压轴题放缩法技巧全总结

压轴题放缩法技巧全总结
高考数学备考之放缩技巧
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：
一、裂项放缩
例1(1)求的值; (2)求证:
解析:(1)因为,所以
(2)因为,所以
技巧积累:(1) (2)
(3)
例2(1)求证:
(2)求证: (3)求证:
(4) 求证：
解析:(1)因为,所以
(2)
(3)先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答
案
(4)首先,所以容易经过裂项得到
再证而由均值不等式知道这是显然成立的，所以
例3求证:
解析: 一方面: 因为,所以
另一方面:
当时, ,当时, ,
当时, ,
所以综上有
例4(2008年全国一卷)设函数数列满足设，整数证明:
解析: 由数学归纳法可以证明是递增数列, 故若存在正整数, 使, 则,
若,则由知, ,
因为,于是
例已知,求证:
解析:首先可以证明:
所以要证
只要证:
故只要证,
即等价于,
即等价于而正是成立的,所以原命题成立
例6已知, ,求证:
解析:
所以从而
例7已知, ,求证:
证明: ,
因为,所以
所以
二、函数放缩
例8求证：
解析:先构造函数有,从而
ause
所以
例9求证:(1)
解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案函数构造形式: ,
例10求证:
解析:提示:
函数构造形式:
当然本题的证明还可以运用积分放缩
如图,取函数,
首先: ,从而,
取有, ,
所以有, ,…, , ,相加后可以得到:
另一方面,从而有
取有, ,
所以有,所以综上有
例11求证: 和解析:构造函数后即可证明例12求证: 解析: ,叠加之后就可以得到答案函数构造形式: (加强命题)
例13证明:
解析:构造函数,求导,可以得到:
,令有,令有,
所以,所以,令有,
所以,所以
例14 已知证明
解析: ,
然后两边取自然对数,可以得到
然后运用和裂项可以得到答案)
放缩思路：。

于是，
即
注：题目所给条（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论放缩：
，
即
例16(2008年福州市质检)已知函数若
解析:设函数
∴函数）上单调递增，在上单调递减∴的最小值为，即总有
而
即
令则
例1(2008年厦门市质检) 已知函数是在上处处可导的函数,若在上恒成立
(I)求证：函数上是增函数；(II)当；
(III)已知不等式时恒成立，
求证：
解析:(I) ,所以函数上是增函数
(II)因为上是增函数,所以
两式相加后可以得到
(3)
……
相加后可以得到:
所以
令,有
所以
(方法二)
所以
又,所以
三、分式放缩
姐妹不等式: 和
记忆口诀”小者小,大者大”
解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之例19 姐妹不等式: 和
也可以表示成为
和
解析: 利用假分数的一个性质可得
即
例20证明:
解析: 运用两次次分式放缩:
(加1)
(加2)
相乘,可以得到:所以有
四、分类放缩
例21求证:
解析: 例22(2004年全国高中数学联赛加试改编) 在平面直角坐标系中, 轴正半轴上的点列与曲线（≥0）上的点列满足，直线在x轴上的截距为点的横坐标为,
(1)证明> >4，; (2)证明有，使得对都有<
解析:(1) 依题设有：，由得：
,又直线在轴上的截距为满足
显然，对于，有
(2)证明：设，则
设，则当时，。

所以，取，对都有：故有< 成立。

例23(2007年泉州市高三质检) 已知函数，若的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0]若数列满足，记数列的前项和为，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数都有？并证明你的结论。

解析:首先求出,∵
∴,∵, ,…
,故当时, ,
因此，对任何常数A，设是不小于A的最小正整数，
则当时,必有
故不存在常数A使对所有的正整数恒成立
例24(2008年中学教学参考)设不等式组表示的平面区域为, 设内整数坐标点的个数为设, 当时,求证:
解析:容易得到,所以,要证只要证,因为,所以原命题得证五、迭代放缩
例2 已知,求证:当时,
解析:通过迭代的方法得到,然后相加就可以得到结论
例26 设,求证:对任意的正整数,若≥n恒有:|Sn+－Sn|<1n 解析:
又所以
六、借助数列递推关系
例27求证:
解析: 设则
,从而
,相加后就可以得到所以
例28 求证:
解析: 设则
,从而
,相加后就可以得到例29 若,求证:
解析:
所以就有
七、分类讨论
例30已知数列的前项和满足证明：对任意的整数，有
解析:容易得到,
由于通项中含有，很难直接放缩，考虑分项讨论：
当且为奇数时
（减项放缩），于是
①当且为偶数时②当且为奇数时（添项放缩）由①知由①②得证。

八、线性规划型放缩
例31 设函数若对一切，，求的最大值。

解析:由知即
由此再由的单调性可以知道的最小值为，最大值为
因此对一切，的充要条是，即，满足约束条，
由线性规划得，的最大值为．
九、均值不等式放缩
例32设求证
解析: 此数列的通项为
，，
即
注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过“度”了！
②根据所证不等式的结构特征选取所需要的重要不等式，这里
其中，等的各式及其变式公式均可供选用。

