高考数学理科总复习压轴大中小题集锦(全)

高考数学理科总复习压轴题集锦
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高考数学理科总复习压轴题集锦 (1)
压轴大题集锦 (3)
1.导数 (3)
2.圆锥曲线 (8)
压轴小题集锦 (15)
1.与函数、不等式有关的压轴小题 (15)
2.与数列有关的压轴小题 (21)
3.与立体几何有关的压轴小题 (26)
4.与解析几何有关的压轴小题 (35)
5.与向量有关的压轴小题 (41)
中档大题集锦 (53)
1.三角函数与解三角形 (53)
2.数列 (56)
3.立体几何 (60)
4.概率与统计 (68)
5.坐标系与参数方程 (74)
6.不等式选讲 (78)
压轴大题集锦
1.导 数
1.(2017·安徽“皖南八校”联考)已知函数f (x )＝e x －ax 2－2ax －1. (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线方程； (2)当x ＞0时，f (x )＞0恒成立，求实数a 的取值范围. 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝e x －x 2－2x －1，f (－1)＝1e ，
所以切点坐标为⎝⎛⎭⎫－1，1
e ，
f ′(x )＝e x －2x －2， 所以f ′(－1)＝1
e
，
故曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线方程为y －1e ＝1e []x －(－1)，即y ＝1e x ＋2
e .
(2)f (x )＝e x －ax 2－2ax －1求导得f ′(x )＝e x －2ax －2a ， 令g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －2a ，则g ′(x )＝e x －2a (x ＞0). ①当2a ≤1，即a ≤1
2时，g ′(x )＝e x －2a ＞1－2a ≥0，
所以g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －2a 在(0，＋∞)上为增函数， g (x )＞g (0)＝1－2a ≥0，
即g (x )＝f ′(x )≥0，所以f (x )＝e x －ax 2－2ax －1在(0，＋∞)上为增函数， 所以f (x )＞f (0)＝1－0－0－1＝0，故a ≤1
2
时符合题意.
②当2a ＞1，即a ＞1
2
时，令g ′(x )＝e x －2a ＝0，得x ＝ln 2a ＞0，
当x ∈(0，ln 2a )时，g (x )＜g (0)＝1－2a ＜0，即f ′(x )＜0，
所以f (x )在(0，ln 2a )上为减函数，所以f (x )＜f (0)＝0，与条件矛盾，故舍去. 综上，a 的取值范围是⎝
⎛⎦⎤－∞，12. 2.(2017·广东惠州调研)已知函数f (x )＝x 2－(a －2)x －a ln x (a ∈R ).
(1)求函数y ＝f (x )的单调区间；
(2)当a ＝1时，证明：对任意的x ＞0，f (x )＋e x ＞x 2＋x ＋2. (1)解 函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，
f ′(x )＝2x －(a －2)－a x ＝2x 2－(a －2)x －a x ＝(x ＋1)(2x －a )
x .
当a ≤0时，f ′(x )＞0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立， 所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增. 当a ＞0时，由f ′(x )＞0，得x ＞a
2，
由f ′(x )＜0，得0＜x ＜a
2
，
所以函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫a 2，＋∞上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎫0，a
2上单调递减. (2)证明 当a ＝1时，f (x )＝x 2＋x －ln x ，要证明f (x )＋e x ＞x 2＋x ＋2， 只需证明e x －ln x －2＞0，设g (x )＝e x －ln x －2， 则问题转化为证明对任意的x ＞0，g (x )＞0， 令g ′(x )＝e x －1x ＝0，得e x ＝1
x
，
容易知道该方程有唯一解，不妨设为x 0，则x 0满足0e x ＝1
x 0，
当x 变化时，g ′(x )和g (x )的变化情况如下表：
g (x )min ＝g (x 0)＝0x e －ln x 0－2＝1
x 0
＋x 0－2，
因为x 0＞0，且x 0≠1，所以g (x )min ＞21－2＝0，因此不等式得证. 3.(2017·荆、荆、襄、宜四地七校联考)已知函数f (x )＝ln x －x . (1)求函数f (x )的单调区间；
(2)若方程f (x )＝m (m ＜－2)有两个相异实根x 1，x 2，且x 1<x 2，证明：x 1·x 22＜2. (1)解 f (x )＝ln x －x 的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1
x －1＝1－x x
＝0⇒x ＝1，
当x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0，所以y ＝f (x )在(0，1)上单调递增， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，所以y ＝f (x )在(1，＋∞)上单调递减. (2)证明 由(1)可知，f (x )＝m 的两个相异实根x 1，x 2满足ln x －x －m ＝0，
且0＜x 1＜1，x 2＞1，ln x 1－x 1－m ＝ln x 2－x 2－m ＝0， 由题意可知ln x 2－x 2＝m ＜－2＜ln 2－2，
又由(1)可知f (x )＝ln x －x 在(1，＋∞)上单调递减， 故x 2＞2，
所以0＜x 1＜1，0＜2
x 22＜1.
令g (x )＝ln x －x －m ，
则g (x 1)－g ⎝⎛⎭⎫2x 22
＝(ln x 1－x 1)－⎝⎛⎭⎫ln 2x 22
－2x 22
＝(ln x 2－x 2)－(ln
2x 22－2x 22)＝－x 2＋2
x 22
＋3ln x 2－ln 2， 令h (t )＝－t ＋2
t
2＋3ln t －ln 2(t ＞2)，
则h ′(t )＝－1－4t 3＋3t ＝－t 3＋3t 2－4
t 3＝－(t －2)2(t ＋1)t 3
.
当t ＞2时，h ′(t )＜0，h (t )在(2，＋∞)上单调递减，所以h (t )＜h (2)＝2ln 2－3
2＜0.
所以当x 2＞2时，g (x 1)－g ⎝⎛⎭⎫2x 22
＜0，即g (x 1)＜g ⎝⎛⎭
⎫2x 22
， 因为0＜x 1＜1，0＜2
x 22＜1，g (x )在(0，1)上单调递增，
所以x 1＜2
x 22
，故x 1·x 22＜2. 综上所述，x 1·x 22
＜2. 4.(2017届重庆市一中月考)已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R ). (1)当a ＞0时，求函数f (x )的单调区间；
(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，且函数g (x )＝12x 2＋nx ＋
mf ′(x )(m ，n ∈R )，当且仅当在x ＝1处取得极值，其中f ′(x )为f (x )的导函数，求m 的取值范围.
解 (1)f ′(x )＝a (1－x )
x
(x ＞0)，
当a ＞0时，令f ′(x )＞0，得0＜x ＜1， 令f ′(x )＜0，得x ＞1，
故函数f (x )的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞). (2)因为函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°， 则f ′(2)＝1，即a ＝－2， 所以g (x )＝1
2
x 2＋nx ＋m ⎝⎛⎭⎫2－2x ，
所以g ′(x )＝x ＋n ＋2m x 2＝x 3＋nx 2＋2m
x 2
，
因为g (x )在x ＝1处有极值，故g ′(1)＝0，从而可得n ＝－1－2m ， 则g ′(x )＝x 3＋nx 2＋2m x 2＝(x －1)(x 2－2mx －2m )
x 2，
又因为g (x )仅在x ＝1处有极值，
所以x 2－2mx －2m ≥0在(0，＋∞)上恒成立，
当m ＞0时，－2m ＜0，易知∃x 0∈(0，＋∞)，使得x 20－2mx 0－2m ＜0， 所以m ＞0不成立，故m ≤0，
当m ≤0且x ∈(0，＋∞)时，x 2－2mx －2m ≥0恒成立， 所以m ≤0.
