灰色理论关联度与预测 数学建模必备知识 很实用哦
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当灰数的上限和下限相等时，就成为了确定数
灰色系统2
灰度（grey degree）
Gd[A] [w A /m A]100% w A A A m A [A A] / 2
灰色系统3
白化（whitening）
由于灰数是一个范围而非确定的数。如果需要解决 的问题本身要求是一个明确的数，此时就需要将灰 数转化为一个确定的数，成为白化。
黑色系统是指一个系统的内部信息对外界来说是一 无所知的，只能通过它与外界的联系来加以观测研 究
白色系统
白色系统是指一个系统的内部特征是完全已知的， 即系统的信息是完全充分的。
灰色系统1
灰数（grey number）
没有明确数值或确定的分布，仅知大概范围（上限 下限）
A[A, ) A (, A] A[A, A]
参数求解
x(0) (2) 2487
Yn
x
(0)
(3)
x(0) (4)
3207 3142
x
(0)
%A A (A A), [0,1]
α称为白化系数
灰色系统4
累加生成（accumulated generating operation AGO）
生成技术将原始数据予以累加，所形成的数列一般 为单调递增的平稳和有规律的数列。累加后一般形 成指数规律。
累加的规则: 将原始序列的第一个数据作为生成 列的第一个数据，将原始序列的第二个 数据加到原始序列的第一个数据上，其 和作为生成列的第二个数据，将原始序 列的第三个数据加到生成列的第二个数 据上，其和作为生成列的第三个数据， 按此规则进行下去，便可得到生成列。
灰色预测模型不需要大量资料，计量经济模型则需 要有一定数量样本的要求
基本模型
一、GM（1，1）模型的建立
设时间序列 X 0 X 01, X 02,..., X 0n 有n个观
察值，通过累加生成新序列 X 1 X 11, X 12,..., X 1n
则GM（1，1）模型相应的微分方程为：
则比较序列Xi对参考序列X0的灰色关联度为：
(X0, Xi )
1 n
n k 1
r(x0 (k), x1(k))
其中
r(x0 (k), xi (k))
min j
min k
|
x
0
(k)
x
j
(k)
| x0(k) xi (k) |
|
max j
max k
|
x
0
(k)
x
j
(k)
max j
max k
|
x
dX 1 aX 1 b dt
其中：α称为发展灰数；μ称为内生控制灰数。
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设
A
为待估参数向量，
A
a b
，可利用
最小二乘法求解。解得：
a
A b
BT B 1 BTYn
求解微分方程，即可得预测模型：
Xˆ
1
t
1
X
0
1
b a
eat
b a
xˆ 0 t 1 Xˆ 1 t 1 Xˆ (1) (t)
记原始时间序列为：
X 0 X 01, X 02, X 03,...X 0n X 0 X 01, X 02, X 03,...X 0n
生成列为：
wenku.baidu.com X
1
1
X 0 t ,
2
X 0 t ,
3
X 0 t ,...,
n
X 0 t
t1
t 1
t 1
t 1
目录
基本概念 灰色关联分析 灰色预测模型
t 0,1, 2..., n
X(0) (x(0) (1), x(0) (2), x(0) (3), x(0) (4), x(0) (5)) (2720, 2487,3207,3142, 2725)
1阶生成数：
X(1) (x(1) (1), x(1) (2), x(1) (3), x(1) (4), x(1) (5)) (2720,5207,8414,11556,14281)
均质生成数列：
Z(1) (z(1) (2), Z(1) (3), z(1) (4), z(1) (5)) [0.5 (x(1) (2)+x(1) (1)),0.5 (x(1) (3)+x(1) (2)), 0.5 (x(1) (4)+x(1) (3)),0.5 (x(1) (5)+x(1) (4))] =(3963.5,6810.5,9985.0,12918.5)
