小波的生成方法

k
k
分析推导过程：
由H ()
1 2
hk eik是关于ei的一个多项式。
kA
H ( ) 0,我们可以设＝是H ()的N重根。
H ( ) [ 1 (1 ei )]N Q(ei )
2 其中，Q是实系数多项式。
分析推导过程：
考虑H ()的模的平方所组成的多项式。
H ( ) 2 [cos2 ( )]N | Q(ei ) |2
2
由于Q是实系数多项式，Q(ei )＝Q(ei )。
| Q(ei ) |2 ＝Q(e－i )Q(ei )
| Q(ei ) |2 实质上是cos( )的多项式。
也可以写为cos2 ( ),sin2 ( )的多项式。
2
2
分析推导过程：
改写 | Q(ei ) |2 ，
| Q(ei ) |2 ＝P(sin2 ( )),
反过来，如正交尺度函数有紧支集，则 双尺度序列则必是只有有限项非零。
当(x k)是规范正交基时，我们有
hk (x),(2x k)
(x)(2x k)dx
生成方法的研究起点：
紧支集 {hk}只有有限个非零，且为 实数。
正交
H () 2 H ( ) 2 1
规范 ˆ(0) 1
2
令y cos2 ( )。
2
H ( ) 2 [cos2 ( )]N P(sin2 ( ))
2
2
则：H () 2 H ( ) 2 1
变为: yN P(1 y) (1 y)N P( y) 1 (*) ( P( y) 0, y [0,1] )
下面的工作由Daubechies完成：
引理1：
N 7时Daubechies小波的(x)与 (x)
关于这种构造方法的讨论：
这种方法的不足之处：
光滑性很差。 不具有对称性。
关于这种构造方法的讨论：
Meyer用完全不同的方法，构成出了满足精 确重建条件的H。
|
H
(
)
|2
1
(2N 1)! [(N 1)!]2 22N
1
0
s
in
2
N
1
xdx
PM
(z)＝ aN 2
[
K k 1
(z
rk
)(z
rk1 )] [
J j 1
(z
z
j )(z
z
j
)(z
z
1 j
)
(z
z
1 j
)]
z ei
| (ei z0 )(ei z01) | z0 1 (ei z0 )(z0 ei )
z0
1 (ei
2
z0 )
取m(z) [aN
2
K
J
1K
(e2i 2ei Re(z j ) | z j |2 )]
k 1
j 1
k 1
j 1
(3) 计算：H ( ) [ 1 (1 ei )]N Q(ei )
2
(4) 由H () {hk}
N 2时Daubechies小波的(x)与 (x)
N 3时Daubechies小波的(x)与 (x)
N 5时Daubechies小波的(x)与 (x)
即
R(1 y) R( y) 0
这表明：R只要是一个以y 1 为反对称轴的多项式， 2
则P( y) PN ( y) y N R( y)是方程的解。
构造紧支集正交小波的双尺度序列的 一般步骤：
(1) 选择N 2，和满足一定条件的奇多项式R(z),
得到P(
z)
PN
(
z
)
z
N
R(
z
1 2
)
其中：PN (z)
1
F ()eixd
2
eib f (a x)
1
F ()eixd
2
F ()是实值函数。
反过来，由
eib f (a x)＝eib f (a x) 两边作Fouier变换，
左端＝eib fˆ ()eia
右端 eib f (a x)eixdx eib fˆ ()eia
eib fˆ ()eia是实值函数，定义为F () fˆ ()＝F ()ei(ab)
|
z
2 j
|]2 [
(ei rk )
(e2i 2ei Re(z j ) | z j |2 )]
k 1
j 1
k 1
j 1
显然，是一N阶的实系数多项式。并且
| m(ei ) |2 ＝| PM (ei ) |＝M ( )
到此，我们得到了由| QN (ei ) |2 构造QN (ei )的方法。
将QN (ei )代入
分析多项式的特性：
零点成对出现
（1） PM (z0 )＝0 PM (z0－1)＝0 PM (z)＝z 2N PM (z 1)
（2） PM (z0 )＝0 PM (z0 )＝0 an是实数， PM (z)＝PM (z)