综上，m 的取值范围是(－∞，0].
5.(2017·湖北沙市联考)已知函数f (x )＝e －
x (ln x －2k )(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴垂直. (1)求f (x )的单调区间；
(2)设g (x )＝1－x (ln x ＋1)e x
，对任意x ＞0，证明：(x ＋1)·g (x )<e x ＋e x －
2. (1)解 因为f ′(x )＝1
x
－ln x ＋2k e x (x ＞0)，
由已知得f ′(1)＝1＋2k e ＝0，所以k ＝－1
2
.
所以f ′(x )＝1
x －ln x －1e x ，设k (x )＝1x －ln x －1，则k ′(x )＝－1x 2－1
x ＜0在(0，＋∞)上恒成立，
即k (x )在(0，＋∞)上单调递减，由k (1)＝0知，当0＜x ＜1时，k (x )＞0，从而f ′(x )＞0， 当x ＞1时，k (x )＜0，从而f ′(x )<0.
综上可知，f (x )的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，＋∞). (2)证明 因为x ＞0，要证原式成立即证g (x )e x ＜1＋e －
2
x ＋1成立.
当x ≥1时，由(1)知g (x )≤0＜1＋e
－2
成立；
当0＜x ＜1时，e x ＞1，且由(1)知，g (x )＞0，所以g (x )＝1－x ln x －x
e x ＜1－x ln x －x ，
设F (x )＝1－x ln x －x ，x ∈(0，1)，则F ′(x )＝－(ln x ＋2)， 当x ∈(0，e －
2)时，F ′(x )＞0， 当x ∈(e －
2，1)时，F ′(x )＜0， 所以当x ＝e
－2时，F (x )取得最大值F (e －2)＝1＋e －
2，
所以g (x )＜F (x )≤1＋e －
2，
即当0＜x ＜1时，g (x )＜1＋e －
2.
①
综上所述，对任意x ＞0，g (x )＜1＋e －2
恒成立.
令G (x )＝e x －x －1(x ＞0)，则G ′(x )＝e x －1＞0恒成立，所以G (x )在(0，＋∞)上单调递增， G (x )＞G (0)＝0恒成立，即e x ＞x ＋1＞0， 即0＜1e x ＜1x ＋1
.
②
当x ≥1时，有g (x )
e x ≤0＜1＋e －
2x ＋1；
当0＜x ＜1时，由①②式，g (x )e x ＜1＋e －
2
x ＋1
.
综上所述，当x ＞0时，g (x )e x ＜1＋e －
2
x ＋1成立，故原不等式成立.
6.(2017·西安模拟)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫k ＋4k ln x ＋4－x
2
x ，其中常数k ＞0. (1)讨论f (x )在(0，2)上的单调性；
(2)当k ∈[4，＋∞)时，若曲线y ＝f (x )上总存在相异的两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，使曲线y ＝f (x )在M ，N 两点处的切线互相平行，试求x 1＋x 2的取值范围. 解 (1)由已知得，f (x )的定义域为(0，＋∞)，
且f ′(x )＝k ＋4k x －x 2＋4x 2＝－x 2－⎝⎛⎭⎫k ＋4k x ＋4x 2
＝－(x －k )⎝⎛⎭
⎫x －4k x 2(k ＞0). ①当0＜k ＜2时，4k ＞k ＞0，且4
k
＞2，
所以x ∈(0，k )时，f ′(x )＜0；x ∈(k ，2)时，f ′(x )＞0. 所以函数f (x )在(0，k )上是减函数，在(k ，2)上是增函数； ②当k ＝2时，4
k ＝k ＝2，f ′(x )＜0在区间(0，2)内恒成立，
所以f (x )在(0，2)上是减函数； ③当k ＞2时，0＜4k ＜2，k ＞4
k
，
所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，4k 时，f ′(x )＜0；x ∈⎝⎛⎭⎫4
k ，2时，f ′(x )＞0， 所以函数在⎝⎛⎭⎫0，4k 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫4
k ，2上是增函数. (2)由题意，可得f ′(x 1)＝f ′(x 2)，x 1x 2＞0且x 1≠x 2， 即k ＋4k x 1－4x 21－1＝k ＋4
k x 2－4x 22－1，化简得，4(x 1＋x 2)＝⎝⎛⎭⎫k ＋4
k x 1x 2. 由x 1x 2＜⎝⎛
⎭⎫x 1＋x 222
，
得4(x 1＋x 2)＜⎝⎛⎭⎫k ＋4k ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222，
即(x 1＋x 2)＞16
k ＋4k
对k ∈[4，＋∞)恒成立，
令g (k )＝k ＋4k ，则g ′(k )＝1－4k 2＝k 2－4
k 2＞0对k ∈[4，＋∞)恒成立.
所以g (k )在[4，＋∞)上是增函数，则g (k )≥g (4)＝5， 所以16k ＋4k ≤16
5，
所以(x 1＋x 2)＞16
5
，
故x 1＋x 2的取值范围为⎝⎛⎭⎫165，＋∞.
2.圆锥曲线
1.(2017·福建厦门第一中学期中)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)右焦点F 是抛物线C 2：y 2
＝4x 的焦点，M 是C 1与C 2在第一象限内的交点，且||MF ＝5
3.
(1)求C 1的方程；
(2)已知菱形ABCD 的顶点A ，C 在椭圆C 1上，顶点B ，D 在直线7x －7y ＋1＝0上，求直线AC 的方程.
解 (1)设M (x 1，y 1)(x 1＞0，y 1＞0)，椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2， 由题意知点F 2即为点F (1，0).
由抛物线的定义，|MF 2|＝53⇒x 1＋1＝53⇒x 1＝2
3，
因为y 21＝4x 1，
所以y 1＝263，即M ⎝⎛⎭⎫
23，263，
所以|MF 1|＝
⎝⎛⎭⎫23＋12＋⎝⎛⎭⎫2632＝73，由椭圆的定义得2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝73＋53
＝4⇒a ＝2，
所以b ＝a 2－c 2＝3， 所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)因为直线BD 的方程为7x －7y ＋1＝0，四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ，设直线AC 的方程为y ＝－x ＋m ，
代入椭圆C 1的方程，得7x 2－8mx ＋4m 2－12＝0，
由题意知，Δ＝64m 2－28(4m 2－12)＞0⇔－7<m <7.
设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8m 7，y 1＋y 2＝2m －(x 1＋x 2)＝－8m 7＋2m ＝6m
7，
所以AC 中点的坐标为⎝⎛⎭⎫
4m 7，3m 7，
由四边形ABCD 为菱形可知，点⎝⎛⎭⎫4m 7，3m 7在直线BD 上， 所以7·4m 7－7·3m
7＋1＝0⇒m ＝－1∈()－7，7.
所以直线AC 的方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0.