X 2 {x2 ( j2 )} | j2 1, 2,..., n2}
MM
M
参考序列 比较序列
比较序列
Xi {xi ( ji )} | ji 1, 2,..., ni} 比较序列
MM
M
X m {xm ( jm )} | jm 1, 2,..., nm} 比较序列
灰色关联分析3
设x0(k)为X0（为参考序列）的第k个数；xi(k) 为Xi（比较序列）的第k个数；
0
(k)
x
j
(k)
|
|
（2）关联度检验
根据前面所述关联度的计算方法算出X
( i
0)
k
与原始序列
X
0 0
k
的关联系数，然后计算出关联
度，根据经验，当ρ=0.5时，关联度大于0.6便 满意了。
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目录
基本概念 灰色关联分析 灰色预测模型
灰色预测
基本特征
时间序列和回归分析是以原始数据为基础进行的； 而灰色预测模型则是以生成数据为基础
在系统发展过程中，若两个因素的变化具有一致性， 则两个的关联程度就高。反之，则低
灰色关联分析方法是根据因素之间发展趋势的相似 或相异程度，做为衡量两个因素关联程度的一种方 法。
灰色关联分析3
灰色关联度的数学模型
X 0 {x0 ( j0 )} | j0 1, 2,..., n0}
X1 {x1( j1)} | j1 1, 2,..., n1}
灰色理论 关联度与预测
目录
基本概念 灰色关联分析 灰色预测模型 灰色数学规划
灰色含义1
灰色理论应用领域
数据生成 关联分析 预测模式 评估决策 系统控制
灰色相对于白色和黑色
系统的影响因素不完全明确 因素关系不完全清楚 系统结构不完全知道 系统的作用原理不完全知道
灰色含义2
黑色系统
灰色关联分析1
基本特征
建立的模型属于非函数形式的序列模型 计算方便易行 对样本数量多寡没有严格要求 不要求序列数据必须符合正态分布 不会产生与定性分析大相径庭的结论
灰色关联分析2
关联度的概念
对于两个系统或系统中两个因素之间，随时间或不 同对象而变化的关联性大小的程度，成为关联度。
灰色系统2
灰度（grey degree）
Gd[A] [w A /m A]100% w A A A m A [A A] / 2
灰色系统3
白化（whitening）
由于灰数是一个范围而非确定的数。如果需要解决 的问题本身要求是一个明确的数，此时就需要将灰 数转化为一个确定的数，成为白化。
黑色系统是指一个系统的内部信息对外界来说是一 无所知的，只能通过它与外界的联系来加以观测研 究
白色系统
白色系统是指一个系统的内部特征是完全已知的， 即系统的信息是完全充分的。
灰色系统1
灰数（grey number）
没有明确数值或确定的分布，仅知大概范围（上限 下限）
A[A, ) A (, A] A[A, A]
参数求解
x(0) (2) 2487
Yn
x
(0)
(3)
x(0) (4)
3207 3142
x
(0)
%A A (A A), [0,1]
α称为白化系数
灰色系统4
累加生成（accumulated generating operation AGO）
生成技术将原始数据予以累加，所形成的数列一般 为单调递增的平稳和有规律的数列。累加后一般形 成指数规律。
累加的规则: 将原始序列的第一个数据作为生成 列的第一个数据，将原始序列的第二个 数据加到原始序列的第一个数据上，其 和作为生成列的第二个数据，将原始序 列的第三个数据加到生成列的第二个数 据上，其和作为生成列的第三个数据， 按此规则进行下去，便可得到生成列。
灰色预测模型不需要大量资料，计量经济模型则需 要有一定数量样本的要求
基本模型
一、GM（1，1）模型的建立
设时间序列 X 0 X 01, X 02,..., X 0n 有n个观
察值，通过累加生成新序列 X 1 X 11, X 12,..., X 1n
则GM（1，1）模型相应的微分方程为：
则比较序列Xi对参考序列X0的灰色关联度为：
(X0, Xi )
1 n
n k 1
r(x0 (k), x1(k))
其中