x y
设{rk }是PM (z)的实数根，{z j}是PM (z)的复数根，则
取的标准形式：ˆ (0)＝1
ˆ ( )＝
j 1
H
(2j
)
(x)＝ 1 H ( )eixd
2 j1
2j
3。 定义算子：T ( f (x)) hk f (2x k)
k
则，尺度函数是算子T的不动点。
（即：满足T ( f (x))＝f (x)的函数f (x)。）
在一定的条件下，我们可以用迭代算法计算算子
注：
在前面的三个条件中，最重要的是正交 性条件。
H () 2 H ( ) 2 1
这个条件又被称为精确重建条件。
由这些条件，我们能够得到：
H (0) 1 hk 2
k
ˆ(2) H ()ˆ() ˆ(0) H (0)ˆ(0)
H ( ) 0
(1)k hk 0
k
h2k h2k1 1
n1
eiN PM (ei )
PM
(ei )
1 2
N 1
aN nein
n0
a0eiN
1 2
N n1
a ei( N n) n
我们只需使
| m(ei ) |2 ＝| PM (ei ) |
令：z ei
PM
(z)
1 2
N 1
aNn zn
n0
a0 z N
1 2
N
an z N n
n1
是2N阶的多项式，从而有2N个零点。
(2) {an}l 2具有广义线性相位的充要条件是：
eib an
e a ib 2n0 n
n0
1 2
Z
即，{an}关于n0是共轭对称（斜对称）。
证明：
(1)设f L2，具有广义线性相位，则：
f (x)
1
F ()ei(a e b) ix d
2
eib f (a x)
1
F ()eixd
2
eib f (a x)
N 1 N j0
1 j
j z j
构造紧支集正交小波的双尺度序列的 一般步骤：
(2)
计算
PN
(
z
)
z
N
R(
z
1 2
)的全部零点，并在这些零点
中，每四个复零点中，选两个；每两个零点中选一个，由
Riesz定理中的方法，构造Q(ei )
aN
2
K
J
1K
J
| rk1 |
|
z
2 j
|]2 [
(ei rk )
N
M () an cos(n) n0
则存在一个三角多项式
使
| m() |2 ＝M ()
N
m( ) anein n0
N
证： M () an cos(n) n0
a0
1 2
N n1
an (ein
ein
)
eiN ( 1 2
N 1
aN
e in
n
n0
a0eiN
1 2
N
anei( N n) )
小波的生成方法
已知双尺度序列 {hk }，求尺度函数 (x)的方法。
1。 由双尺度方程： (x) hk (2x k)
k
(显然，解此函数方程是 非常困难的。）
2。 利用双尺度方程的频域形式：
由ˆ( ) H ( )ˆ( )
22
H ( )H ( )ˆ( )
2 44
j 1
H
(2j
)ˆ (0)
N1
(
)
1
ei
i
ei / 2 sin / 2 /2
而Nm (t)是N1(t)的m次卷积。
Nm ()
1
ei
i
m
eim / 2
sin / /2
2
m
由此我们可以得到：
hkm
2m1
m k
0k m
0
其它
对m=2时，我们进行正交化处理：
sin( / 2)
2
(t
)
[1
2
/2 sin2 (
/
2)]1/
2
3
关于线性相位滤波
将尺度函数和小波当作滤波函数。为了 减小或避免小波分解和重构中的失真， 我们希望小波所对应的镜像滤波器具有 线性相位或广义线性相位。
函数的线性相位与广义线性相位的定义
令f (x) L2, 称f (x)具有线性相位，若
fˆ () fˆ () eia 其中，a是一个实常数， 号与无关。
n
(
x)
)
[0,
(
A
(2n 2n
1)
L)
],
当n ,n (x) (x) sup p((x)) [0, L]
特别地，我们可以取0 (x)为二阶B _ 样条函数。
2 x 1 x 2
N
2
(
x)
x
0 x 1
0
其他
0 12
具有紧支集的正交规范小波基的生成
从前面的讨论可知，当双尺度序列只有 有限项非零时，其尺度函数可能有紧支 集。
2
定理：