2.(2017·湖南师大附中月考)已知椭圆C 的中心在原点，离心率为2
2
，其右焦点是圆E ：(x －1)2＋y 2＝1的圆心.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)如图，过椭圆C 上且位于y 轴左侧的一点P 作圆E 的两条切线，分别交y 轴于点M ，N .试推断是否存在点P ，使|MN |＝
14
3
？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)，半焦距为
c ，
因为椭圆的右焦点是圆E 的圆心，所以c ＝1， 因为椭圆的离心率为22，则c a ＝2
2
，即a ＝2c ＝2， 从而
b 2＝a 2－
c 2＝1，故椭圆
C 的方程为x 22
＋y 2
＝1.
(2)设点P (x 0，y 0)(x 0＜0)，M (0，m )，N (0，n )， 则直线PM 的方程为y ＝y 0－m
x 0x ＋m ，
即(y 0－m )x －x 0y ＋mx 0＝0.
因为圆心E (1，0)到直线PM 的距离为1， 即
|y 0－m ＋x 0m |(y 0－m )2＋x 20
＝1，
即(y 0－m )2＋x 20＝(y 0－m )2＋2x 0m (y 0－m )＋x 20m 2，
即(x 0－2)m 2＋2y 0m －x 0＝0， 同理可得，(x 0－2)n 2＋2y 0n －x 0＝0.
由此可知，m ，n 为方程(x 0－2)x 2＋2y 0x －x 0＝0的两个实根，
所以m ＋n ＝－2y 0x 0－2，mn ＝－x 0
x 0－2，
|MN |＝|m －n |＝(m ＋n )2
－4mn ＝
4y 20
(x 0－2)2＋4x 0x 0－2＝
4x 20＋4y 20－8x 0
(x 0－2)2
.
因为点P (x 0，y 0)在椭圆C 上，则x 20
2＋y 20＝1， 即
y 2
0＝1－x 202
，
则|MN |＝2x 20－8x 0＋4
(x 0－2)2
＝
2(x 0－2)2－4
(x 0－2)2
＝
2－4(x 0－2)2
， 令
2－4(x 0－2)2
＝143，
则(x 0－2)2＝9， 因为x 0＜0，则
x 0＝－1，y 2
0＝1－x 202
＝12
，即
y 0＝±2
2
，
故存在点P ⎝
⎛⎭⎫－1，±2
2满足题设条件.
3.(2017·河南豫北名校联盟对抗赛)已知点P 是椭圆C 上任意一点，点P 到直线l 1：x ＝－2的距离为d 1，到点F (－1，0)的距离为d 2，且d 2d 1＝2
2，直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B (A ，
B 都在x 轴上方)，且∠OF A ＋∠OFB ＝180°.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)当A 为椭圆与y 轴正半轴的交点时，求直线l 的方程；
(3)对于动直线l ，是否存在一个定点，无论∠OF A 如何变化，直线l 总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由. 解 (1)设P (x ，y )，则d 1＝|x ＋2|， d 2＝(x ＋1)2＋y 2，
∴d 2d 1＝(x ＋1)2＋y 2|x ＋2|＝22，化简得，x 22＋y 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2
＝1.
(2)A (0，1)，F (－1，0)， ∴k AF ＝1－0
0－(－1)＝1，
又∵∠OF A ＋∠OFB ＝180°，
∴k BF ＝－1，
直线BF 的方程为y ＝－(x ＋1)＝－x －1，
代入x 22＋y 2
＝1，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝0y ＝－1(舍)，
⎩⎨⎧
x ＝－43
，
y ＝13.
∴B ⎝⎛⎭
⎫－43，13， k AB ＝
1－13
0－⎝⎛⎭⎫－43＝1
2， ∴直线AB 的方程为y ＝1
2x ＋1，即直线l 的方程为x －2y ＋2＝0.
(3)方法一 ∵∠OF A ＋∠OFB ＝180°， ∴k AF ＋k BF ＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 方程为y ＝kx ＋b ，将直线AB 的方程y ＝kx ＋b 代入x 22＋y
2＝1，得⎝⎛⎭⎫k 2＋1
2x 2＋2kbx ＋b 2－1＝0. ∴x 1＋x 2＝－2kb
k 2＋12，x 1x 2＝b 2－1k 2＋
12，
∴k AF ＋k BF ＝
y 1x 1＋1＋y 2x 2＋1＝kx 1＋b x 1＋1＋kx 2＋b x 2＋1＝(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)
＝0， ∴(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1) ＝2kx 1x 2＋(k ＋b )(x 1＋x 2)＋2b
＝2k ×b 2－1k 2＋12－(k ＋b )×2kb
k 2＋
12＋2b ＝0，
∴b －2k ＝0，
∴直线AB 的方程为y ＝k (x ＋2)， ∴直线l 总经过定点M (－2，0)， 方法二 由于∠OF A ＋∠OFB ＝180°， ∴点B 关于x 轴的对称点B 1在直线AF 上.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，B 1(x 2，－y 2)，直线AF 方程为y ＝k (x ＋1).
代入x 22
＋y 2
＝1，得
⎝
⎛⎭⎫k 2＋12x 2＋2k 2x ＋k 2－1＝0.
∴x 1＋x 2＝－2k 2
k 2＋12，x 1x 2＝k 2－1k 2＋
12
，
∴k AB ＝y 1－y 2
x 1－x 2
，
直线AB 的方程为y －y 1＝y 1－y 2
x 1－x 2(x －x 1)，
令y ＝0，得x ＝x 1－y 1(x 1－x 2)y 1－y 2＝x 2y 1－x 1y 2
y 1－y 2.
又∵y 1＝k (x 1＋1)，－y 2＝k (x 2＋1)，
∴x ＝x 2y 1－x 1y 2y 1－y 2＝x 2×k (x 1＋1)＋x 1×k (x 2＋1)k (x 1＋1)＋k (x 2＋1)＝2x 1x 2＋x 1＋x 2
x 1＋x 2＋2
＝2×k 2－1k 2
＋12－
2k 2
k 2＋
122－
2k 2k 2＋
12＝－2.
∴直线l 总经过定点M (－2，0).
4.(2017·广西南宁二中、柳州高中、玉林高中联考)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点. (1)若AF →＝3FB →
，求直线AB 的斜率；
(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值.
解 (1)依题意可设直线AB ：x ＝my ＋1，
将直线AB 与抛物线联立⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝my ＋1
y 2＝4x
⇒y 2－4my －4＝0，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪
⎧
y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2
＝－4，
∵AF →＝3FB →
，∴y 1＝－3y 2，∴m 2＝13，
∴直线AB 的斜率为3或－ 3.
(2)S 四边形OACB ＝2S △AOB ＝2·1
2||OF ||y 1－y 2＝||y 1－y 2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝16m 2＋16≥4，
当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值为4.
5.(2017·惠州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，
0)，点A ⎝
⎛⎭
⎫
1，
22在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的标准方程；
(2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C 有两个不同的交点M ，N 时，能在直线y ＝53上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM →＝NQ →
？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
解 (1)设椭圆C 的焦距为2c ，则c ＝1， 因为A ⎝
⎛⎭
⎫
1，
22在椭圆C 上，所以2a ＝||AF 1＋||AF 2＝22， 因此a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1，故椭圆
C 的方程为x 22
＋y 2
＝1.