例33已知函数，若，且在[0，1]上的最小值为，求证：
解析:
例34已知为正数，且，试证：对每一个，
解析: 由得，又，故，而，
令，则= ，因为，倒序相加得= ，
而，
则= ，所以，即对每一个，
例3求证
解析: 不等式左= ，
原结论成立
例36已知,求证:
解析:
经过倒序相乘,就可以得到
例37已知,求证:
解析:
其中: ,因为
所以
从而,所以
例38若,求证:
解析:
因为当时, ,所以,所以,当且仅当时取到等号
所以
所以所以
例39已知,求证:
解析:
例40已知函数f(x)=x2－(－1)•2lnx(∈N*)是奇数, n∈N*时, 求证: [f’(x)]n－2n－1•f’(xn)≥2n(2n－2)
解析: 由已知得，
(1)当n=1时，左式= 右式=0∴不等式成立
(2) , 左式=
令
由倒序相加法得：
，
所以
所以综上，当是奇数，时，命题成立
例41 （2007年东北三校）已知函数
（1）求函数的最小值，并求最小值小于0时的取值范围；（2）令求证：
★例42 (2008年江西高考试题)已知函数, 对任意正数,证明：．解析:对任意给定的, ,由,
若令，则①,而②
（一）、先证；因为，，，
又由，得．
所以
．
（二）、再证；由①、②式中关于的对称性，不妨设．则（ⅰ）、当，则，所以，因为，
，此时．
（ⅱ）、当③，由①得, ，，
因为所以④
同理得⑤，于是⑥
今证明⑦, 因为，
只要证，即，也即，据③，此为显然．
因此⑦得证．故由⑥得．
综上所述，对任何正数，皆有．
例43求证:
解析:一方面:
(法二)
另一方面:
十、二项放缩
, ,
例44 已知证明
解析:
，
即
4设，求证：数列单调递增且
解析: 引入一个结论：若则（证略）
整理上式得（）
以代入（）式得
即单调递增。

以代入（）式得
此式对一切正整数都成立，即对一切偶数有，又因为数列单调递增，所以对一切正整数有。

注：①上述不等式可加强为简证如下：
利用二项展开式进行部分放缩：
只取前两项有对通项作如下放缩：故有
②上述数列的极限存在，为无理数；同时是下述试题的背景：已知是正整数，且（1）证明；（2）证明（01年全国卷理科第20题）简析对第（2）问：用代替得数列是递减数列；借鉴此结论可有如下简捷证法：数列递减，且故即。

当然，本题每小题的证明方法都有10多种,如使用上述例所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决！详见[1]。

例46已知a+b=1,a>0,b>0,求证：
解析: 因为a+b=1,a>0,b>0,可认为成等差数列，设，
从而
例47设，求证
解析: 观察的结构，注意到，展开得
，即，得证
例48求证: 解析:参见上面的方法,希望读者自己尝试!)
例42(2008年北京海淀月练习) 已知函数，满足：
①对任意，都有；
②对任意都有
（I）试证明：为上的单调增函数；
（II）求；
（III）令，试证明：
解析:本题的亮点很多,是一道考查能力的好题
(1)运用抽象函数的性质判断单调性:
因为,所以可以得到,
也就是,不妨设,所以,可以得到,也就是说为上的单调增函数(2)此问的难度较大,要完全解决出需要一定的能力!
首先我们发现条不是很足,,尝试探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么结论,一发现就有思路了!
由(1)可知,令,则可以得到
,又,所以由不等式可以得到,又
,所以可以得到①
接下要运用迭代的思想:
因为,所以, , ②
, , ,
在此比较有技巧的方法就是:
,所以可以判断③
当然,在这里可能不容易一下子发现这个结论,所以还可以列项的方法,把所有项数尽可能地列出,然后就可以得到结论
所以,综合①②③有=
(3)在解决的通项公式时也会遇到困难
,所以数列的方程为,从而,
一方面,另一方面
所以,所以,综上有例49 已知函数fx的定义域为[0,1]，且满足下列条：
①对于任意[0,1]，总有，且；②若则有
（Ⅰ）求f0的值；（Ⅱ）求证：fx≤4；
（Ⅲ）当时，试证明：
解析: （Ⅰ）解：令，由①对于任意[0,1]，总有，∴
又由②得即∴
（Ⅱ）解：任取且设则
因为，所以，即∴
∴当[0,1]时，
（Ⅲ）证明：先用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，，不等式成立；
（2）假设当n=时，
由
得
即当n=+1时，不等式成立
由（1）、（2）可知，不等式对一切正整数都成立
于是，当时，，
而[0,1]，单调递增∴所以，
例0 已知：求证：
解析:构造对偶式：令
则＝
又（
十一、积分放缩
利用定积分的保号性比大小
保号性是指，定义在上的可积函数，则
例1求证：
解析: ，∵，
时，，，∴，
利用定积分估计和式的上下界
定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积，现在用它估计小矩形的面积和
例2 求证：，
解析: 考虑函数在区间上的定积分
如图，显然-①
对求和，
例3 已知求证：
解析:考虑函数在区间上的定积分
∵-②
∴
例4 （2003年全国高考江苏卷）设，如图，已知直线及曲线：，上的点的横坐标为（）从上的点作直线平行于轴，交直线于点，再从点作直线平行于轴，交曲线于点的横坐标构成数列
（Ⅰ）试求与的关系，并求的通项公式；
（Ⅱ）当时，证明；
（Ⅲ）当时，证明
解析: （过程略）
证明（II）：由知，∵，∴
∵当时，，
∴
证明（Ⅲ）：由知
∴恰表示阴影部分面积，
显然④
∴
奇巧积累: 将定积分构建的不等式略加改造即得“初等”证明，如：①；
②；
③；
④
十二、部分放缩(尾式放缩)
例求证:
解析:
例6 设求证：
解析:
又（只将其中一个变成，进行部分放缩），，
于是
例7设数列满足，当时
证明对所有有；
解析: 用数学归纳法：当时显然成立，假设当时成立即，则当时，成立。