实值函数f具有广义线性相位的充要条件 是： f是对称或反对称的。
实条值件序是列 ：{an}具有广义线性相位的充要 {an}是对称或反对称的。
B_样条小波
1 N1(t) 0
0t 1 其它
1
N2 (t) N1(t) * N1(t) N1(t u)du
0
t 2 t
0
0t 1 1t 2 其它
1
Nm (t) Nm1(t) * N1(t) Nm1(t u)du
0
B_样条小波的特点： 1. 紧支集 2. m越大，光滑性越好。 3.当m>1时，不是正交小波。
H
(
)
[
1 2
(1
ei
)]N
QN
(e
i
)
最后，可以有H () {hk} (x)
对定理证明的一些讨论：
方程 y N P(1 y) (1 y)N P( y) 1 的解不是唯一的。
事实上，将P( y) PN ( y) y N R( y)代入方程 我们可以得到：
y（N 1－y）N R(1 y) (1 y)N y N R( y) 0
k n j n K 1
j0
j
k
引理2：
N N j0
j
j
y j (1
y)N 1
y N 1(1
y) j
1
构造多项式：
PN ( y)
N 1 N j0
1 j
j y
j
y N PN (1 y) (1 y)N PN ( y)
N 1 N
j0
1 j
j y N
(1
其中，n0
1 2
Z
,号与无关。
称{an}具有广义线性相位，若
A(ei ) F ( )ei(n0 b) 其中，F ()是实值函数。
关于线性与广义线性相位的特征的讨论
引理：
(1) f L2具有广义线性相位的充要条件是：
eib f (a x) eib f (a x)
即，f关于a是共轭对称（斜对称）。
令f (x) L2, 称f (x)具有广义线性相位，若
fˆ ( ) F ( )ei(a b) 其中，a,b是实常数， F ( )是实值函数。
数列的线性相位与广义线性相位的定义
令{an} l 2 , A(ei )是其Fourier级数， 称{an}具有线性相位，若
A(ei ) A(ei ) ein0
J
| rk1 |
|
z
j
2
|]2 [
(z rk )
(z z j )(z z j )]
k 1
Βιβλιοθήκη Baidu
j 1
k 1
j 1
m(ei ) aN
2
K
J
1K
J
| rk1 |
|
z
2 j
|]2
[
(ei rk )
(ei z j )(ei z j )]
k 1
j 1
k 1
j 1
aN
2
K
J
1K
J
| rk1 |
的不动点。
令n (x) T (n1(x)) hkn1(2x k)
k
当T是连续算子，n (x) 0 (x)时，
我们有：
0
( x)＝lim n
n
(
x)
lim
n
T n1
(x)
T
(lim n
n1
(
x))
T
0
(
x)
困难：
（1） 迭代的收敛性。
（2） 迭代的初始函数的选取。
当{hk }是一个有限脉冲响应滤波器时，这种方法 就得到简化。
注：
当f是实值函数时，f具有广义线性相位。 意味着：
f (a x) f (a x) (对称性) 或 f (a x) －f (a x) (反对称性)
eib f (a x) eib f (a x) eib f (a x) eib f (a x)
e2ib＝1，b (1 k )
L
n (x) hkn1(2x k) k 0
如果我们选取适当的0 (x)，还可以使 (x)具有
紧支集。
若supp(0 (x)) [0, A],
则：
s
upp(1
(
x))
[0,
1 2
(
A
L)]
[0,
(
A
2
L)
]
,
supp(
2
(
x))
[0,
1 2
(
A
2
L
L)]
[0,
(
A
(22 22
1)L)
],
supp(
y) j
N 1 N
j0
1 j
j (1
y)N
yj
NN 1
N N j0 j
j [ y N1(1
y) j
y j (1
y)N1] 1
到此，我们得到了| Q(ei ) |2 的表达式：
|
Q(e
i
)
|2
＝PN
(sin
2
(
2
))
下一步，需要由PN去构造QN
引理3：（Riesz定理）
设M是一个非负的只含余弦项的三角多项式，即：