(2)椭圆C 上不存在这样的点Q ，理由如下：设直线的方程为y ＝2x ＋t ， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P ⎝⎛⎭⎫x 3，5
3，Q (x 4，y 4)，MN 的中点为D (x 0，y 0)， 由⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝2x ＋t ，x 22＋y 2＝1，消去x ，得9y 2－2ty ＋t 2－8＝0， 所以y 1＋y 2＝2t
9，且Δ＝4t 2－36(t 2－8)＞0，
故y 0＝y 1＋y 22＝t
9
且－3＜t ＜3.
由PM →＝NQ →
，得⎝⎛⎭⎫x 1－x 3，y 1－53＝(x 4－x 2，y 4－y 2)， 所以有y 1－53＝y 4－y 2，y 4＝y 1＋y 2－53＝29t －5
3.
(也可由PM →＝NQ →
知四边形PMQN 为平行四边形
而D 为线段MN 的中点，因此，D 也为线段PQ 的中点， 所以y 0＝53＋y 42＝t 9，可得y 4＝2t －15
9.)
又－3＜t ＜3，
所以－7
3＜y 4＜－1，与椭圆上点的纵坐标的取值范围[－1，1]矛盾.
因此点Q 不在椭圆上，即椭圆上不存在满足题意的Q 点.
6.(2017·河南开封月考)如图，已知圆E ：(x ＋3)2＋y 2＝16，点F (3，0)，P 是圆E 上任意一点，线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q .
(1)求动点Q 的轨迹Г的方程；
(2)已知A ，B ，C 是轨迹Г的三个动点，点A 在一象限，B 与A 关于原点对称，且|CA |＝|CB |，问△ABC 的面积是否存在最小值？若存在，求出此最小值及相应直线AB 的方程；若不存在，请说明理由.
解 (1)∵Q 在线段PF 的垂直平分线上， ∴|QP |＝|QF |，
得|QE |＋|QF |＝|QE |＋|QP |＝|PE |＝4，
又|EF |＝23＜4，∴Q 的轨迹是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆， ∴Г：x 24
＋y 2
＝1.
(2)由点A 在第一象限，B 与A 关于原点对称，设直线AB 的方程为y ＝kx (k ＞0)， ∵|CA |＝|CB |，
∴C 在AB 的垂直平分线上， ∴直线OC 的方程为y ＝－1
k x .
⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝kx x 24＋y 2＝1⇒(1＋4k 2)x 2＝4，|AB |＝2|OA |＝2x 2＋y 2＝4
k 2＋1
4k 2＋1
，同理可得|OC |＝2
k 2＋1
k 2＋4
， S △ABC ＝1
2|AB |×|OC |＝4
(k 2＋1)2(4k 2＋1)(k 2＋4)＝4(k 2＋1)
(4k 2＋1)(k 2＋4)
，
(4k 2＋1)(k 2＋4)≤4k 2＋1＋k 2＋42＝5(k 2＋1)
2
，当且仅当k ＝1时取等号，
∴S △ABC ≥8
5
.
综上，当直线AB 的方程为y ＝x 时，△ABC 的面积有最小值8
5
.
压轴小题集锦
1.与函数、不等式有关的压轴小题
1.(2017届枣庄期末)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )满足f (3)＝0，且当x ＞0时，f (x )＞－xf ′(x )恒成立，则函数g (x )＝xf (x )＋lg ||x ＋1的零点的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C
解析 因为当x ＞0时，[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )＞0，所以xf (x )在(0，＋∞)上单调递增，又函数f (x )为奇函数，所以函数xf (x )为偶函数，结合f (3)＝0，作出函数y ＝xf (x )与y ＝－lg ||x ＋1的图象，如图所示：
由图象知，函数g (x )＝xf (x )＋lg ||x ＋1的零点有3个，故选C.
2.设函数f (x )在R 上存在导数f ′(x )，∀x ∈R ，有f (－x )＋f (x )＝x 2，且在(0，＋∞)上f ′(x )＜x ，若f (4－m )－f (m )≥8－4m ，则实数m 的取值范围为( ) A.[－2，2] B.[2，＋∞)
C.[0，＋∞)
D.(－∞，－2]∪[2，＋∞)
答案 B
解析 令g (x )＝f (x )－1
2x 2，则g (x )＋g (－x )＝0，函数g (x )为奇函数，在区间(0，＋∞)上，g ′(x )
＝f ′(x )－x ＜0，且g (0)＝0，
则函数g (x )是R 上的单调递减函数，故 f (4－m )－f (m )＝g (4－m )＋12(4－m )2－g (m )－1
2m 2
＝g (4－m )－g (m )＋8－4m ≥8－4m ，
据此可得g (4－m )≥g (m )，∴4－m ≤m ，m ≥2.
3.(2017·马鞍山三模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
ln x ，x ＞0，m x ，x <0，若f (x )－f (－x )＝0有四个不同的根，则m
的取值范围是( ) A.(0，2e)
B.(0，e)
C.(0，1)
D.⎝⎛⎭
⎫0，1e 答案 D
解析 若m <0，那么f (x )＝f (－x )只会有2个交点，所以m ＞0， 若f (x )＝f (－x )有四个实根，根据对称性可知当x ＞0时，
ln x ＝－m
x
有两个实根，即－m ＝x ln x 有两个实根，设y ＝x ln x ，y ′＝ln x ＋1，
令ln x ＋1＝0，解得x ＝1e ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时， y ′<0，函数单调递减，当x ＞1
e 时，函数单调递增，所以当x ＝1e 时，y ＝x ln x 有最小值－1e ，即－m ＞－1e ⇒m <1e ，所以0<m <1
e ，故选D.
4.(2017·福建省福州第一中学质检)已知函数f (x )＝2x 2x ＋1，x ∈[0，1]，函数g (x )＝a sin π
6x －2a ＋
2(a ＞0)，若存在x 1，x 2∈[0，1]，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，则实数a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤
12，43 B.⎝⎛⎦⎤0，1
2 C.⎣⎡⎦⎤23，4
3 D.⎣⎡⎦⎤12，1
答案 A
解析 当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x 2x ＋1
的值域是[0，1]，g (x )＝a sin π6x －2a ＋2(a ＞0)的值域是
⎣⎡⎦⎤2－2a ，2－32a ，因为存在x 1，x 2∈[0，1]使得f (x 1)＝g (x 2)成立，所以[0，1]∩⎣
⎡⎦⎤
2－2a ，2－32a ≠∅，若[0，1]∩⎣⎡⎦⎤2－2a ，2－32a ＝∅，则2－2a ＞1或2－3
2a ＜0， 即a <12或a ＞4
3
，所以a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，43，故选A. 5.(2017届河南天一大联考)设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2f (x －2)，x ∈(1，＋∞)，1－|x |，x ∈[－1，1]，若关于x 的方程f (x )－
log a (x ＋1)＝0(a ＞0，且a ≠1)在区间[0，5]内恰有5个不同的根，则实数a 的取值范围是( ) A.(1，3) B.(4
5，＋∞) C.(3，＋∞) D.(45，3)
答案 C
解析 要使方程f (x )－log a (x ＋1)＝0(a ＞0且a ≠1)在区间[0，5]内恰有5个不同的根，只需y ＝f (x )与y ＝log a (x ＋1)的图象在区间[0，5]内恰有5个不同的交点，在同一坐标系内作出它们的图象如图：
要使它们在区间[0，5]内恰有5个不同的交点，只需⎩⎪⎨
⎪
⎧
log a 3＜2，log a
5＜4，得a ＞3，故选C.