r(x0 (k), xi (k))
min j
min k
|
x
0
(k)
x
j
(k)
| x0(k) xi (k) |
|
max j
max k
|
x
0
(k)
x
j
(k)
max j
max k
|
x
dX 1 aX 1 b dt
其中：α称为发展灰数；μ称为内生控制灰数。
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设
A
为待估参数向量，
A
a b
，可利用
最小二乘法求解。解得：
a
A b
BT B 1 BTYn
求解微分方程，即可得预测模型：
Xˆ
1
t
1
X
0
1
b a
eat
b a
xˆ 0 t 1 Xˆ 1 t 1 Xˆ (1) (t)
记原始时间序列为：
X 0 X 01, X 02, X 03,...X 0n X 0 X 01, X 02, X 03,...X 0n
生成列为：
wenku.baidu.com X
1
1
X 0 t ,
2
X 0 t ,
3
X 0 t ,...,
n
X 0 t
t1
t 1
t 1
t 1
目录
基本概念 灰色关联分析 灰色预测模型
t 0,1, 2..., n
X(0) (x(0) (1), x(0) (2), x(0) (3), x(0) (4), x(0) (5)) (2720, 2487,3207,3142, 2725)
1阶生成数：
X(1) (x(1) (1), x(1) (2), x(1) (3), x(1) (4), x(1) (5)) (2720,5207,8414,11556,14281)
均质生成数列：
Z(1) (z(1) (2), Z(1) (3), z(1) (4), z(1) (5)) [0.5 (x(1) (2)+x(1) (1)),0.5 (x(1) (3)+x(1) (2)), 0.5 (x(1) (4)+x(1) (3)),0.5 (x(1) (5)+x(1) (4))] =(3963.5,6810.5,9985.0,12918.5)
X 2 {x2 ( j2 )} | j2 1, 2,..., n2}
MM
M
参考序列 比较序列
比较序列
Xi {xi ( ji )} | ji 1, 2,..., ni} 比较序列
MM
M
X m {xm ( jm )} | jm 1, 2,..., nm} 比较序列
灰色关联分析3
设x0(k)为X0（为参考序列）的第k个数；xi(k) 为Xi（比较序列）的第k个数；
0
(k)
x
j
(k)
|
|
（2）关联度检验
根据前面所述关联度的计算方法算出X
( i
0)
k
与原始序列
X
0 0
k
的关联系数，然后计算出关联
度，根据经验，当ρ=0.5时，关联度大于0.6便 满意了。
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目录
基本概念 灰色关联分析 灰色预测模型
灰色预测
基本特征
时间序列和回归分析是以原始数据为基础进行的； 而灰色预测模型则是以生成数据为基础
在系统发展过程中，若两个因素的变化具有一致性， 则两个的关联程度就高。反之，则低
灰色关联分析方法是根据因素之间发展趋势的相似 或相异程度，做为衡量两个因素关联程度的一种方 法。
灰色关联分析3
灰色关联度的数学模型
X 0 {x0 ( j0 )} | j0 1, 2,..., n0}
X1 {x1( j1)} | j1 1, 2,..., n1}
灰色理论 关联度与预测
目录
基本概念 灰色关联分析 灰色预测模型 灰色数学规划
灰色含义1
灰色理论应用领域
数据生成 关联分析 预测模式 评估决策 系统控制
灰色相对于白色和黑色
系统的影响因素不完全明确 因素关系不完全清楚 系统结构不完全知道 系统的作用原理不完全知道
灰色含义2
黑色系统
灰色关联分析1
基本特征
建立的模型属于非函数形式的序列模型 计算方便易行 对样本数量多寡没有严格要求 不要求序列数据必须符合正态分布 不会产生与定性分析大相径庭的结论
灰色关联分析2
关联度的概念
对于两个系统或系统中两个因素之间，随时间或不 同对象而变化的关联性大小的程度，成为关联度。