电圆板，半径为R，电荷面密度为。 求轴线上任一点P的电场强度。
解： 利用带电圆环场强公式
dr r
E
4o x R
2

qx
2 3/ 2

dE
R
P
x
dq 2 rdr
dE x 2 rdr 4o x r
2

2 32

E dE
q1q2 F K 2 r
q1q2 ˆ F K r 2 r
若表示
q1
r
q2
r
r
从电荷1指向电荷2
电荷2 受电荷 1的力 表达式仍为
电荷1受电荷2的力
q1q2 ˆ F K r 2 r
但
q1
r 从电荷2指向电荷1
r
r
q2
在SI中:
K 8.9875 10 N m / C 9 10 N m / C
q ne
n=1，2，3，…
电荷守恒定律： 在一个和外界没有电荷交换的系统内，正负电荷的 代数和在任何物理过程中保持不变。
Q c
i
电荷守恒定律是物理学中普遍的基本定律
1.2 库仑定律
1.点电荷:一种可以忽略其形状大小的带电体
2.库仑定律
1785年，库仑通过扭称实验得到。
在真空中， 两个静止点电荷之间的相互作用力大 小，与它们的电量的乘积成正比，与它们之间距离
例2、计算在电偶极子延长线上任一点A的场强。
q 解： E 2 4o r l 2
-q o
l
q r
E- A
E+
r
q E 2 4o r l 2 q 2rl 1 E A E E 2 4 2 2 4o r 1 l 4r
r l l 2 4r 2 0
S
外法线方向为正
（1）当 < 90°时： 电场线穿出闭合曲面，电通量为正 （2）当 > 90°时： 电场线穿进闭合曲面，电通量为负 （3）当 = 90°时： 电场线与曲面相切，电通量为零
例7、有一三棱柱放在电场强度为E =200 N· C-1的均 匀电场中。求通过此三棱柱的电场强度通量。 解： y n
qdS q q 2 e 4 R 2 2 S 4 R 4o R o o
2、点电荷在任意形状的高斯面内
通过球面S的电场线也 必通过任意曲面S' ，即它 们的电通量相等。为q/o
S'
+
S
q e E dS
S
o
3、电荷q在闭合曲面以外
穿进曲面的电场线条数 等于穿出曲面的电场线条数。
试验电荷： （1）点电荷 （2）正电荷 （3）电量足够小 1、在电场的不同点上放 同样的试验电荷qo 结论： 电场中各处的力 学性质不同。 2、在电场的同一点上放 不同的试验电荷 结论：
F3
qo c Q
qo a
F1
F 恒矢量 q0
qo
b
F2
电场强度定义：
F E qo
单位：N· C-1
n
E
e ES