6.已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋(4a －3)x ＋3a ，x ＜0，
log a (x ＋1)＋1，x ≥0(a ＞0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的
方程|f (x )|＝2－x 恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，2
3 B.⎣⎡⎦⎤
23，34 C.⎣⎡⎦⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫
34 D.⎣⎡⎭⎫13，23∪⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
34
答案 C
解析 由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧
0＜a ＜1，
－4a －3
2≥0，
3a ≥1，
解得13≤a ≤3
4
.结合图象可知方程在(－∞，0)和(0，＋∞)
上分别只有一个实数根.当3a ＞2，即a ＞2
3时，则x 2＋(4a －3)x ＋3a ＝2－x 只有一个解，则Δ
＝(4a －2)2－4(3a －2)＝0，解得a ＝34或a ＝1(舍去)；当1≤3a ≤2，即13≤a ≤2
3时，符合题设
条件.综上，所求实数a 的取值范围是13≤a ≤23或a ＝3
4
.故选C.
7.(2017·四川成都一模)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (－x －1)＝f (x －1)，当x ∈[]－1，0时，f (x )＝－x 3，则关于x 的方程f (x )＝||cos πx 在⎣⎡⎦⎤－52，1
2上的所有实数解之和为( )
A.－7
B.－6
C.－3
D.－1 答案 A
解析 因为函数是偶函数，所以f (－x －1)＝f (x ＋1)＝f (x －1)，所以函数是周期为2的偶函数，画出函数图象如图：
两个函数在区间⎣⎡⎦⎤－52，1
2上有7个交点，中间点是x ＝－1，其余6个交点关于x ＝－1对称，所以任一组对称点的横坐标之和为－2，所以这7个交点的横坐标之和为3×(－2)－1＝－7，故选A.
8.(2017·湖南长沙一中月考)已知实数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
e x ，x ≥0，
lg (－x )，x ＜0，若关于x 的方程f 2(x )＋f (x )＋t ＝0
有三个不同的实根，则t 的取值范围为( ) A.(－∞，－2] B.[1，＋∞)
C.[－2，1]
D.(－∞，－2]∪[1，＋∞)
答案 A
解析 设m ＝f (x )，作出函数f (x )的图象，如图所示，则当m ≥1时，m ＝f (x )有两个根，当m <1时，m ＝f (x )有一个根，若关于x 的方程f 2(x )＋f (x )＋t ＝0有三个不同的实根，则等价为m 2＋m ＋t ＝0有两个不同的实数根m 1，m 2，且m 1≥1，m 2＜1，当m ＝1时，t ＝－2，此时由m 2＋m －2＝0，解得m ＝1或m ＝－2，f (x )＝1有两个根，f (x )＝－2有一个根，满足条件；当m ≠1时，设h (m )＝m 2＋m ＋t ，则需h (1)<0即可，即1＋1＋t <0，解得t <－2.综上实数t 的取值范围为t ≤－2，故选A.
9.若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f (x 1)＝x 1，则关于x 的方程3f 2(x )＋2af (x )＋b ＝0的不同实根的个数是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案 A
解析 函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，说明方程f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝0的两根为x 1，x 2，
∴方程3f 2(x )＋2af (x )＋b ＝0的解为f (x )＝x 1或f (x )＝x 2，若x 1<x 2，即x 1是极大值点，x 2是极小值点， 由于f (x 1)＝x 1，
∴x 1是极大值，f (x )＝x 1有两解，x 1＜x 2，f (x )＝x 2＞f (x 1)只有一解， ∴此时只有3解，
若x 1＞x 2，即x 1是极小值点，x 2是极大值点，由于f (x 1)＝x 1， ∴x 1是极小值，f (x )＝x 1有2解，x 1＞x 2，f (x )＝x 2<f (x 1)只有一解， ∴此时只有3解. 综上可知，选A.
10.(2017·天津市十二重点中学联考)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x －1，0≤x ≤1，
f (x －1)＋m ，x ＞1在定义域[)
0，＋∞上单调递增，且对于任意a ≥0，方程f (x )＝a 有且只有一个实数解，则函数g (x )＝f (x )－x 在区间[]0，2n (n ∈N *)上的所有零点的和为( ) A.n (n ＋1)
2
B.22n －1＋2n －
1 C.(1＋2n )22
D.2n －1
答案 B
解析 函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x －1，0≤x ≤1，
f (x －1)＋m ，x ＞1在定义域[0，＋∞)上单调递增，且对于任意a ≥0，方
程f (x )＝a 有且只有一个实数解，则f (x )是连续函数，则21－1＝f (0)＋m ，可得m ＝1，画出y ＝f (x )与y ＝x 的图象如图：
图象交点横坐标就是g (x )＝f (x )－x 的零点，由图知，在区间[0，2n ](n ∈N *)上的所有零点的和为1＋2＋3…＋(2n －1)＋2n ＝22n －
1＋2n －
1，故选B.
11.设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1，x ＝1，
log a |x －1|＋1，x ≠1，若函数g (x )＝f 2(x )＋bf (x )＋c 有三个零点x 1，x 2，x 3，
则x 1x 2＋x 2x 3＋x 1x 3＝________. 答案 2
解析 作出函数f (x )的图象如图所示，由图可得关于x 的方程f (x )＝t 的解有两个或三个(t ＝1时有三个，t ≠1时有两个)，所以关于t 的方程t 2＋bt ＋c ＝0只能有一个根t ＝1(若有两个根，则关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0有四个或五个零点)，由f (x )＝1，可得x 1，x 2，x 3的值分别为0，1，2，x 1x 2＋x 2x 3＋x 1x 3＝0×1＋1×2＋0×2＝2.
12.设函数f (x )＝x 3－2e x 2＋mx －ln x ，记g (x )＝f (x )
x ，若函数g (x )至少存在一个零点，则实数m
的取值范围是__________. 答案 ⎝
⎛⎦⎤－∞，e 2＋1
e
解析 令g (x )＝x 2－2e x ＋m －ln x
x ＝0，
∴m ＝－x 2＋2e x ＋ln x
x
(x >0)，
设h (x )＝－x 2＋2e x ＋ln x
x ，令f 1(x )＝－x 2＋2e x ，
f 2(x )＝
ln x
x ，∴f 2′(x )＝1－ln x x 2
， 发现函数f 1(x )，f 2(x )在(0，e)上都单调递增，在(e ，＋∞)上都单调递减，∴函数h (x )＝－x 2＋2e x ＋ln x x 在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，∴当x ＝e 时，h (x )max ＝e 2＋1
e ，∴函
数有零点需满足m ≤h (x )max ，即m ≤e 2＋1e
.