利用上述部分放缩的结论放缩通项，可得
注：上述证明用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：；证明就直接使用了部分放缩的结论
十三、三角不等式的放缩
例8求证:
解析:(i)当时,
(ii)当时,构造单位圆,如图所示:
因为三角形AB的面积小于扇形AB的面积
所以可以得到
当时
所以当时有
(iii)当时, ,由(ii)可知:
所以综上有
十四、使用加强命题法证明不等式
(i)同侧加强
对所证不等式的同一方向(可以是左侧,也可以是右侧)进行加强如要
证明,只要证明,其中通过寻找分析,归纳完成
例9求证:对一切,都有
解析:
从而
当然本题还可以使用其他方法,如:
所以
(ii)异侧加强(数学归纳法)
(iii)双向加强
有些不等式,往往是某个一般性命题的特殊情况,这时,不妨”返璞归真”,通过双向加强还原其本面目,从而顺利解决原不等式其基本原理为:
欲证明,只要证明:
例60已知数列满足: ,求证:
解析: ,从而,所以有
,所以
又,所以,所以有
所以
所以综上有
引申:已知数列满足: ,求证:
解析:由上可知,又,所以
从而
又当时, ,所以综上有
同题引申: (2008年浙江高考试题)已知数列, , ,
记, 求证:当时
(1) ; (2) ; ★(3)
解析:(1) ,猜想,下面用数学归纳法证明:
(i)当时, ,结论成立;
(ii)假设当时, ,则时,
从而,所以
所以综上有,故
(2)因为则, ,…, ,相加后可以得到: ,所以
,所以
(3)因为,从而,有,所以有
,从而
,所以
,所以所以综上有
例61(2008年陕西省高考试题)已知数列的首项, , ．
(1)证明:对任意的, , ;
(2)证明:
解析:(1)依题,容易得到,要证, , ,
即证
即证,设所以即证明
从而,即,这是显然成立的
所以综上有对任意的, ,
(法二)
, 原不等式成立．
(2)由(1)知，对任意的，有．
取，
则．
原不等式成立．
十四、经典题目方法探究
探究1(2008年福建省高考)已知函数若在区间上的最小值为, 令求证:
证明:首先:可以得到先证明
(方法一) 所以
(方法二)因为,相乘得:
,从而
(方法三)设A= ,B= ,因为A<B,所以A2<AB,
所以, 从而
下面介绍几种方法证明
(方法一)因为,所以,所以有
(方法二) ,因为,所以
令,可以得到,所以有(方法三)设所以,
从而,从而
又,所以
(方法四)运用数学归纳法证明:
(i)当时,左边= ,右边= 显然不等式成立;
(ii)假设时, ,则时, ,
所以要证明,只要证明,这是成立的
这就是说当时,不等式也成立,所以,综上有
探究2(2008年全国二卷)设函数如果对任何，都有，求的取值范围．
解析:因为,所以
设,则,
因为,所以
(i)当时, 恒成立,即,所以当时, 恒成立
(ii)当时, ,因此当时,不符合题意
(iii)当时,令，则故当时,
因此在上单调增加故当时, ,
即于是，当时，
所以综上有的取值范围是
变式：若,其中
且, ,求证:证明：容易得到
由上面那个题目知道
就可以知道
★同型衍变:(2006年全国一卷)已知函数若对任意x∈(0,1) 恒有 f
(x) >1, 求a的取值范围
解析:函数f (x)的定义域为(-∞, 1)∪(1, +∞), 导数为
(ⅰ) 当0< a≤2时, f (x) 在区间(-∞, 1) 为增函数, 故对于任意x ∈(0, 1) 恒有f (x) > f (0) =1, 因而这时a满足要求
(ⅱ) 当a>2时, f (x) 在区间(- , )为减函数, 故在区间(0, ) 内任取一点, 比如取, 就有x0∈(0, 1) 且f (x0) < f (0) =1, 因而这时a不满足要求
(ⅲ) 当a≤0时, 对于任意x∈(0, 1) 恒有
≥ , 这时a满足要求
综上可知, 所求a的取值范围为a≤2。