E
e ES cos E S
2、非均匀电场的电通量
d e E cos dS E dS e E cos d E dS
S S
n
dS
E
对闭合曲面的电通量：
e E dS
dx dE 2 4o r dEx dE cos dx cos 2 4o r
P
r
1
dEx
a
2
x
o x dx
dx sin dE y dE sin 2 4o r
dx cos dE x 2 4o r
a r a csc sin
dV ˆ ˆ r r 2 2 V 4 r 4o r o
dq
线电荷： dq =dl
面电荷：dq=dS
4、电偶极子
电偶极子： 大小相等，符号相反并有一微 小间距的两个点电荷构成的复合体。
电偶极矩：
p ql
-q
p
l
q
电偶极子是个很重要 的物理模型，在研究电极 化，电磁波的发射和接收 都会用到。
电场强度的大小为F/qo。 电场强度的方向为正电荷在该处所受电 场力的方向。
2.3 电场强度叠加原理
F F1 F2 Fn
F F1 F2 F qo qo qo qo
场强叠加原理：
q1
Fn P
F3
F F2
qo
F1
q2
q3
qn
点电荷系电场中某点的场强等于各点电 荷单独存在时在该点场强的矢量和。
1 ES1 cos ES1
2 3 4 0
E
S1
S3
o
x
5 ES5 cos ES1
z
1 2 3 4 5 0
3.3 高斯定理
高斯(K.F.Gauss)是德 国物理学家和数学家， 他在理论物理和实验物 理以及数学方面均有杰 出的贡献。他导出的高 斯定理表述了电场中通 过任一闭合曲面的电通 量与该曲面所包围的源 电荷之间的定量关系， 是静电场的一条基本定 理，也是电磁场理论的 基本规律之一。 真空中的高斯定理：
2 o 2
ˆ2 r
q2
根据场强叠加原理：
E Ei
q3
qn
点电荷系的场强：
E
qi ˆ r 2 i 4o ri
3、电荷连续分布带电体的场强
电荷元dq在P点的场强：
P
dE
dq 4o r
2
r
dq
dE
ˆ r
带电体在P点的场强：
wenku.baidu.com
E dE
体电荷：dq =dV
S
o
qi E dS
0
E 2 o
结论： 当考察点很接近圆板时，可以把带电圆 板近似看作无限大带电平面来处理。
§3 高斯定理
3.1 电场线
电场线： 描述电场分布情况的曲线。
1、曲线上每一点的切线方向表示该点电场强度E 的方向 2、曲线的疏密表示该点处场强E的大小。即： 垂直通过单位面积的电场线条数，在数值上就 等于该点处电场强度的大小
2
sin dE y d E y dE y cos1 cos 2 4o a 4o a
1
无限长带电直线： 1 = 0 ，2 =
Ex 0
E Ey 2o a
例5、电荷q均匀地分布在一半径为R的圆环上。计 算在圆环的轴线上任一给定点P的场强。
的平方成反比；作用力的方向沿着它们的联线，同
号电荷相斥，异号电荷相吸。
库仑(Charlse-Augustin de Coulomb 1736-1806)， 法国工程师、物理学家。1736年6月14日生于法国 昂古莱姆。1806年8月23日在巴黎逝世。早年就读 于美西也尔工程学校。离开学校后，进入皇家军事 工程队当工程师。 法国大革命时期，库仑辞去一切职务，到布卢瓦致 力于科学研究。法皇执政统治期间，回到巴黎成为 新建的研究院成员。
所以
4o r l 4
2

ql
因为r>>l
3
EB
ql 4o r
3

p 4o r
例4、真空中有均匀带电直线，长为L，总电量为Q。 线外有一点P，离开直线的垂直距离为a，P点和直线 两端连线的夹角分别为1和2 。求P点的场强。（设 电荷线密度为） y dE dEy 解： 电荷元：dq=dx
9 2 2 9 2
2
令 K
1 4 0
0 8.8510
12
C m2 N
2
真空介电常量 真空电容率
1 q1q2 ˆ F r 2 40 r
3.电力叠加原理
i
F Fi
例1、在氢原子中，电子与质子的距离约为5.310-11m。求它
们之间的万有引力和静电力。（已知G=6.6710-11 N· m2· kg-2， M=1.6710-27 kg , m=9.1110-31 kg）
解：
1 e (1.6 10 ) 8 Fe 8.23 10 N 2 2 4o r 4 8.85 1012 5.3 1011
2
19 2


FG 6.67 10
11
1.67 10
mM FG G 2 r
27
5.3 10
9.1110
11 2
e E dS 0
S
+
高斯定理的物理意义
(1)静电场是一个有源场,电场线始于正电荷,终于负电荷。
(2)静电场是一种特殊形式的有源场,任何点电荷产生的
场强必和1/r2成正比。(参阅赵凯华<<电磁学>>)
3.4 高斯定理的应用
高斯定理的一个重要应用就是计算电场强度
qi e E dS
31
3.64 1047 N
Fe FG 2.27 1039 倍
§2 电场 电场强度
2.1 静电场
电场：
电荷周围存在着的一种特殊物质。
电荷
电场
电荷
静电场： 静止电荷所产生的电场
电场的两个重要性质：
力学性质： 电荷在电场中要受到电场力的作用。 能量性质： 电场力对电荷有作功的本领。
2.2 电场强度
E E1 E2 En
电场强度的计算
1、点电荷的场强：
r
F
qo
qqo ˆ F r 2 4o r F E qo
q
E
q 4o r
2
ˆ r
2、点电荷系的场强
E1 E2
4 r 4 r q2
q1
2 1 o 1
ˆ r
E q1 r1 r2 r 3 r n P