13.(2017届柳州模拟)设定义域为R 的函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
5
|x －
1|－1，x ≥0，x 2＋4x ＋4，x ＜0，若关于x 的方程f 2(x )
－(2m ＋1)f (x )＋m 2＝0有7个不同的实数解，则m ＝__________. 答案 2
解析 令t ＝f (x )，作出函数f (x )的图象如图所示：
由图可知方程t 2－(2m ＋1)t ＋m 2＝0有两个不等实根，其中一根为4，另一根在(0，4)上.由42－(2m ＋1)×4＋m 2＝0⇒m ＝2或m ＝6，又当m ＝2时，另一根为1，满足题意；当m ＝6时，另一根为9，不满足题意，故m ＝2.
14.(2017·山西省实验中学模拟)已知函数f (x )＝e x －
2＋x －3(e 为自然对数的底数)，g (x )＝x 2－ax －a ＋3.若存在实数x 1， x 2，使得f (x 1)＝g (x 2)＝0，且||x 1－x 2≤1，则实数a 的取值范围是______________. 答案 []2，3
解析 函数f (x )＝e x －
2＋x －3的导数为f ′(x )＝e x －2＋1＞0，f (x )在R 上单调递增， 由f (2)＝0，可得f (x 1)＝0的解为x 1＝2，
存在实数x 1，x 2，使得f (x 1)＝g (x 2)＝0，且|x 1－x 2|≤1，
即为g (x 2)＝0且|2－x 2|≤1，即x 2－ax －a ＋3＝0在[1，3]上有解， 即有a ＝x 2＋3x ＋1＝(x ＋1)＋4
x ＋1－2在[1，3]上有解，
令t ＝x ＋1(2≤t ≤4)，由t ＋4
t －2在[2，4]上单调递增，
可得最小值为2，最大值为3，则a 的取值范围是[2，3].
2.与数列有关的压轴小题
1.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝13，S m ＝0，S m ＋1＝－15，其中m ∈N *且m ≥2，则
数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n a n ＋1的前n 项和的最大值为( )
A.24143
B.1143
C.2413
D.613 答案 D
解析 由题意可得a m ＝S m －S m －1＝－13，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝－15，d ＝a m ＋1－a m ＝－2， 由S m ＝ma 1＋m (m －1)d 2
＝0可得a 1－m ＝－1，
又a m ＝a 1＋(m －1)d ＝－13，可得a 1－2m ＝－15，a 1＝13，m ＝14，a n ＝15－2n ， 故T n ＝
1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 2＋⎝⎛⎭
⎫
1a 2－1a 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1 ＝－12⎝⎛⎭
⎫113－113－2n ＝－126＋12(13－2n )，可知当n ＝6时，T n 取得最大值6
13.
2.(2017·保定模拟)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
(3－a )x －6，x ≤10，a x －9，x ＞10，若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且
{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( ) A.(1，3) B.(1，2] C.(2，3) D.⎣⎡⎭⎫
2411，3 答案 C
解析 因为{a n }是递增数列， 所以⎩⎪⎨⎪
⎧
3－a ＞0，a ＞1，
(3－a )×10－6＜a 11－9，
解得2＜a ＜3，故选C.
3.在数列{a n }中，a n ＞0，a 1＝12，如果a n ＋1是1与2a n a n ＋1＋14－a 2n 的等比中项，那么a 1
＋a 222＋a 332＋a 4
42＋…＋a 100
1002的值是( )
A.10099
B.101100
C.100101
D.99100 答案 C
解析 由题意，得a 2n ＋1
＝2a n a n ＋1＋14－a 2n
， 所以a 2n ＋1a 2n ＋2a n a n ＋1＋1＝4a 2n ＋1，(a n ＋1a n ＋1)2＝4a 2
n ＋1，
所以a n ＋1a n ＋1＝2a n ＋1，即a n ＋1＝12－a n ，由a 1＝12，得a 2＝23，a 3＝34，…，a n ＝n n ＋1
，所以a n n 2＝
1n (n ＋1)＝1n －1
n ＋1
，
a 1＋a 222＋a 332＋…＋a 1001002＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭
⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1100－1101＝100101. 4.(2017·安徽淮北一中四模)已知等差数列{a n }的公差d ＞0，且a 2，a 5－1，a 10成等比数列，若a 1＝5，S n 为数列{a n }的前n 项和，则2S n ＋n ＋32
a n ＋1的最小值为( )
A.3 3
B.27
C.203
D.17
3
答案 C
解析 由于a 2，a 5－1，a 10成等比数列，所以(a 5－1)2＝a 2·a 10，(a 1＋4d －1)2＝(a 1＋d )·(a 1＋9d )，解得d ＝3，所以2S n ＋n ＋32a n ＋1＝3n 2＋8n ＋323n ＋3＝13⎣⎡⎦⎤3(n ＋1)＋27n ＋1＋2≥20
3，当且仅当n ＝2时
“＝”成立.
5.已知函数f (x )＝x 2＋(a ＋8)x ＋a 2＋a －12，且f (a 2－4)＝f (2a －8)，设等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，若S n ＝f (n )，则S n －4a
a n －1的最小值为( )
A.276
B.358
C.143
D.378 答案 D
解析 由题意可得a 2－4＝2a －8或a 2－4＋2a －8＝2×⎝⎛⎭⎫－a ＋82，解得a ＝1或a ＝－4.
当a ＝1时，f (x )＝x 2＋9x －10，数列{a n }不是等差数列； 当a ＝－4时，f (x )＝x 2＋4x ，S n ＝f (n )＝n 2＋4n ， ∴a 1＝5，a 2＝7，a n ＝5＋(7－5)(n －1)＝2n ＋3，
∴S n －4a a n －1＝n 2＋4n ＋162n ＋2＝12×(n ＋1)2＋2(n ＋1)＋13n ＋1
＝12×⎣⎡⎦⎤(n ＋1)＋13n ＋1＋2≥
1
2⎝ ⎛⎭
⎪⎫2
(n ＋1)×13n ＋1＋2＝13＋1， 当且仅当n ＋1＝13
n ＋1，即n ＝13－1时取等号，
∵n 为正整数，故当n ＝3时原式取最小值37
8
，故选D.
6.设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n ＞0(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，若数列{S n }也为等差数列，则
S n ＋10
a 2n
的最大值是( ) A.310 B.212 C.180 D.121 答案 D
解析 设数列{a n }的公差为d ，
依题意得2S 2＝S 1＋S 3， 因为a 1＝1，
所以22a 1＋d ＝a 1＋3a 1＋3d ， 化简可得d ＝2a 1＝2，
所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， S n ＝n ＋n (n －1)
2
×2＝n 2，
所以S n ＋10a 2n ＝(n ＋10)2(2n －1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋102n －12＝⎣⎢
⎢⎡⎦
⎥⎥⎤12(2n －1)＋2122n －12＝14⎝⎛⎭⎫1＋212n －12≤121. 7.抛物线x 2＝1
2y 在第一象限内图象上的一点(a i ，2a 2i )处的切线与x 轴交点的横坐标记为a i ＋1，其中i ∈N *，若a 2＝32，则a 2＋a 4＋a 6等于( ) A.21 B.32 C.42 D.64 答案 C
解析 抛物线x 2＝12y 可化为y ＝2x 2，y ′＝4x 在点(a i ，2a 2i 处的切线方程为y －2a 2i ＝4a i (x －a i )，所以切线与x 轴交点的横坐标为a i ＋1＝12a i ，所以数列{a 2k }是以a 2＝32为首项，1
4为公比的等
比数列，所以a 2＋a 4＋a 6＝32＋8＋2＝42，故选C.
8.(2017届天津六校联考)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *).若b n ＋1＝(n －2λ)·⎝⎛⎭⎫1a n ＋1(n ∈N *)，b 1＝－λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值范围是( ) A.λ＞23 B.λ＞32 C.λ<32 D.λ<2
3
答案 D
解析 ∵a n ＋1＝a n a n ＋2⇒1a n ＋1＝2a n ＋1⇒1a n ＋1＋1＝2⎝⎛⎭⎫1a n ＋1⇒1a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫1a 1＋1·2n －1
＝2n ， ∴b n ＋1＝(n －2λ)·2n ，
∵数列{b n }是单调递增数列，∴当n ≥2时，
b n ＋1＞b n ⇒(n －2λ)·2n ＞(n －1－2λ)·2n －
1⇒n ＞2λ－1⇒2＞2λ－1⇒λ＜32；
当n ＝1时，b 2＞b 1⇒(1－2λ)·2＞－λ⇒λ＜2
3，
因此λ＜2
3，故选D.
9.(2017届湖南省岳阳市质量检测)执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为( )
A.1
B.2 0182 019
C.2 0182 017
D.2 016
2 017
答案 D
解析 第一次循环， n ＝1，s ＝2
4×12－1，
第二次循环， n ＝2，s ＝24×12－1＋2
4×22－1，
直至n ＝1 008， s ＝
24×12－1＋24×22－1＋…＋2
4×1 0082－1
，
结束循环，输出s ＝24×12－1＋24×22－1＋…＋24×1 0082－1
＝
12×1－1－12×1＋1＋12×2－1－12×2＋1＋…＋12×1 008－1－1
2×1 008＋1
＝11－13＋13＋15＋…＋12 015－12 017＝1－12 017＝2 0162 017
，故选D. 10.已知[)x 表示大于x 的最小整数，例如[)3＝4，[)－1.3＝－1，下列命题中正确的是( ) ①函数f (x )＝[)x －x 的值域是(]0，1；
②若{a n }是等差数列，则{}[)a n 也是等差数列； ③若{a n }是等比数列，则{}[)a n 也是等比数列； ④若x ∈(1，2 014)，则方程[)x －x ＝1
2有2 013个根.
A.②④
B.③④
C.①③
D.①④
答案 D
解析 当x ∈Z 时， [)x ＝x ＋1，f (x )＝[)x －x ＝x ＋1－x ＝1; 当x ∉Z 时，令x ＝n ＋a ，n ∈Z ，a ∈(0，1)，则[)x ＝n ＋1，f (x )＝[)x －x ＝1－a ∈(0，1)，因此f (x )＝[)x －x 的值域是(]0，1；0.9，1，
1.1是等差数列，但[)0.9＝1，
[)1＝2，[)1.1＝2不成等差数列； 0.5，1，2是等比数列，但[)0.5＝1，[)1＝2，[)2＝3不成等比数列；由前分析可得当x ∈Z 时， f (x )＝1；当x ∉Z ，x ＝n ＋a ，
n ∈Z ，a ∈(0，1)时， f (x )＝1－a ＝1－(x －n )＝n ＋1－x ，所以f (x ＋1)＝f (x ) ，即f (x )＝[)x －x 是周期为1的函数，由于x ∈(1，2)时f (x )＝2－x ＝12，x ＝3
2，即一个周期内有一个根，所以若
x ∈()1，2 014，则方程[)x －x ＝1
2
有2 013个根. ①④正确，故选D.
11.数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－6n ，则a 2＝________；数列{}||a n 的前10项和||a 1＋||a 2＋…＋||a 10＝________. 答案 －3 58
解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－5，
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－6n －(n －1)2＋6(n －1)＝2n －7， ∴a 2＝2×2－7＝－3，
∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝5＋3＋1＋1＋3＋…＋13＝9＋1＋132
×7＝9＋49＝58.
12.(2016届长春外国语学校质量检测)已知数列{a n }为等比数列，且a 2 013＋a 2 015＝ʃ20
4－x 2d x ，则a 2 014(a 2 012＋2a 2 014＋a 2 016)的值为______. 答案 π2
解析 因为ʃ204－x 2d x ＝π， 所以a 2 013＋a 2 015＝ʃ20
4－x 2d x ＝π， 则a 2 014(a 2 012＋2a 2 014＋a 2 016)＝a 2 014a 2 012＋2a 22 014＋a 2 014a 2 016
＝a 22 013＋2a 2 013a 2 015＋a 22 015＝(a 2 013＋a 2 015)2＝π2
.
13.(2017·辽宁庄河月考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，且满足a 1＝3，
b 1＝1，b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3，数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a n
b n 的前n 项和为T n ，若T n <M 对一切正整数n 都成
立，则M 的最小值为__________. 答案 10
解析 由已知可得⎩
⎪⎨⎪⎧
q ＋6＋d ＝10，2d ＝2q ，解得d ＝q ＝2，所以a n ＝2n ＋1，b n ＝2n －
1，则a n b n ＝2n ＋12n －1，
故T n ＝3×120＋5×121＋7×122＋…＋(2n ＋1)×12n －1，由此可得12T n ＝3×121＋5×122＋7×1
23＋…＋
(2n ＋1)×12n ，以上两式两边错位相减可得12T n ＝3＋2⎝⎛⎭⎫121＋122＋123＋…＋12n －1－(2n ＋1)×1
2n ＝3
＋2－12n －2－2n ＋12n ，即T n ＝10－12n －3－2n ＋12n －1，故当n →＋∞时， 1
2n －3→0，2n ＋12n －1→0，此时
T n →10，所以M 的最小值为10.
14.设S n ，T n 分别为等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，且S n T n ＝3n ＋2
4n ＋5
.设点A 是直线BC 外一点，
点P 是直线BC 上一点，且AP →＝a 1＋a 4b 3·AB →＋λ·AC →
，则实数λ的值为________.
答案 －3
25
解析 不妨取S n ＝3n 2＋2n ，T n ＝4n 2＋5n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝5，当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝6n －1，验证得n ＝1上式成立.综上，a n ＝6n －1， 同理可得b n ＝8n ＋1⇒a 1＋a 4b 3＝28
25
.
AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →
＝2825AB →＋λ·AC →⇒1－λ＝2825，λ＝－325
. 3.与立体几何有关的压轴小题
1.(2017届山西大学附属中学模块诊断)如图为某几何体的三视图，则其体积为( )
A.2π3＋4
B.2π＋43
C.π3＋4
D.π＋43 答案 D
解析 由三视图可知，该几何体是一个半圆柱(所在圆柱为圆柱OO 1)与四棱锥的组合体，其中四棱锥的底面ABCD 为圆柱的轴截面，顶点P 在半圆柱所在圆柱的底面圆上(如图所示)，且P 在AB 上的射影为底面的圆心O .由三视图数据可得，半圆柱所在圆柱的底面半径r ＝1，高h ＝2，
故其体积V 1＝12πr 2h ＝1
2
π×12×2＝π；
四棱锥的底面ABCD 为边长为2的正方形，PO ⊥底面ABCD ，且PO ＝r ＝1.
故其体积V 2＝13S 正方形ABCD ×PO ＝13×22×1＝4
3.
故该几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝π＋4
3
.
2.如图，正四面体D －ABC 的顶点A ，B ，C 分别在两两垂直的三条射线Ox ，Oy ，Oz 上，则在下列命题中，错误的是( )
A.O －ABC 是正三棱锥
B.直线OB 与平面ACD 相交
C.直线CD 与平面ABC 所成的角的正弦值为3
2
D.异面直线AB 和CD 所成的角是90° 答案 C
解析 ①如图ABCD 为正四面体，
∴△ABC 为等边三角形， 又∵OA ，OB ，OC 两两垂直， ∴OA ⊥平面OBC ，∴OA ⊥BC . 过O 作底面ABC 的垂线，垂足为N ， 连接AN 交BC 于M ，可知BC ⊥AM ， ∴M 为BC 的中点，
同理可证，连接CN 交AB 于P ，则P 为AB 的中点， ∴N 为底面△ABC 的中心， ∴O －ABC 是正三棱锥，故A 正确；
②将正四面体ABCD 放入正方体中，如图所示，显然OB 与平面ACD 不平行，则B 正确；
③由图可知：直线CD 与平面ABC 所成的角的正弦值为6
3
，则C 错误； ④异面直线AB 和CD 所成角是90°，故D 正确.
3.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，点E 为CD 的中点，F 为线段CE (端点除外)上一动点.现将△DAF 沿AF 折起，使得平面ABD ⊥平面ABC .设直线FD 与平面ABCF 所成角为θ，则sin θ的最大值为( )
A.13
B.24
C.12
D.23 答案 C
解析 如图，在矩形ABCD 中，过点D 作AF 的垂线交AF 于点O ，交AB 于点M .
设CF ＝x (0＜x ＜1)，AM ＝t ，
由△DAM ∽△FDA ，得AM AD ＝AD DF ，即有t ＝12－x ，
由0＜x ＜1，得1
2＜t ＜1.
在翻折后的几何体中， ∵AF ⊥OD ，AF ⊥OM ，
∴AF ⊥平面ODM ，从而平面ODM ⊥平面ABC ， 又平面ABD ⊥平面ABC ，则DM ⊥平面ABC ，连接MF ， 则∠MFD 是直线FD 与平面ABCF 所成角，即∠MFD ＝θ， 而DM ＝1－t 2，DF ＝2－x ＝1
t ，
则sin θ＝DM
DF
＝t 1－t 2＝－t 4＋t 2，
由于14＜t 2＜1，则当t 2＝12时，sin θ取到最大值，其最大值为12
.
4.(2017届广东阶段测评)如图，平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体A ′－BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，若四面体A ′－BCD 的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为( )
A.3π
B.32π
C.4π
D.34
π 答案 A
解析 由图示可得BD ＝A ′C ＝2，BC ＝3，△DBC 与△A ′BC 都是以BC 为斜边的直角三角形，由此可得BC 中点到四个点A ′，B ，C ，D 的距离相等，即该三棱锥的外接球的直径为3，所以该外接球的表面积S ＝4π×⎝⎛
⎭
⎫322
＝3π. 5.如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB ＝AC ，侧面BCC 1B 1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB 1A 1的面积为( )
A.2
B.1
C. 2
D.2
2
答案 C
解析 ∵球心在面BCC 1B 1的中心O 上，BC 为截面圆的直径， ∴∠BAC ＝90°，底面外接圆圆心N 位于BC 的中点处， △A 1B 1C 1外心M 在B 1C 1中点上，
设正方形BCC 1B 1的边长为x ，在Rt △OMC 1中，OM ＝x 2，MC 1＝x
2，OC 1＝R ＝1，
∴⎝⎛⎭⎫x 22＋⎝⎛⎭⎫x 22
＝1，
即x ＝2，则AB ＝AC ＝1， ∴11
ABB A S 矩形＝2×1＝ 2.
6.(2017·河北衡水中学四调)在棱长为6的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是BC 的中点，点P 是面DCC 1D 1所在的平面内的动点，且满足∠APD ＝∠MPC ，则三棱锥P －BCD 体积的最大值是( )
A.36
B.123
C.24
D.18 3
答案 B
解析 ∵AD ⊥底面D 1DCC 1，∴AD ⊥DP ， 同理BC ⊥平面D 1DCC 1，则 BC ⊥CP ，∠APD ＝∠MPC ， ∴△P AD ∽△PMC ， ∵AD ＝2MC ，
∴PD ＝2PC ，下面研究点P 在面ABCD 内的轨迹(立体几何平面化)，在平面直角坐标系内设D (0，0)，C (6，0)，C 1(6，6)， 设P (x ，y )，∵PD ＝2PC ，
∴x 2＋y 2＝2(x －6)2＋y 2，化简得(x －8)2＋y 2＝16(0≤x ≤6)，该圆与CC 1的交点的纵坐标最大，交点坐标(6，23)，三棱锥P －BCD 的底面BCD 的面积为18，要使三棱锥P －BCD 的体积最大，只需高最大，当P 点坐标为(6，23)时，CP ＝23，棱锥的高最大，此时三棱锥P －BCD 的体积V ＝1
3
×18×23＝123，故选B.
7.(2017届福建厦门双十中学期中)如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线AC 1上取一点P ，以A 为球心，AP 为半径作一个球，设AP ＝x ，记该球面与正方体表面的交线的长度和为f (x )，则函数f (x )的图象最有可能的是( )
答案 A
解析 球面与正方体的表面都相交，我们考虑三种特殊情形：
①当x ＝1时；②当x ＝1
2
时；③当x ＝2时.
①当x ＝1时，以A 为球心，1为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线弧长为3×1
4×2π×1
＝3π
2
，且为函数f (x )的最大值； ②当x ＝12时，以A 为球心，1
2为半径作一个球，根据图形的相似，该球面与正方体表面的交
线弧长为(1)中的一半；
③当x ＝2时，以A 为球心，2为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线弧长为3×
1
6×2π×2＝2π＜
3π2
， 对照选项可得A 正确.
8.已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝2，∠ASC ＝∠BSC ＝45°，则棱锥S －ABC 的体积为( ) A.
33 B.233 C.433 D.53
3
答案 C
解析 由条件知直径SC 所对的圆周角∠SBC ＝∠SAC ＝90°，由已知∠ASC ＝∠BSC ＝45°， ∴△SBC 与△SAC 是全等的等腰三角形， 设球的球心为点O ，
∴BO ⊥SC ，AO ⊥SC ，即SC ⊥平面AOB ，由条件OA ＝OB ＝2，则△OAB 为等边三角形， ∴V S －ABC ＝13S △OAB ·SC ＝13⎝⎛⎭⎫12×22×sin 60°×4＝433
. 9.(2017届辽宁省庄河市高级中学月考)已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的外接球O 的体积为32π
3
，其中BB 1＝2，则三棱锥O －ABC 的体积的最大值为( ) A.1 B.3 C.2 D.4 答案 A
解析 由题意设外接球的半径为R ，则由题设可得43πR 3＝32
3π，由此可得R ＝2，
记长方体的三条棱长分别为x ，y ，2， 则2R ＝x 2＋y 2＋4，由此可得x 2＋y 2＝12，。